初一数学一元一次不等式应用题

列方程组解应用题常用的问题：

①行程问题：行程＝速度×时间

②工程问题：工作量＝工作效率×工作时间

③浓度问题：溶质的溶量＝溶液的质量×浓度

浓度溶液的质量

④存款问题：本息和＝本金＋利息

利息＝本金×利率×期数

⑤调配问题

⑥方案设计及最佳方案选择问题等

⑦利润问题：利润＝售价－进价

【典型例题】

（一）题中含一个未知量，结果求一个未知量

例1：某数的2倍加上5不大于这个数的3倍减去4，那么该数的范围是？

分析：此题中只有一个未知量既某数，可设此未知量根据题意列不等式。

解：设这个数为x   2x+5<=3x-4

解得：x>=9      所以此数小于9。

例2：一个长方形足球场的长为X米，宽为70米，如果它的周长大于350米，面积小于7560平方米，求X的取值范围，并判断这个球场是否可以作为国际足球比赛（注：用于国际比赛的足球场的长在100至110米之间，宽在至75米之间。）

解：2（70+x)>350   70x<7560    解得：105所以x范围是105到108，可做国际比赛的足球场

（二）题中含多个未知量，求一个或多个未知量

例3：一次考试共有25道选择题，做对一题得4分，做错一题或不做减2分，若小明想确保考试成绩在60分以上，那么，他至少做对X题，应满足的不等式是什么？

分析：此题有两个未知量，既做对的题和不做做错的题，可设其中一个量，用这个量表示另一个量；

解：设作对x到题，则做错或不做（25-x）到题

所以可列不等式为： 4x-2(25-x)>=60    解得：x>=55/3

所以x至少为19

例4：有三个连续自然数，它们的和小于15，问这样的自然数有几组它们分别是多少？

分析；三个自然数都是未知量，但它们之间有联系，可设其中一个，用它们之间联系表示另两个；

解：设最小的一个为x，则另两个为（x+1),(x+2)      x+（x+1)+(x+2)<15

x<4     x可为0，1，2，3

所以这样的自然数有4组，它们分别是012，123，234，345

1、某宾馆一楼房间比二楼房间少5间，一旅游团有48人，若全部安排在1楼，每间住4人，房间不够，每间住5人，有房间没住满，若全部安排在二楼，每间住3人，房间不够，每间住4人，则房间没住满，问宾馆一楼有多少房间？

解：设宾馆一楼有X个房间,则二楼房间为X+5间

旅游团有48人，若全部安排在1楼，每间住4人，房间不够，每间住5人，有房间没住满，所以

48/5全部安排在二楼，每间住3人，房间不够，每间住4人，则房间没住满所以 

48/4宾馆一楼有10个房间

2、把一些书分给几个学生，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每个学生分5本，那么最后一人就分不到3本。这些书有多少本？学生有多少人？

设学生有x人，则书有（3x+8）本，所以0〈3x+8-5（x-1）〈3

5〈x〈6。5     又x为正整数，所以x=6，所以3x+8=26。 

所以学生6人，书有26本 

3. 有一个两位数，其十位数字比个位数字大2，这个两位数在30～50之间，求这个两位数。

解：设这个两位数的个位数字为x，依题得：

∵x为正整数或0，符合条件的为x=1，2，相对应的十位数字为3，4。

所以这个两位数可为31，42。     答：这个两位数为31或42。

4. （实际问题）某市出租车的起价为7元，达到5km时，每增加1km加价1.20元。（不足1km部分按1km计算），现在某人乘出租车从甲地到乙地，支付17.8元的车费，从甲地到乙地的路程大约为多少？

解：设甲地到乙地的路程为xkm，依题得

答：从甲地到乙地的路程大约为大于13km且不超过14km。

 5. 每期《初中生》发下来后，小刚都认真阅读，他如果每天读5页，9天读不完，第10天剩不足5页，如果他每天读23页，那么2天读不完，第3天剩不足23页，试问《初中生》每期有多少页？（页数为偶数）

分析：“读不完”指的是有一部分未读，“不足”指的是“少于”的意思。

解：设《初中生》每期有x页，依题意得

6. （探究题）到某一旅游点的门票价格规定如下表：

（1）如果两班联合起来，作为团体购票则可节约多少钱？

（2）两班各有多少学生？

分析：要求两班各有多少人，也就是有2个未知数，要找两个等量关系：甲班人数＋乙班人数＝103，甲班以班为单位付门票钱＋乙班以班为单位付门票钱＝486，但是付门票钱的规格有三种，由于甲班人数多于乙班人数，设甲班人数为x人，乙班人数为y人，由于x>y，x+y=103，则可能出现第一种情况，51≤x≤100，1≤y≤50

