上海市浦东新区高一上期末数学试卷

2016-2017学年上海市浦东新区高一（上）期末数学试卷

一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.

1．函数y=a x （a ＞0且a ≠1）的图象均过定点 ．

2．请写出“好货不便宜”的等价命题： ．

3．若集合A={x |x ≤1}，B={x |x ≥a }满足A ∩B={1}，则实数a= ．

4．不等式2|x ﹣1|﹣1＜0的解集是 ．

5．若f （x +1）=2x ﹣1，则f （1）= ．

6．不等式的解集为 ．

7．设函数f （x ）=（x +1）（x +a ）为偶函数，则a= ．

8．已知函数f （x ）=，g （x ）=，则f （x ）•g （x ）= ．

9．设α：x ≤﹣5或x ≥1，β：2m ﹣3≤x ≤2m +1，若α是β的必要条件，求实数m 的取值范围 ．

10．函数的值域是 ．

11．已知ab ＞0，且a +4b=1，则

的最小值为 ． 12．已知函数f （

x ）=是R 上的增函数，则a 的取值范围是 ．

二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，每题答对得3分，否则一律得零分.

13．函数y=x 的大致图象是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

14．已知f （x ）是R 上的奇函数，且当x ＞0时，f （x ）=x ﹣1，则x ＜0时f （x ）=（ ）

A ．﹣x ﹣1

B ．x +1

C ．﹣x +1

D ．x ﹣1

15．证券公司提示：股市有风险，入市需谨慎．小强买的股票A 连续4个跌停（一个跌停：比前一天收市价下跌10%），则至少需要几个涨停，才能不亏损（一个涨停：比前一天收市价上涨10%）．（ ）

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

16．给定实数x ，定义[x ]为不大于x 的最大整数，则下列结论中不正确的是（ ）

A ．x ﹣[x ]≥0

B ．x ﹣[x ]＜1

C ．令f （x ）=x ﹣[x ]，对任意实数x ，f （x +1）=f （x ）恒成立

D ．令f （x ）=x ﹣[x ]，对任意实数x ，f （﹣x ）=f （x ）恒成立

三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.

17．已知，求实数m 的取值范围．

18．如图，矩形草坪AMPN 中，点C 在对角线MN 上．CD 垂直于AN 于点D ，CB 垂直于AM 于点B ，|CD |=|AB |=3米，|AD |=|BC |=2米，设|DN |=x 米，|BM |=y 米．求这块矩形草坪AMPN 面积的最小值．

19．设a 是实数，函数f （x ）=a ﹣（x ∈R ），

（1）若已知（1，2）为该函数图象上一点，求a 的值．

（2）证明：对于任意a ，f （x ）在R 上为增函数．

20．已知函数f （x ）=x 2﹣2ax +1．

（1）若对任意的实数x 都有f （1+x ）=f （1﹣x ）成立，求实数 a 的值； （2）若f （x ）在区间[1，+∞）上为单调递增函数，求实数a 的取值范围； （3）当x ∈[﹣1，1]时，求函数f （x ）的最大值．

21．在区间D 上，如果函数f （x ）为减函数，而xf （x ）为增函数，则称f （x ）为D 上的弱减函数．若f （x ）=

（1）判断f （x ）在区间[0，+∞）上是否为弱减函数；

（2）当x ∈[1，3]时，不等式恒成立，求实数a 的取值范围； （3）若函数g （x ）=f （x ）+k |x |﹣1在[0，3]上有两个不同的零点，求实数k 的取值范围．

参与试题解析

一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.

