《概率论与数理统计》课程教案

(2)理解并掌握两个随机变量相互的概念和判别。

a)掌握概率论和数理统计中的基本概念和性质并能够运用到复杂工程问题的适当表述之中；

b)能够针对工程应用系统或过程的特点选择合适的概率分布来描述随机现象的统计规律性；

2.具体体现在：本章是第二章一维随机变量的各个概念方法到二维的扩展，本章涉及到很多积分、导数、函数、反函数等的概念和计算。并且将一维分布和条件分布扩展到二维以后，更加适用于实际工程问题。

(2)两个随机变量相互的判别。

在上一节中，我们主要学习了二维随机变量的概念和联合分布以及边缘分布：

其目的是理解并掌握随机变量的二维分布的定义和几何含义，以及边缘分布的计算。本节我们将进一步讨论二维随机变量的条件分布，以及两个随机变量相互的条件：

其目的是学会计算二维随机变量的条件分布，会判别两个随机变量是否相互。

本次课主要讲解二维随机变量的条件分布以及两个随机变量性的判定。

第二部分：二维随机变量的条件分布（55分钟）

由条件概率自然引出条件概率分布的概念

离散型随机变量的条件分布律：

设(X,Y)是二维离散型随机变量，其分布律为

P{X=xi,Y=yj}=pij，i，j＝1,2,…

(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布律为

P{X＝xi}＝pi•＝，i＝1，2，…，P{Y＝yj}＝p•j＝，j＝1，2，…

考虑在事件{Y＝yj}发生的条件下，事件{X＝xi}发生的概率，即求事件

{X＝xi |Y＝yj }，i＝1，2，…

发生的概率

由条件概率公式：

P{X＝xi |Y＝yj }＝P{X＝xi ,Y＝yj }/ P{Y＝yj }= pij/ p•j，i＝1，2，…

其中P{Y＝yj }>0

该条件概率具有分布律的性质：

1.非负性

2.归一性：＝＝＝＝1

条件分布律定义：设(X,Y)是二维离散型随机变量，对于固定的j，若P{Y＝yj }>0，则称P{X＝xi |Y＝yj }＝P{X＝xi ,Y＝yj }/ P{Y＝yj }= pij/ p•j，i＝1，2，…为在Y＝yj 条件下，随机变量X的条件分布律。

同样的，对于固定的i，若P{X＝xi}>0，则称P{Y＝yj |X＝xi }＝P{X＝xi ,Y＝yj }/ P{X＝xi}= pij/p i• ，j＝1，2，…为在X＝xi 条件下，随机变量Y的条件分布律。

例2：一射手进行射击，击中目标的概率为p(0解：实际上本题是求三个分布律：

P{ X＝m ,Y＝n}，P{ Y＝n |X＝m }，P{ X＝m|Y＝n}

按题意，Y＝n表示第n次射击时击中目标，且在前n－1次射击中恰有一次击中目标，各次射击是相互的。这样{Y＝n ,X＝m}表示分别在第m次和第n次击中目标而其它n－2次没击中这一事件。

于是

P{ X＝m ,Y＝n}＝(1－p)•…•(1－p)•p•(1－p)…•(1－p)•p＝p2(1－p)n－2

                           第m次          第n次

即联合分布律为P{ X＝m ,Y＝n}＝p2(1－p)n－2，m＝1，2，…，n＝2，3，…,m又关于X的边缘分布律：

P{ X＝m }=＝＝＝p(1－p)m－1，

 m＝1，2，…

P{ Y＝n}＝=(n－1) p2(1－p)n－2，n＝2，3，…

于是由条件分布律的定义：

当m＝1，2，…时

P{ Y＝n |X＝m}＝P{ Y＝n,X＝m }/P{X＝m}= p2(1－p)n－2/p(1－p)m－1

= p(1－p)n－m－1，n＝m＋1，m＋2，…

当n＝2，3，…时

P{ X＝m|Y＝n}＝P{ Y＝n,X＝m}/ P{ Y＝n}＝p2(1－p)n－2/(n－1) p2(1－p)n－2

             ＝1/(n－1)，m＝1，2，…，n－1

※ 在写条件分布律P{Y＝n|X＝m}时一定在分布律之前给出条件P{X＝m}不等于0的范围，而在分布律之后也要注明Y的取值范围。

连续型随机变量的条件概率密度：

对于连续型随机变量由于对于任意的x或者y，P{Y＝y }＝0，P{ X＝x}＝0，无法用条件概率公式计算P{ X＝x|Y＝y}。

转而求分布函数P{ X≤x|Y＝y}并记为FX|Y(x|y)