第二种，51≤x≤100，51≤y≤100第三种，x>100，1≤y≤50

不可能出现，x>100，y>100或1≤x≤50，1≤y≤50

分三种情况列方程组。

解：（1）486－4×103＝74（元），可以节约74元。

（2）设甲班学生有x人，乙班学生有y人，由于

x>y，x+y=103

a. 若51≤x≤100，1≤y≤50，则得

b. 若51≤x≤100，51≤y≤100，则得

c. 若x>100，1≤y≤50，则得

与x>100及1≤y≤50矛盾。

故甲班学生人数为58名，乙班学生人数为45名。

 7. 一个水池，底部装有一个常开的排水管，上部装有若干个粗细相同的进水管，当打开4个进水管时，需5小时注满水池，当打开2个进水管时，需15小时才能注满水池，现要在4小时将水池注满，那么至少要打开多少个进水管？

分析：进水管每小时的注水量，排水管每小时的排水量都不知道，若想在4小时将水池注满，要打开多少个进水管也不知道，这道题涉及三个未知量，只求一个未知量列方程组求解时可以消去其他二个未知量。

解：设每个进水管1小时的注水量为a，排水管1小时的排水量为b，若想在4小时内注满水池，要打开x个进水管，依题意得

由①得，4a-b=6a-3b    则a=b  ③

把③代入②得

由于水管的个数不能为分数，所以至少打开5个进水管，才能在4小时内将水池注满。

【模拟试题】  1. 某商店以每台7000元的进价购进一批电脑，希望获毛利（毛利＝销售价－进价）不少于600元，但上级规定不得超过销售价的20%，求这批电脑的销售价应定在什么范围内？

  2. 幼儿园玩具若干件，分给小朋友玩，每人分3件，还余77件，若每人分5件，那么最后一个人得到的少于5件，求这所幼儿园有多少玩具？多少小朋友？

  3. 乘某城市的一种出租车起价10元，（在5km以内）达到或超过5km后，每增加1km加价1.2元，（不足1km部分按1km算），现在某人乘这种出租车从甲地到乙地支付车费17.2元，从甲地到乙地路程有多远？

  4. 甲、乙两商店共有练习本200本，某日甲店售出19本，乙店售出97本，甲、乙两店所剩练习本数相等，则甲乙两店有练习本各多少本？

  5. 两个骑自行车的人沿着成圆圈形的跑道用不变的速度行驶，当他们按相反的方向骑的时候，每20秒钟相遇1次，如果按同方向骑，那么每100秒有一个人追上另一个人，假定圆圈跑道长为400米，问各人的速度为多少？

  6. 某服装厂要生产一批同样型号的运动服，已知每3米长的某种布料可做2件上衣或3条裤子，现有此种布料600米，请你帮助设计一下，该如何分配布料，才能使运动服成套而不浪费，能生产多少套运动服？

【试题答案】1. 不少于7600元，不多于8750元

  2. 有39人，玩具194件，或有40人，玩具197件，或有41人，玩具200件。

  3. 大于或等于10km且小于11km     4. 甲店有61本，乙店有139本

  5. 12米/秒，8米/秒  6. 360米做上衣，240米做裤子，共能生产240套运动服。

强化1. (2011浙江绍兴， 22，12分)筹建中的城南中学需720套担任课桌椅（如图），光明厂承担了这项生产任务，该厂生产桌子的必须5人一组，每组每天可生产12张；生产椅子的必须4人一组，每组每天可生产24把.已知学校筹建组要求光明厂6天完成这项生产任务. 

（1）问光明厂平均每天要生产多少套单人课桌椅？

（2）先学校筹建组组要求至少提前1天完成这项生产任务，光明厂生产课桌椅的员工增加到84名，试给出一种分配生产桌子、椅子的员工数的方案. 

【答案】，光明厂平均每天要生产120套单人课桌椅.

（2）设人生产桌子，则人生产椅子，

则解得，生产桌子60人，生产椅子24人。

2. （2011四川内江，加试6，12分）某电脑经销商计划同时购进一批电脑机箱和液晶显示器，若购进电脑机箱10台和液晶显示器8台，共需要资金7000元；若购进电脑机箱2台和液晶显示器5台，共需要资金4120元．

 每台电脑机箱、液晶显示器的进价各是多少元?

 该经销商计划购进这两种商品共50台，而可用于购买这两种商品的资金不超过22240元．根据市场行情，销售电脑机箱、液晶显示器一台分别可获利10元和160元．该经销商希望销售完这两种商品，所获利润不少于4100元．试问：该经销商有哪几种进货方案?哪种方案获利最大?最大利润是多少?

【答案】(1)设每台电脑机箱的进价是x元，液晶显示器的进价是y元，得

，解得

答：每台电脑机箱的进价是60元，液晶显示器的进价是800元

(2)设购进电脑机箱z台，得

，解得24≤x≤26因x是整数，所以x=24,25,26

利润10x+160(50-x)=8000-150x，可见x越小利润就越大，故x=24时利润最大为4400元

3. (2011重庆綦江，25，10分)为了保护环境，某化工厂一期工程完成后购买了3台甲型和2台乙型污水处理设备，共花费资金54万元，且每台乙型设备的价格是每台甲型设备价格的75%，实际运行中发现，每台甲型设备每月能处理污水200吨，每台乙型设备每月能处理污水160吨，且每年用于每台甲型设备的各种维护费和电费为1万元，每年用于每台乙型设备的各种维护费和电费为1.5万元.今年该厂二期工程即将完成，产生的污水将大大增加，于是该厂决定再购买甲、乙两型设备共8台用于二期工程的污水处理，预算本次购买资金不超过84万元，预计二期工程完成后每月将产生不少于1300吨污水.

