高中数学必修一章末检测试卷(三)

(时间：120分钟　满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

1．函数f(x)＝的定义域为(　　)

A．(1，＋∞)      B．[1，＋∞)

C．[1,2)      D．[1,2)∪(2，＋∞)

答案　D

解析　根据题意有解得x≥1且x≠2.

2．已知f ＝2x＋3，则f(6)的值为(　　)

A．15  B．7  C．31  D．17

答案　C

解析　令－1＝t，则x＝2t＋2.

将x＝2t＋2代入f ＝2x＋3，

得f(t)＝2(2t＋2)＋3＝4t＋7.

所以f(x)＝4x＋7，所以f(6)＝4×6＋7＝31.

3．下列函数中，既是奇函数又是增函数的是(　　)

A．y＝x＋1  B．y＝－x3  C．y＝  D．y＝x|x|

考点　单调性与奇偶性的综合应用

题点　判断函数的单调性、奇偶性

答案　D

4．若函数f(x)＝x2＋4x＋6，x∈[－3,0)，则f(x)的值域为(　　)

A．[2,6]  B．[2,6)  C．[2,3]  D．[3,6]

答案　B

解析　f(x)＝(x＋2)2＋2，

当x＝－2时，f(x)min＝2，

又f(－3)＝3，f(0)＝6，

所以f(x)在[－3,0)上的值域为[2,6)．

5．已知函数f(x)＝ax3＋bx(a≠0)满足f(－3)＝3，则f(3)等于(　　)

A．2  B．－2  C．－3  D．3

考点　函数奇偶性的应用

题点　利用奇偶性求函数值

答案　C

解析　∵f(－x)＝a(－x)3＋b(－x)＝－(ax3＋bx)＝－f(x)，

∴f(x)为奇函数，

∴f(3)＝－f(－3)＝－3.

6．函数y＝(－6≤a≤3)的最大值为(　　)

A．9  B.  C．3  D.

答案　B

解析　因为＝

＝(－6≤a≤3)，

所以当a＝－时，的值最大，最大值为.故选B.

7．已知正方形的周长为x，它的外接圆的半径为y，则y关于x的解析式为(　　)

A．y＝x      B．y＝x

C．y＝x      D．y＝x

答案　C

解析　正方形边长为，

而(2y)2＝2＋2，

所以y2＝.

所以y＝＝x.

8．函数f(x)是定义在R上的奇函数，下列说法：

①f(0)＝0；

②若f(x)在[0，＋∞)上有最小值－1，则f(x)在(－∞，0]上有最大值1；

③若f(x)在[1，＋∞)上为增函数，则f(x)在(－∞，－1]上为减函数．

其中正确的个数是(　　)

A．0  B．1  C．2  D．3

答案　C

解析　①f(0)＝0正确；②正确；③不正确；奇函数在关于原点的对称区间上具有相同的单调性．

9．若幂函数y＝(m2－3m＋3)xm－2的图象不过原点，则m的取值范围为(　　)

A．1≤m≤2      B．m＝1或m＝2

C．m＝2      D．m＝1

答案　B

解析　由题意得

解得∴m＝1或m＝2.

10．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，x≥0时，f(x)＝x2－2x，则函数f(x)在R上的解析式是(　　)

A．f(x)＝－x(x－2)      B．f(x)＝x(|x|－2)

C．f(x)＝|x|(x－2)      D．f(x)＝|x|(|x|－2)

答案　D

解析　设x<0，则－x>0，

f(x)＝f(－x)＝x2－2(－x)＝x2＋2x.

故f(x)＝|x|(|x|－2)．

11．已知函数f(x)＝若f(－a)＋f(a)≤0，则实数a的取值范围是(　　)

A．[－1,1]      B．[－2,0]

C．[0,2]      D．[－2,2]

答案　D

解析　方法一　依题意，可得

或或

解得－2≤a≤2.

方法二　f(x)是偶函数，其图象如图所示．

f(－a)＋f(a)＝2f(a)≤0，即f(a)≤0.

由图知－2≤a≤2.

12．二次函数f(x)＝ax2＋2a是区间[－a，a2]上的偶函数，又g(x)＝f(x－1)，则g(0)，g，g(3)的大小关系为(　　)

A．gC．g答案　A

解析　由题意得解得a＝1，

所以f(x)＝x2＋2，

所以g(x)＝f(x－1)＝(x－1)2＋2.

因为函数g(x)的图象关于直线x＝1对称，

所以g(0)＝g(2)．

又因为函数g(x)＝(x－1)2＋2在区间[1，＋∞)上单调递增，

所以g所以g二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．若幂函数y＝f(x)的图象过点，则f(2)的值为________．

答案　

解析　设幂函数为y＝xα，过点，

则＝3α，所以α＝－1，

所以y＝x－1，

则f(2)＝2－1＝.

14．设f(x)＝若f(2)＝4，则a的取值范围为________．

考点　分段函数

题点　分段函数求参数值

答案　(－∞，2]

解析　若2∈(－∞，a)，则f(2)＝2不合题意．

∴2∈[a，＋∞)，∴a≤2.

15．已知f(x)＝ax3＋bx－4，其中a，b为常数，若f(－2)＝2，则f(2)＝________.

答案　－10

解析　设g(x)＝ax3＋bx，显然g(x)为奇函数，

则f(x)＝ax3＋bx－4＝g(x)－4，

于是f(－2)＝g(－2)－4＝－g(2)－4＝2，

所以g(2)＝－6，所以f(2)＝g(2)－4＝－6－4＝－10.