1．函数y=a x（a＞0且a≠1）的图象均过定点（0，1）．

【考点】指数函数的图象与性质．

【分析】根据指数函数的性质判断即可．

【解答】解：∵a0=1，a＞0且a≠1，

∴函数y=a x（a＞0且a≠1）的图象均过定点（0，1），

故答案为：（0，1）．

2．请写出“好货不便宜”的等价命题：便宜没好货．

【考点】四种命题．

【分析】写出原命题的逆否命题，可得答案．

【解答】解：“好货不便宜”即“如果货物为好货，则价格不便宜”，

其逆否命题为：“如果价格便宜，则货物不是好货”，

即“便宜没好货”，

故答案为：便宜没好货

3．若集合A={x|x≤1}，B={x|x≥a}满足A∩B={1}，则实数a=1．

【考点】交集及其运算．

【分析】由A，B，以及两集合的交集，确定出a的值即可．

【解答】解：∵A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，且A∩B={1}，

∴a=1，

故答案为：1

4．不等式2|x ﹣1|﹣1＜0的解集是

．

【考点】绝对值不等式的解法．

【分析】先去掉绝对值然后再根据绝对值不等式的解法进行求解．

【解答】解：①若x ≥1，∴2（x ﹣1）﹣1＜0，∴x ＜；

②若x ＜1，∴2（1﹣x ）﹣1＜0，∴x ＞；

综上＜x ＜．

故答案为：＜x ＜．

5．若f （x +1）=2x ﹣1，则f （1）= ﹣1 ．

【考点】函数的值．

【分析】f （1）=f （0+1），由此利用f （x +1）=2x ﹣1，能求出结果．

【解答】解：∵f （x +1）=2x ﹣1，

∴f （1）=f （0+1）=2×0﹣1=﹣1．

故答案为：﹣1．

6．不等式的解集为 （﹣∞，2）∪[3，+∞） ．

【考点】其他不等式的解法．

【分析】首先将不等式化为整式不等式，然后求解集．

【解答】解：原不等式等价于（x ﹣3）（x ﹣2）≥0且x ﹣2≠0，

所以不等式的解集为（﹣∞，2）∪[3，+∞）；

故答案为：（﹣∞，2）∪[3，+∞）

7．设函数f （x ）=（x +1）（x +a ）为偶函数，则a= ﹣1 ．

【考点】函数奇偶性的性质．

【分析】因为函数为偶函数，则根据偶函数定义f （﹣x ）=f （x ）得到等式解出a 即可．

【解答】解：∵函数为偶函数得f （1）=f （﹣1）

得：2（1+a ）=0

∴a=﹣1．

故答案为：﹣1．

8．已知函数f （x ）=

，g （x ）=，则f （x ）•g （x ）= x ，x ∈（﹣1，0）

∪（0，+∞） ．

【考点】函数解析式的求解及常用方法．

【分析】直接将f （x ），g （x ）代入约分即可．

【解答】解：∵函数f （x ）=，g （x ）=， ∴f （x ）•g （x ）=x ，x ∈（﹣1，0）∪（0，+∞），

故答案为：x ，x ∈（﹣1，0）∪（0，+∞）．

9．设α：x ≤﹣5或x ≥1，β：2m ﹣3≤x ≤2m +1，若α是β的必要条件，求实数m 的取值范围 m ≤﹣3或m ≥2 ．

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．

【分析】根据充分必要条件的定义以及集合的包含关系求出m 的范围即可．

【解答】解：α：x ≤﹣5或x ≥1，β：2m ﹣3≤x ≤2m +1，

若α是β的必要条件，

则2m ﹣3≥1或2m +1≤﹣5，

故m ≥2或m ≤﹣3，

故答案为：m ≥2或m ≤﹣3．

10．函数的值域是 （0，4] ．

【考点】函数的值域．

【分析】换元得出设t=x 2﹣2≥﹣2，y=（）t ，求解即可得出答案．

【解答】解：设t=x 2﹣2≥﹣2，

∵y=（）t 为减函数，

∴0＜（）t ≤（）﹣2=4，

故函数的值域是（0，4]，

故答案为：（0，4]．

11．已知ab ＞0，且a +4b=1，则

的最小值为 9 ． 【考点】基本不等式．

【分析】把“1”换成4a +b ，整理后积为定值，然后用基本不等式求最小值

【解答】解：∵ab ＞0，且a +4b=1，

∴=（）（a +4b ）=1+4++≥5+2=9，当且仅当a=，b=时取等号，

∴的最小值为9，

故答案为：9．

12．已知函数f （x ）=

是R 上的增函数，则a 的取值范围是

（﹣∞，0） ．

【考点】函数单调性的性质． 【分析】由条件利用函数的单调性的性质，可得1﹣2a ＞1，且 a ＜0，由此求得a 的取值范围．

【解答】解：由于函数f （x ）=是R 上的增函数，∴1﹣2a ＞1，且a ＜0，

求得a ＜0，

故答案为：（﹣∞，0）．

二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，每题答对得3分，否则一律得零分.

