三角函数及解三角形高考模拟考试题精选(含详细答案)

一．解答题（共31小题）

1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）=+．

（Ⅰ）证明：a+b=2c；

（Ⅱ）求cosC的最小值．

2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知asinA=4bsinB，ac=（a2﹣b2﹣c2）．

（Ⅰ）求cosA的值；

（Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值．

3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．

~

（Ⅰ）求C；

（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．

4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA=，sinB=C．

（1）求tanC的值；

（2）若a=，求△ABC的面积．

5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=．

（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC；

（Ⅱ）若b2+c2﹣a2=bc，求tanB．

6．在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．

（1）求BC的长；

\

（2）求sin2C的值．

7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣．

（Ⅰ）求a和sinC的值；

（Ⅱ）求cos（2A+）的值．

8．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行．

（Ⅰ）求A；

（Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面积．

9．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且b=3，c=1，△ABC的面积为，求cosA与a的值．

10．如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC=，EA=2，∠ADC=，∠BEC=．

（Ⅰ）求sin∠CED的值；

~

（Ⅱ）求BE的长．

11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB．

（Ⅰ）证明：A=2B；

（Ⅱ）若△ABC的面积S=，求角A的大小．

12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．

（1）求tanC的值；

（2）若△ABC的面积为3，求b的值．

13．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a+b+c=8．

（Ⅰ）若a=2，b=，求cosC的值；

}

（Ⅱ）若sinAcos2+sinBcos2=2sinC，且△ABC的面积S=sinC，求a和b的值．

14．△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．

（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；

（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值．

15．△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c．

（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；

（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，且c=2a，求cosB的值．

16．四边形ABCD的内角A与C互补，AB=1，BC=3，CD=DA=2．

（1）求C和BD；

（2）求四边形ABCD的面积．

【

17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）=8sin2．

（1）求cosB；

（2）若a+c=6，△ABC的面积为2，求b．

18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB．

（1）证明：A=2B；

（2）若cosB=，求cosC的值．

19．设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．

（Ⅰ）证明：B﹣A=；

（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．

20．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosB=，sin（A+B）=，ac=2，求sinA和c的值．

$

21．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA．

（Ⅰ）证明：sinB=cosA；

（Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C．

22．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．

（1）求；

（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．

23．已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．

（Ⅰ）若a=b，求cosB；

（Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积．

24．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC

<

（Ⅰ） 求．

（Ⅱ） 若∠BAC=60°，求∠B．

25．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c=b，sinB=sinC，

（Ⅰ）求cosA的值；

（Ⅱ）求cos（2A﹣）的值．

26．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+．

（Ⅰ）求b的值；

（Ⅱ）求△ABC的面积．

27．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．

（1）若sin（A+）=2cosA，求A的值．

）

（2）若cosA=，b=3c，求sinC的值．

28．在△ABC中，角A，B，C的对边是a，b，c，已知3acosA=ccosB+bcosC

（1）求cosA的值

（2）若a=1，cosB+cosC=，求边c的值．

29．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=a•cosB．

（1）求角B的大小；

（2）若b=3，sinC=2sinA，分别求a和c的值．

30．在△ABC中，a=3，b=2，∠B=2∠A．

（Ⅰ）求cosA的值；

（Ⅱ）求c的值．

/

三角函数与解三角形高考试题精选

参与试题解析

一．解答题（共31小题）

1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）=+．

（Ⅰ）证明：a+b=2c；

（Ⅱ）求cosC的最小值．

【解答】解：（Ⅰ）证明：由得：

【

；

∴两边同乘以cosAcosB得，2（sinAcosB+cosAsinB）=sinA+sinB；

∴2sin（A+B）=sinA+sinB；

即sinA+sinB=2sinC（1）；

根据正弦定理，；

∴，带入（1）得：；

∴a+b=2c；

（Ⅱ）a+b=2c；

∴（a+b）2=a2+b2+2ab=4c2；

∴a2+b2=4c2﹣2ab，且4c2≥4ab，当且仅当a=b时取等号；

）

又a，b＞0；

∴；

∴由余弦定理，=；

∴cosC的最小值为．

2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知asinA=4bsinB，ac=（a2﹣b2﹣c2）．