16．若函数f(x)同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有f(x)＋f(－x)＝0；②对于定义域上的任意x1，x2，当x1≠x2时，恒有<0，则称函数f(x)为“理想函数”．给出下列三个函数中：(1)f(x)＝能被称为“理想函数”的有________．(填相应的序号)

答案　(3)

解析　①要求函数f(x)为奇函数，②要求函数f(x)为减函数．函数(1)是奇函数但在整个定义域上不是减函数，函数(2)是偶函数而且也不是减函数，只有函数(3)既是奇函数又是减函数．

三、解答题(本大题共6小题，共70分)

17．(10分)已知函数f(x)＝ax＋b，且f(1)＝2，f(2)＝－1.

(1)求f(m＋1)的值；

(2)判断函数f(x)的单调性，并用定义证明．

解　(1)由f(1)＝2，f(2)＝－1，

得a＋b＝2,2a＋b＝－1，

即a＝－3，b＝5，故f(x)＝－3x＋5，

f(m＋1)＝－3(m＋1)＋5＝－3m＋2.

(2)函数f(x)在R上单调递减，证明如下：

任取x1则f(x2)－f(x1)＝(－3x2＋5)－(－3x1＋5)

＝3x1－3x2＝3(x1－x2)，

因为x1所以f(x2)－f(x1)<0，

即f(x2)所以函数f(x)在R上单调递减．

18．(12分)已知f(x)＝2x2＋mx＋n(m，n为常数)是偶函数，且f(1)＝4.

(1)求f(x)的解析式；

(2)若关于x的方程f(x)＝kx有两个不相等的实数根，求实数k的取值范围．

解　(1)因为f(x)是偶函数，

所以f(－x)＝f(x)(x∈R)，

即2(－x)2－mx＋n＝2x2＋mx＋n(x∈R)，

解得m＝0.

又f(1)＝4，所以2×12＋n＝4，解得n＝2.

所以f(x)＝2x2＋2.

(2)由(1)知f(x)＝2x2＋2，方程f(x)＝kx有两个不相等的实数根，

转化为方程2x2－kx＋2＝0有两个不相等的实数根，

由Δ＝k2－16>0，解得k<－4或k>4.

所以实数k的取值范围为(－∞，－4)∪(4，＋∞)．

19．(12分)已知函数f(x)＝

(1)求f(f(－2))的值；

(2)若f(a)＝，求a.

解　(1)因为－2<－1，所以f(－2)＝2×(－2)＋3＝－1，

所以f(f(－2))＝f(－1)＝2.

(2)当a>1时，f(a)＝1＋＝，所以a＝2>1；

当－1≤a≤1时，f(a)＝a2＋1＝，

所以a＝±∈[－1,1]；

当a<－1时，f(a)＝2a＋3＝，

所以a＝－>－1(舍去)．

综上，a＝2或a＝±.

20．(12分)已知幂函数y＝f(x)＝，其中m∈{x|－2(1)在区间(0，＋∞)上是增函数；

(2)对任意的x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0.

求同时满足条件(1)(2)的幂函数f(x)的解析式，并求当x∈[0,3]时，f(x)的值域．

解　因为m∈{x|－2所以m＝－1,0,1.

因为对任意的x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0，

即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．

当m＝－1时，f(x)＝x2只满足条件(1)而不满足条件(2)；

当m＝1时，f(x)＝x0，条件(1)(2)都不满足；

当m＝0时，f(x)＝x3，条件(1)(2)都满足．

因此m＝0，且f(x)＝x3在区间[0,3]上是增函数，

所以0≤f(x)≤27，故f(x)的值域为[0,27]．

21．(12分)某商场经销一批进价为每件30元的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x(元)与日销售量y(件)之间有如下表所示的关系(其中30≤x≤50，且x∈N*)：

(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系，写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价为多少元时，才能获得最大日销售利润．

解　(1)由题表作出(30,60)，(40,30)，(45,15)，(50,0)的对应点，它们分布在一条直线上．

设它们所在直线为y＝kx＋b(k≠0)，

则解得

所以y＝－3x＋150(30≤x≤50，且x∈N*)，

经检验(30,60)，(40,30)也在此直线上，

所以所求函数解析式为y＝－3x＋150(30≤x≤50，且x∈N*)．

(2)依题意P＝y(x－30)＝(－3x＋150)(x－30)

＝－3(x－40)2＋300(30≤x≤50，且x∈N*)．

所以当x＝40时，P有最大值300，即销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润．

22．(12分)已知函数y＝x＋有如下性质：

如果常数t>0，那么该函数在(0，]上是减函数，在[，＋∞)上是增函数．

(1)已知f(x)＝，x∈[0,1]，利用上述性质，求函数f(x)的单调区间和值域；

(2)对于(1)中的函数f(x)和函数g(x)＝－x－2a，若对任意x1∈[0,1]，总存在x2∈[0,1]，使得g(x2)＝f(x1)成立，求实数a的值．

考点　函数的单调性、最值的综合应用

题点　单调性及最值的综合问题

解　(1)y＝f(x)＝＝2x＋1＋－8，

设u＝2x＋1，x∈[0,1]，则1≤u≤3，

则y＝u＋－8，u∈[1,3]．

由已知性质得，当1≤u≤2，即0≤x≤时，f(x)单调递减；

当2≤u≤3，即≤x≤1时，f(x)单调递增，

所以f(x)的单调递减区间为，

单调递增区间为；

由f(0)＝－3，f ＝－4，f(1)＝－，

得f(x)的值域为[－4，－3]．

(2)g(x)＝－x－2a为减函数，

故g(x)∈[－1－2a，－2a]，x∈[0,1]．

由题意得，当x∈[0,1]时，f(x)的值域是g(x)的值域的子集，

所以

所以a＝.