13．函数y=x 的大致图象是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【考点】函数的图象．

【分析】根据函数的奇偶性和函数值得变化趋势即可判断．

【解答】解：y=f （﹣x ）=

==f （x ），

∴函数y=x 为偶函数， ∴图象关于y 轴对称，故排除C ，D ，

∵＞1，

∴当x ＞0时，y=x

的变化是越来越快，故排除B 故选：A

14．已知f （x ）是R 上的奇函数，且当x ＞0时，f （x ）=x ﹣1，则x ＜0时f （x ）=（ ）

A ．﹣x ﹣1

B ．x +1

C ．﹣x +1

D ．x ﹣1

【考点】函数奇偶性的性质．

【解答】解：设x＜0，则﹣x＞0，

∵当x＞0时，f（x）=x﹣1，

∴当x＜0时，f（﹣x）=﹣x﹣1，

又∵f（x）是R上的奇函数，

∴f（x）=﹣f（﹣x），

∴当x＜0时，f（x）=﹣f（﹣x）=x+1，

故选B．

15．证券公司提示：股市有风险，入市需谨慎．小强买的股票A连续4个跌停（一个跌停：比前一天收市价下跌10%），则至少需要几个涨停，才能不亏损（一个涨停：比前一天收市价上涨10%）．（）

A．3 B．4 C．5 D．6

【考点】函数的值．

【分析】设小强买的股票A时买入价格为a，连续4个跌停后价格为a（1﹣10%）4=0.6561a，设至少需要x个涨停，才能不亏损，则0.65a（1+10%）x≥a，由此能求出结果．

【解答】解：设小强买的股票A时买入价格为a，

连续4个跌停后价格为a（1﹣10%）4=0.6561a，

设至少需要x个涨停，才能不亏损，则0.65a（1+10%）x≥a，

整理得：1.1x≥1.5235，

∵1.15=1.6105，1.14=1.41．

∴至少需要5个涨停，才能不亏损．

故选：C．

16．给定实数x，定义[x]为不大于x的最大整数，则下列结论中不正确的是（）A．x﹣[x]≥0

B．x﹣[x]＜1

C ．令f （x ）=x ﹣[x ]，对任意实数x ，f （x +1）=f （x ）恒成立

D ．令f （x ）=x ﹣[x ]，对任意实数x ，f （﹣x ）=f （x ）恒成立

【考点】函数的值；函数解析式的求解及常用方法．

【分析】利用[x ]为不大于x 的最大整数，结合函数性质求解．

【解答】解：在A 中，∵[x ]为不大于x 的最大整数，∴x ﹣[x ]≥0，故A 正确；

在B 中，∵[x ]为不大于x 的最大整数，∴x ﹣[x ]＜1，故B 正确；

在C 中，∵[x ]为不大于x 的最大整数，f （x ）=x ﹣[x ]，

∴对任意实数x ，f （x +1）=f （x ）恒成立，故C 正确；

在D 中，∵[x ]为不大于x 的最大整数，f （x ）=x ﹣[x ]，

∴f （﹣3.2）=﹣3.2﹣[﹣3.2]=﹣3.2+4=0.8，f （3.2）=3.2﹣[3.2]=3.2﹣3=0.2， ∴对任意实数x ，f （x +1）=f （x ）不成立，故D 错误．

故选：D ．

三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.

17．已知

，求实数m 的取值范围．

【考点】幂函数的性质．

【分析】根据函数的单调性得到关于m 的不等式，解出即可．

【解答】解：（1）设函数， 函数为R 上的单调递增函数 …

得，m 2+m ≤﹣m +3…

即，m 2+2m ﹣3≤0…

得，（m ﹣1）（m +3）≤0

所以，m 的取值范围为：m ∈[﹣3，1]…

18．如图，矩形草坪AMPN 中，点C 在对角线MN 上．CD 垂直于AN 于点D ，CB 垂直于AM 于点B ，|CD |=|AB |=3米，|AD |=|BC |=2米，设|DN |=x 米，|BM |=y 米．求这块矩形草坪AMPN 面积的最小值．