由于P{Y＝y}＝0，我们讨论在一个充分小的邻域内事件{y－ε0

然后对任意的x，令ε→0对P{X≤x|y－εP{ X≤x| y－εFX|Y(x|y)＝lim P{ X≤x| y－ε===

===

类似的有FY|X(y|x)＝＝

与概率密度的定义比较，给出条件概率密度的定义

条件概率密度定义：设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)，(X,Y)关于Y的边缘概率密度为fY(y)，若对于固定的y，fY(y)>0，则称为Y=y的条件下X的条件概率密度，记为fX|Y(x|y)＝，

称FX|Y(x|y)＝P{X≤x|Y＝y}＝＝为Y=y的条件下X的条件分布函数

类似的有fY|X(y|x)＝，FY|X(y|x)＝

※在求解条件概率密度fX|Y(x|y)时，前面要给出条件fY(y)>0的y的区间，在后面给出X的取值范围。在(-∞, ∞)区间上都有定义。

例3 有界区域内的均匀分布

定义：设G是平面上的有界区域，其面积为A。若二维随机变量(X,Y)具有概率密度f(x,y)＝，则称(X,Y)在G上服从均匀分布。

现设(X,Y)在圆域x2+y2≤1上服从均匀分布，求条件概率密度fX|Y(x|y)。

解：1）求联合概率密度

f(x,y)＝

2）求边缘概率密度，确定满足fY(y)>0的y的范围

fY(y)＝＝

3）在y的范围内计算条件概率密度f(x,y)/fY(y)

当－1fX|Y(x|y)＝＝

对于区域G，固定y可解得x的fX|Y(x|y)非0范围，注意条件概率中，作为条件的y是确定的实数，y的取值不同获得的条件概率密度也不同

当y＝0时，及y＝1/2时fX|Y(x|y)均是相应区间上的均匀分布，但区间长短和概率密度值不同。

例4：设数X在区间(0,1)上随机地取值，当观察到X＝x(0解：由题意，X具有概率密度fX(x)＝，在(0由于fY|X(y|x)＝，所以f(x,y)= fY|X(y|x)fX(x)（类似于乘法定理）

※这里要把fY|X(y|x)和fX(x)的非0区间合并，其它区域联合密度为0

f(x,y)= ，

于是fY(y)＝＝

第三部分：相互的随机变量（20分钟）

本节学习两个随机变量相互的重要概念，通过两个事件的性来研究

定义： 设F(x,y)及FX(x)和FY(y)分别是二维随机变量(X,Y)的分布函数及边缘分布函数，若对于所有x,y有

              P{X≤x,Y≤y}＝P{X≤x}P{Y≤y}，

即     F(x,y)＝FX(x)FY(y)

则称随机变量X和Y是相互的。

对于连续型随机变量(X,Y)，f(x,y)及fX(x)和fY(y)分别为其概率密度和边缘概率密度：   X和Y相互的条件等价于 f(x,y)＝fX(x)fY(y)几乎处处成立

    几乎处处成立的意义是，除去平面上面积为0的集合(点，线)以外，处处成立

对于离散型随机变量(X,Y)，

X和Y相互的条件等价于P{X＝xi,Y＝yj}＝P{X＝xi}P{Y＝yj}对于X和Y的所有可能取值(xi,yj)都成立，或记为pij＝p i•p•j，i，j＝1，2，…

※在实际中，考察两个随机变量的性往往用概率密度和分布律的定义比较方便

二维正态随机变量(X,Y)的性问题

此时(X,Y)～N(μ1，μ2，σ12，σ22，ρ)

 f(x,y)＝，－∞    而前面已经证明：X～N(μ1，σ12)，Y～N(μ2，σ22)

