2010年天津市大学数学竞赛试题参

（理工类）

一、填空：（本题15分，每小题3分。请将最终结果填在相应的横线上面。）

1.设，则  。

2.已知的一个原函数为，则  。

3.   1   。

4.设a，b为非零向量，且满足（a + 3b）⊥（7a – 5b），（a – 4b）⊥（7a – 2b），则a与b的夹角为  。

5.根据美国1996年发布的《美国能源报告》原油消耗量的估计公式为（单位：十亿桶/年）：

，

式中t的原点取为2000年1月。如果实测模型为：

，

则自1995年至2015年共节省原油  12亿桶  。

二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）

1. 设函数其中是有界函数，则在点处（ C ）。

（A）极限不存在； （B）极限存在，但不连续；

（C）连续但不可导； （D）可导。

2. 设曲线的极坐标方程为，则在其上对应于点处的切线的直角坐标方程为（   A   ）。

（A）； （B）；

（C）； （D）。

3. 设函数连续，则（   D ）。

（A）； （B）；

（C）； （D）。

4. 设为一函数的全微分，则下面正确的答案为（ C   ）。

（A）； （B）；

（C）； （D）。

5. 设曲面，并取上侧为正，则不等于零的曲面积分为：（ B ）。

（A）； （B）；

（C）； （D）。

三、计算。（本题7分）

解：先求。令，当时，，则

从而

四、设，求。（本题6分）

解：，即。  （※）

等式（※）两边再对x求2阶导数得：

，

令，得。

等式（※）两边对x求4阶导数得：，

令，得。

五、对k的不同取值，分别讨论方程在区间内根的个数。（本题7分）

解：设，，，

⑴ 当时，，即在上单调增加，又，故原方程在区间内无根；

⑵ 当时：，，单调减少；

   ，，单调增加。

所以是的极小值点，极小值。

于是，当，即时，原方程在区间内无根；

 当，即时，原方程在区间内有唯一的根；

 当，即时，原方程在区间内有两个根。

六、设a，b均为常数且，，问a，b为何值时，有

。（本题7分）

解：

因为极限存在，故必有，即。所以有

。

由题意得

，

即。

七、设，，证明：存在并求其值。（本题8分）

证明：因为，所以与的符号相同，且类似可得与同号。

而，

于是

1当时，有，即数列单调增加；

2当时，也有，数列单调增加；

3当时，有，数列单调减少；

4当时，。

又，即与同号。

所以，当时，或时，，即数列有上界，此时数列单调增加且有上界，收敛。

当时，，数列有下界，此时数列单调减少且有下界，收敛。

当时，，常数数列显然收敛。

综上所述，存在，设其值为A，故

，

有，，得A = 4（A = －3舍去，因）。

八、设是区间上的函数，且，，证明：，。（本题7分）

证明：对，的泰勒公式为：

，。

当时，分别有

，；

，。

两式相减得

，

故

而，故，。

（附：若取，，则，。显然，）。

九、设是由所确定的二元函数，求：，。（本题6分）

解：将等式两边分别对x，y求偏导数：

，。

，。

。

。

十、求，其中曲线L是位于上半平面，从点到的部分。（本题7分）

解：，，，即积分与路径无关。

但因在点处与无定义，故应选积分路径：从到再到最后到的折线段。于是

十一、计算，其中Σ为由曲面与所围成的封闭曲面的外侧。（本题7分）

解：对右端的第一个积分使用高斯公式

其中Ω是Σ所围的空间区域，Ω1是Ω位于第1卦限的部分。

对于右端的第二个积分

，

其中Σ1是平面上的部分上侧，显然。Σ2是的外侧，

，

所以。

十二、在曲面上求一点P，使该曲面在P点处的切平面与曲面之间并被圆柱面所围空间区域的体积最小。（本题8分）

解：因为，其中和分别是以曲面和P点处的切平面为顶，以为底，以圆柱面为侧面的区域的体积，且是常数，所以求的最小值可转化为求的最大值。

 设点P的坐标为，则曲面在该点处的法向量为，切平面方程为

又，故切平面方程为

。

于是

其中。

 利用极坐标计算

即。

 由

解得唯一驻点为，。对应的。

 又当为区域D边界上的点时，有

，即，

所以恒为常数。可知只在区域D的内部取到最大值。而点（1,0）是D内的唯一驻点，故在此唯一驻点处的值是最大值。

 此时切点P的坐标为所求。切平面方程为，最小体积为

 。