【考点】基本不等式在最值问题中的应用．

【分析】由题意

，表示出矩形的面积，利用基本不等

式，即可求得结论．

【解答】解：由题意

…． S AMPN =（x +2）（y +3）=xy +3x +2y +6=12+3x +2y…．

…．

当且仅当3x=2y ，即x=2，y=3时取得等号．…．

面积的最小值为24平方米． …．

19．设a 是实数，函数f （x ）=a ﹣（x ∈R ）， （1）若已知（1，2）为该函数图象上一点，求a 的值．

（2）证明：对于任意a ，f （x ）在R 上为增函数．

【考点】函数的图象．

【分析】（1）代值计算即可求出a

（2）运用函数的定义判断证明函数的单调性，先在取两个值x 1，x 2后进行作差变形，确定符号，最后下结论即可．

【解答】解：（1）．

（2）证明：设任意x 1，x 2∈R ，x 1＜x 2，

则f （x 1）﹣f （x 2）==

=，

由于指数函数y=2x 在R 上是增函数，且x 1＜x 2，所以

即，

又由2x ＞0，得， ∴f （x 1）﹣f （x 2）＜0即f （x 1）＜f （x 2），

所以，对于任意a ，f （x ）在R 上为增函数．

20．已知函数f （x ）=x 2﹣2ax +1．

（1）若对任意的实数x 都有f （1+x ）=f （1﹣x ）成立，求实数 a 的值； （2）若f （x ）在区间[1，+∞）上为单调递增函数，求实数a 的取值范围； （3）当x ∈[﹣1，1]时，求函数f （x ）的最大值．

【考点】函数的最值及其几何意义；二次函数的性质．

【分析】（1）由题意可得x=1为对称轴，求得f （x ）的对称轴方程，即可得到a ；

（2）求得f （x ）的递增区间，[1，+∞）为它的子区间，可得a 的范围；

（3）由函数图象开口向上，对称轴x=a ，可得最大值只能在端点处取得，讨论a=0，a ＞0，a ＜0，即可得到所求最大值．

【解答】解：（1）由对任意的实数x 都有f （1+x ）=f （1﹣x ）成立，

知函数f （x ）=x 2﹣2ax +1的对称轴为x=a ，即a=1；

（2）函数f （x ）=x 2﹣2ax +1的图象的对称轴为直线x=a ，

由f （x ）在[a ，+∞）上为单调递增函数，

y=f （x ）在区间[1，+∞）上为单调递增函数，得，a ≤1； （3）函数图象开口向上，对称轴x=a ，可得最大值只能在端点处取得． 当a ＜0时，x=1时，函数取得最大值为：2﹣2a ；

当a ＞0时，x=﹣1时，函数取得最大值为：2+2a ；

当a=0时，x=1或﹣1时，函数取得最大值为：2．

21．在区间D 上，如果函数f （x ）为减函数，而xf （x ）为增函数，则称f （x ）为D 上的弱减函数．若f （x ）=

（1）判断f （x ）在区间[0，+∞）上是否为弱减函数；

（2）当x ∈[1，3]时，不等式恒成立，求实数a 的取值范围； （3）若函数g （x ）=f （x ）+k |x |﹣1在[0，3]上有两个不同的零点，求实数k 的取值范围．

【考点】函数单调性的性质．

【分析】（1）利用初等函数的性质、弱减函数的定义，判断

是[0，+

∞）上的弱减函数． （2）根据题意可得，再利用函数的单调性求得函数的最值，可得a 的范围．

（3）根据题意，当x ∈（0，3]时，方程

只有一解，分离参数k ，

换元利用二次函数的性质，求得k 的范围．

【解答】解：（1）由初等函数性质知，

在[0，+∞）上单调递减， 而

在[0，+∞）上单调递增， 所以是[0，+∞）上的弱减函数． （2）不等式化为在x ∈[1，3]上恒成立，则， 而在[1，3]单调递增，∴的最小值为，的最大值为， ∴，∴a ∈[﹣1，]．

（3）由题意知方程

在[0，3]上有两个不同根，

①当x=0时，上式恒成立； ②当x ∈（0，3]时，则由题意可得方程

只有一解， 根据

，

方程化为在t∈（1，2]上只有一解，所以．