（Ⅰ）求cosA的值；

（Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值．

【解答】（Ⅰ）解：由，得asinB=bsinA，

又asinA=4bsinB，得4bsinB=asinA，

]

两式作比得：，∴a=2b．

由，得，

由余弦定理，得；

（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得，代入asinA=4bsinB，得．

由（Ⅰ）知，A为钝角，则B为锐角，

∴．

于是，，

故．

3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．

—

（Ⅰ）求C；

（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．

【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sinC≠0

已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，

整理得：2cosCsin（A+B）=sinC，

即2cosCsin（π﹣（A+B））=sinC

2cosCsinC=sinC

∴cosC=，

∴C=；

（Ⅱ）由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab•，

}

∴（a+b）2﹣3ab=7，

∵S=absinC=ab=，

∴ab=6，

∴（a+b）2﹣18=7，

∴a+b=5，

∴△ABC的周长为5+．

4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA=，sinB=C．

（1）求tanC的值；

（2）若a=，求△ABC的面积．

{

【解答】解：（1）∵A为三角形的内角，cosA=，

∴sinA==，

又cosC=sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=cosC+sinC，

整理得：cosC=sinC，

则tanC=；

（2）由tanC=得：cosC====，

∴sinC==，

∴sinB=cosC=，

∵a=，∴由正弦定理=得：c===，

则S△ABC=acsinB=×××=．

【

5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=．

（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC；

（Ⅱ）若b2+c2﹣a2=bc，求tanB．

【解答】（Ⅰ）证明：在△ABC中，∵+=，

∴由正弦定理得：，

∴=，

∵sin（A+B）=sinC．

∴整理可得：sinAsinB=sinC，

（Ⅱ）解：b2+c2﹣a2=bc，由余弦定理可得cosA=．

(

sinA=，=

+==1，=，

tanB=4．

6．在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．

（1）求BC的长；

（2）求sin2C的值．

【解答】解：（1）由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA=4+9﹣2×2×3×=7，

所以BC=．

（2）由正弦定理可得：，则sinC===，

·

∵AB＜BC，BC=，AB=2，角A=60°，在三角形ABC中，大角对大边，大边对大角，＞2，

∴角C＜角A，角C为锐角．sinC＞0，cosC＞0则cosC===．

因此sin2C=2sinCcosC=2×=．

7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣．

（Ⅰ）求a和sinC的值；

（Ⅱ）求cos（2A+）的值．

【解答】解：（Ⅰ）在三角形ABC中，由cosA=﹣，可得sinA=，△ABC的面积为3，可得：，

可得bc=24，又b﹣c=2，解得b=6，c=4，由a2=b2+c2﹣2bccosA，可得a=8，

，解得sinC=；

"

（Ⅱ）cos（2A+）=cos2Acos﹣sin2Asin==．

8．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行．

（Ⅰ）求A；

（Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面积．

【解答】解：（Ⅰ）因为向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行，

所以asinB﹣=0，由正弦定理可知：sinAsinB﹣sinBcosA=0，因为sinB≠0，

所以tanA=，可得A=；

（Ⅱ）a=，b=2，由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，可得7=4+c2﹣2c，解得c=3，

△ABC的面积为：=．

)

9．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且b=3，c=1，△ABC的面积为，求cosA与a的值．

【解答】解：∵b=3，c=1，△ABC的面积为，

∴=，

∴sinA=，

又∵sin2A+cos2A=1

∴cosA=±，

由余弦定理可得a==2或2．

10．如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC=，EA=2，∠ADC=，∠BEC=．

\

（Ⅰ）求sin∠CED的值；

（Ⅱ）求BE的长．

【解答】解：（Ⅰ）设α=∠CED，

在△CDE中，由余弦定理得EC2=CD2+ED2﹣2CD•DEcos∠CDE，

即7=CD2+1+CD，则CD2+CD﹣6=0，

解得CD=2或CD=﹣3，（舍去），

在△CDE中，由正弦定理得，

则sinα=，

即sin∠CED=．

)