（1）请你计算每台甲型设备和每台乙型设备的价格各是多少元？

（2）请你求出用于二期工程的污水处理设备的所有购买方案；

【答案】：25. 解：（1）设一台甲型设备的价格为x万元，由题，解得x＝12，∵ 12×75%＝9 ，∴ 一台甲型设备的价格为12万元，一台乙型设备的价格是9万元

(2)设二期工程中,购买甲型设备a台,由题意有，解得： 

由题意a为正整数,∴a＝1,2,3,4    ∴所有购买方案有四种,分别为

方案一:甲型1台,乙型7台；  方案二:甲型2台,乙型6台方案三:甲型3台,乙型5台；  方案四:甲型4台,乙型4台

4. （2011内蒙古乌兰察布，23，10分），某园林部门决定利用现有的349盆甲种花卉和295盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个，摆放在迎宾大道两侧．已知搭配一个A种造型需甲种花卉8盆，乙种花卉4盆；搭配一个B种造型需甲种花卉5盆，乙种花卉9盆．

(l）某校九年级某班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来；

(2）若搭配一个A种造型的成本是200元，搭配一个B种造型的成本是360元，试说明（1）中哪种方案成本最低，最低成本是多少元？

【答案】⑴设搭建A种园艺造型x个，则搭建B种园艺造型（50-x）个.

根据题意得解得，

所以共有三种方案①A :31   B:19 ②A :32   B:18③A :33   B:17

 ⑵由于搭配一个A种造型的成本是200元，搭配一个B种造型的成本是360元，所以搭配同样多的园艺造型A种比B种成本低，则应该搭配A种33个，B种17个.

成本：33×200+17×360=12720（元）

说明：也可列出成本和搭配A种造型数量x之间的函数关系，用函数的性质求解；或直接算出三种方案的成本进行比较也可.

5. （2011重庆市潼南,25,10分）潼南绿色无公害蔬菜基地有甲、乙两种植户，他们种植了A、B两类蔬菜，两

种植户种植的两类蔬菜的种植面积与总收入如下表：

⑴ 求A、Ｂ两类蔬菜每亩平均收入各是多少元？

⑵ 某种植户准备租20亩地用来种植A、Ｂ两类蔬菜，为了使总收入不低于63000元，且种植Ａ类蔬菜的面积多于种植Ｂ类蔬菜的面积（两类蔬菜的种植面积均为整数），求该种植户所有租地方案.

【答案】解：(1)设A、B两类蔬菜每亩平均收入分别是x元，y元．

由题意得：     解得：

答：A、B两类蔬菜每亩平均收入分别是3000元，3500元． 

（2）设用来种植A类蔬菜的面积a亩，则用来种植B类蔬菜的面积为(20-a）亩．

由题意得：    解得：10＜a≤14.

∵a取整数为：11、12、13、14.∴租地方案为：

⑴求每件T恤和每本影集的价格分别为多少元？⑵有几种购买T恤和影集的方案？

【答案】（1）设T恤和影集的价格分别为元和元．则

  解得答：T恤和影集的价格分别为35元和26元．

（2）设购买T恤件，则购买影集 (50-) 本，则

解得，∵为正整数，∴= 23，24，25，

即有三种方案．第一种方案：购T恤23件，影集27本；第二种方案：购T恤24件，影集26本；第三种方案：购T恤25件，影集25本．

18. （2011山东枣庄，22，8分）某中学为落实市教育局提出的“全员育人，创办特色学校”的会议精神，决心打造“书香校园”，计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍，组建中、小型两类图书角共30个.已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本．

（1）符合题意的组建方案有几种？请你帮学校设计出来；

（2）若组建一个中型图书角的费用是860元，组建一个小型图书角的费用是570元，试说明（1）中哪种方案费用最低，最低费用是多少元？

解：（1）设组建中型图书角x个，则组建小型图书角为（30-x）个．由题意，得  

     解这个不等式组，得18≤x≤20． 

由于x只能取整数，∴x的取值是18，19，20． 

 当x=18时，30-x=12；当x=19时，30-x=11；当x=20时，30-x=10．

故有三种组建方案：方案一，中型图书角18个，小型图书角12个；方案二，中型图书

角19个，小型图书角11个；方案三，中型图书角20个，小型图书角10个．  …5分

（2）方案一：860×18+570×12=22320（元）；方案二：860×19+570×11=22610（元）；

方案三：860×20+570×10=22900（元）．故方案一费用最低，最低费用是22320

19. （2011湖南湘潭市，21，6分）（本题满分6分）

某小区前坪有一块空地，现想建成一块面积大于48平方米，周长小于34米的矩形绿化草地，已知一边长为8米，设其邻边长为米，求的整数解.

【答案】解：依题意得：，解得：6