（Ⅱ）由题设知0＜α＜，由（Ⅰ）知cosα=，

而∠AEB=，

∴cos∠AEB=cos（）=coscosα+sinsinα=，

在Rt△EAB中，cos∠AEB=，

故BE=．

11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB．

（Ⅰ）证明：A=2B；

（Ⅱ）若△ABC的面积S=，求角A的大小．

【解答】（Ⅰ）证明：∵b+c=2acosB，

》

∴sinB+sinC=2sinAcosB，

∴sinB+sin（A+B）=2sinAcosB

∴sinB+sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB

∴sinB=sinAcosB﹣cosAsinB=sin（A﹣B）

∵A，B是三角形中的角，

∴B=A﹣B，

∴A=2B；

（Ⅱ）解：∵△ABC的面积S=，

∴bcsinA=，

∴2bcsinA=a2，

'

∴2sinBsinC=sinA=sin2B，

∴sinC=cosB，

∴B+C=90°，或C=B+90°，

∴A=90°或A=45°．

12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．

（1）求tanC的值；

（2）若△ABC的面积为3，求b的值．

【解答】解：（1）∵A=，∴由余弦定理可得：，∴b2﹣a2=bc﹣c2，

又b2﹣a2=c2．∴bc﹣c2=c2．∴b=c．可得，

…

∴a2=b2﹣=，即a=．

∴cosC===．

∵C∈（0，π），

∴sinC==．

∴tanC==2．

或由A=，b2﹣a2=c2．

可得：sin2B﹣sin2A=sin2C，

∴sin2B﹣=sin2C，

∴﹣cos2B=sin2C，

∴﹣sin=sin2C，

。

∴﹣sin=sin2C，

∴sin2C=sin2C，

∴tanC=2．

（2）∵=×=3，

解得c=2．

∴=3．

13．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a+b+c=8．

（Ⅰ）若a=2，b=，求cosC的值；

（Ⅱ）若sinAcos2+sinBcos2=2sinC，且△ABC的面积S=sinC，求a和b的值．

~

【解答】解：（Ⅰ）∵a=2，b=，且a+b+c=8，

∴c=8﹣（a+b）=，

∴由余弦定理得：cosC===﹣；

（Ⅱ）由sinAcos2+sinBcos2=2sinC可得：sinA•+sinB•=2sinC，

整理得：sinA+sinAcosB+sinB+sinBcosA=4sinC，

∵sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=sinC，

∴sinA+sinB=3sinC，

利用正弦定理化简得：a+b=3c，

∵a+b+c=8，

∴a+b=6①，

》

∵S=absinC=sinC，

∴ab=9②，

联立①②解得：a=b=3．

14．△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．

（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；

（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值．

【解答】解：（Ⅰ）∵a，b，c成等差数列，

∴2b=a+c，

利用正弦定理化简得：2sinB=sinA+sinC，

#

∵sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C），

∴sinA+sinC=2sinB=2sin（A+C）；

（Ⅱ）∵a，b，c成等比数列，

∴b2=ac，

∴cosB==≥=，

当且仅当a=c时等号成立，

∴cosB的最小值为．

15．△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c．

（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；

·

（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，且c=2a，求cosB的值．

【解答】解：（Ⅰ）∵a，b，c成等差数列，

∴a+c=2b，

由正弦定理得：sinA+sinC=2sinB，

∵sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C），

则sinA+sinC=2sin（A+C）；

（Ⅱ）∵a，b，c成等比数列，

∴b2=ac，

将c=2a代入得：b2=2a2，即b=a，

∴由余弦定理得：cosB===．

{

16．四边形ABCD的内角A与C互补，AB=1，BC=3，CD=DA=2．

（1）求C和BD；

（2）求四边形ABCD的面积．

【解答】解：（1）在△BCD中，BC=3，CD=2，

由余弦定理得：BD2=BC2+CD2﹣2BC•CDcosC=13﹣12cosC①，

在△ABD中，AB=1，DA=2，A+C=π，

由余弦定理得：BD2=AB2+AD2﹣2AB•ADcosA=5﹣4cosA=5+4cosC②，

由①②得：cosC=，

则C=60°，BD=；

、

（2）∵cosC=，cosA=﹣，

∴sinC=sinA=，

则S=AB•DAsinA+BC•CDsinC=×1×2×+×3×2×=2．

17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）=8sin2．

（1）求cosB；

（2）若a+c=6，△ABC的面积为2，求b．

【解答】解：（1）sin（A+C）=8sin2，

∴sinB=4（1﹣cosB），

$

∵sin2B+cos2B=1，

∴16（1﹣cosB）2+cos2B=1，

∴16（1﹣cosB）2+cos2B﹣1=0，

∴16（cosB﹣1）2+（cosB﹣1）（cosB+1）=0，

∴（17cosB﹣15）（cosB﹣1）=0，

∴cosB=；

（2）由（1）可知sinB=，

∵S△ABC=ac•sinB=2，

∴ac=，

∴b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣2××

<

=a2+c2﹣15=（a+c）2﹣2ac﹣15=36﹣17﹣15=4，

∴b=2．

18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB．

（1）证明：A=2B；

（2）若cosB=，求cosC的值．

【解答】（1）证明：∵b+c=2acosB，

∴sinB+sinC=2sinAcosB，

∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，

∴sinB=sinAcosB﹣cosAsinB=sin（A﹣B），由A，B∈（0，π），

*

∴0＜A﹣B＜π，∴B=A﹣B，或B=π﹣（A﹣B），化为A=2B，或A=π（舍去）．

∴A=2B．

（II）解：cosB=，∴sinB==．

cosA=cos2B=2cos2B﹣1=，sinA==．

∴cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB=+×=．

19．设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．

（Ⅰ）证明：B﹣A=；

（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）由a=btanA和正弦定理可得==，

。

∴sinB=cosA，即sinB=sin（+A）

又B为钝角，∴+A∈（，π），

∴B=+A，∴B﹣A=；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知C=π﹣（A+B）=π﹣（A++A）=﹣2A＞0，

∴A∈（0，），∴sinA+sinC=sinA+sin（﹣2A）

=sinA+cos2A=sinA+1﹣2sin2A

=﹣2（sinA﹣）2+，

∵A∈（0，），∴0＜sinA＜，

∴由二次函数可知＜﹣2（sinA﹣）2+≤

∴sinA+sinC的取值范围为（，]

*

20．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosB=，sin（A+B）=，ac=2，求sinA和c的值．

【解答】解：①因为△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知cosB=，

sin（A+B）=，ac=2，所以sinB=，sinAcosB+cosAsinB=，

所以sinA+cosA=①，结合平方关系sin2A+cos2A=1②，

由①②解得27sin2A﹣6sinA﹣16=0，

解得sinA=或者sinA=﹣（舍去）；

②由正弦定理，由①可知sin（A+B）=sinC=，sinA=，

所以a=2c，又ac=2，所以c=1．

·

21．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA．

（Ⅰ）证明：sinB=cosA；

（Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C．

【解答】解：（Ⅰ）证明：∵a=btanA．

∴=tanA，

∵由正弦定理：，又tanA=，

∴=，

∵sinA≠0，

∴sinB=cosA．得证．

（Ⅱ）∵sinC=sin[π﹣（A+B）]=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，

，

∴sinC﹣sinAcosB=cosAsinB=，由（1）sinB=cosA，

∴sin2B=，

∵0＜B＜π，

∴sinB=，

∵B为钝角，

∴B=，

又∵cosA=sinB=，

∴A=，

∴C=π﹣A﹣B=，

综上，A=C=，B=．

…

22．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．

（1）求；

（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．

【解答】解：（1）如图，过A作AE⊥BC于E，

∵==2

∴BD=2DC，

∵AD平分∠BAC

∴∠BAD=∠DAC

在△ABD中，=，∴sin∠B=

…

在△ADC中，=，∴sin∠C=；

∴==．…6分

（2）由（1）知，BD=2DC=2×=．

过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，

∵AD平分∠BAC，

∴DM=DN，

∴==2，

∴AB=2AC，

令AC=x，则AB=2x，

∵∠BAD=∠DAC，

！

∴cos∠BAD=cos∠DAC，

∴由余弦定理可得：=，

∴x=1，

∴AC=1，

∴BD的长为，AC的长为1．

23．已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．

（Ⅰ）若a=b，求cosB；

（Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积．

《

【解答】解：（I）∵sin2B=2sinAsinC，

由正弦定理可得：＞0，

代入可得（bk）2=2ak•ck，

∴b2=2ac，

∵a=b，∴a=2c，

由余弦定理可得：cosB===．

（II）由（I）可得：b2=2ac，

∵B=90°，且a=，

∴a2+c2=b2=2ac，解得a=c=．

∴S△ABC==1．

（

24．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC

（Ⅰ） 求．

（Ⅱ） 若∠BAC=60°，求∠B．

【解答】解：（Ⅰ）如图，

由正弦定理得：

，

∵AD平分∠BAC，BD=2DC，

∴；

（Ⅱ）∵∠C=180°﹣（∠BAC+∠B），∠BAC=60°，

…

∴，

由（Ⅰ）知2sin∠B=sin∠C，

∴tan∠B=，即∠B=30°．

25．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c=b，sinB=sinC，

（Ⅰ）求cosA的值；

（Ⅱ）求cos（2A﹣）的值．

【解答】解：（Ⅰ）将sinB=sinC，利用正弦定理化简得：b=c，

代入a﹣c=b，得：a﹣c=c，即a=2c，

·

∴cosA===；

（Ⅱ）∵cosA=，A为三角形内角，

∴sinA==，

∴cos2A=2cos2A﹣1=﹣，sin2A=2sinAcosA=，

则cos（2A﹣）=cos2Acos+sin2Asin=﹣×+×=．

26．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+．

（Ⅰ）求b的值；

（Ⅱ）求△ABC的面积．

【解答】解：（Ⅰ）∵cosA=，

}

∴sinA==，

∵B=A+．

∴sinB=sin（A+）=cosA=，

由正弦定理知=，

∴b=•sinB=×=3．

（Ⅱ）∵sinB=，B=A+＞

∴cosB=﹣=﹣，

sinC=sin（π﹣A﹣B）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×（﹣）+×=，

∴S=a•b•sinC=×3×3×=．

：

27．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．

（1）若sin（A+）=2cosA，求A的值．

（2）若cosA=，b=3c，求sinC的值．

【解答】解：（1）因为，

所以sinA=，

所以tanA=，

所以A=60°

（2）由

及a2=b2+c2﹣2bccosA

得a2=b2﹣c2

故△ABC是直角三角形且B=

所以sinC=cosA=

28．在△ABC中，角A，B，C的对边是a，b，c，已知3acosA=ccosB+bcosC

（1）求cosA的值

（2）若a=1，cosB+cosC=，求边c的值．

【解答】解：（1）由余弦定理可知2accosB=a2+c2﹣b2；2abcosc=a2+b2﹣c2；

代入3acosA=ccosB+bcosC；

 得cosA=；

（2）∵cosA= 

∴sinA=       

cosB=﹣cos（A+C）=﹣cosAcosC+sinAsinC=﹣cosC+sinC    ③

又已知 cosB+cosC=   代入 ③

cosC+sinC=，与cos2C+sin2C=1联立

解得  sinC=

已知 a=1

正弦定理：c===

29．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=a•cosB．

（1）求角B的大小；

（2）若b=3，sinC=2sinA，分别求a和c的值．

【解答】解：（1）∵bsinA=a•cosB，由正弦定理可得：sinBsinA=sinAcosB，

∵sinA≠0，∴sinB=cosB，

B∈（0，π），

可知：cosB≠0，否则矛盾．

∴tanB=，∴B=．

（2）∵sinC=2sinA，∴c=2a，

由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB，

∴9=a2+c2﹣ac，

把c=2a代入上式化为：a2=3，解得a=，

∴．

30．在△ABC中，a=3，b=2，∠B=2∠A．

（Ⅰ）求cosA的值；

（Ⅱ）求c的值．

【解答】解：（Ⅰ）由条件在△ABC中，a=3，，∠B=2∠A，

利用正弦定理可得 ，即=．

解得cosA=．

（Ⅱ）由余弦定理可得 a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即 9=+c2﹣2×2×c×，

即 c2﹣8c+15=0．

解方程求得 c=5，或 c=3．

当c=3时，此时a=c=3，根据∠B=2∠A，可得 B=90°，A=C=45°，

△ABC是等腰直角三角形，但此时不满足a2+c2=b2，故舍去．

当c=5时，求得cosB==，cosA==，

∴cos2A=2cos2A﹣1==cosB，∴B=2A，满足条件．

综上，c=5．