对任意的x,y有fX(x)fY(y)＝

∴有如下结论：

1°当ρ＝0时，f(x,y)＝fX(x)fY(y)处处成立，X和Y相互

2°若X和Y相互，则由于f(x,y)及fX(x)和fY(y)是连续函数，对任意的x,y有f(x,y)＝fX(x)fY(y)，不妨令x＝μ1,y＝μ2代入等式有＝，即ρ＝0。

综上：对于二维正态随机变量(X,Y)，X和Y相互的充要条件是参数ρ＝0

在第二节的例1中，F和D由于P{D=1,F=0}=1/10 ≠ P{D=1}⨯P{F=0}因而不是相互的

例：一负责人到达办公室的时间均匀分布在8～12时之间，

他的秘书到达办公室的时间均匀分布在7～9时之间，设两人到达的时间相互，求他们到达办公室的时间相差不超过5分钟＝1/12小时的概率

解：设X和Y分别是负责人和他的秘书到达办公室的时间，则相应的概率密度：

fX(x)＝，fY(y)＝，求P{|X－Y|≤1/12}

先求联合概率密度f(x,y)

由于二者，f(x,y)＝fX(x)fY(y)＝

为求概率首先画出区域|y－x|≤1/12

概率密度函数与区域|y－x|≤1/12的公共部分G是四边形BCC′B′仅当X和Y的取值落在区域G内时，相差不超过1/12小时，于是

P{|X－Y|≤1/12}＝=1/8×(G的面积)   （由于f(x,y)是均匀分布）

                           ＝1/8×(ΔABC的面积－ΔAB′C′的面积)

                           =1/8×[1/2(1+1/12)2－1/2(1－1/12)2]=1/48

第三部分：推广到n维（10分钟）

推广到n维：

①分布函数

n维随机变量(X1,X2, …,Xn)的分布函数定义为，对于n个任意实数x1，x2，…xn，n元函数：

    F(x1，x2，…xn)=P{ X1≤x1,X2≤x2, …,Xn≤xn}称为n元随机变量(X1,X2, …,Xn)的分布函数。

②概率密度

若存在非负函数f(x1,x2,…,xn)，对于任意实数x1，x2，…xn，有

F(x1，x2，…xn)=

称f(x1,x2,…,xn)为n元随机变量(X1,X2, …,Xn)的概率密度函数。

③边缘分布函数

n元随机变量(X1,X2, …,Xn)的分布函数为F(x1，x2，…xn)已知，则(X1,X2, …,Xn)的k维边缘分布函数就随之确定。如：

关于Xi的边缘分布函数为：FXi(∞…∞,xi, ∞…∞)

关于Xi, Xj的边缘分布函数为：FXi,Xj(∞…∞,xi, ∞…∞,xj, ∞…∞)

④边缘概率密度函数

若f(x1,x2,…,xn)是(X1,X2, …,Xn)的概率密度，则

关于Xi的边缘概率密度fXi(xi)＝ 

关于Xi, Xj的边缘概率密度

fXi,Xj(xi, xj)＝

⑤性

若对于所有的实数x1，x2，…xn有F(x1，x2，…xn)= FX1(x1)FX2(x2)…FXn(xn)

则称X1,X2, …,Xn相互。

⑥性2

若对于所有的实数x1，x2，…xm，y1，y2，…yn有

F(x1，x2，…xm，y1，y2，…yn)＝F1(x1，x2，…xm) F2(y1，y2，…yn)，其中F1，F2， F依次为随机变量(X1,X2, …,Xm)，(Y1,Y2, …,Yn)和(X1,X2, …,Xn ,Y1,Y2, …,Yn)的分布函数，则称随机变量(X1,X2, …,Xm)和(Y1,Y2, …,Yn)是相互的。

定理：

设(X1,X2, …,Xm)和(Y1,Y2, …,Yn)相互，则Xi(i=1,2,…,m)和Yj(j=1,2,…,n)相互。又若h，g是连续函数，则h(X1,X2, …,Xm)和g(Y1,Y2, …,Yn)相互。

证明：对于第一个命题，通过分布函数和边缘分布函数的关系可证明

FXi,(xi)=FXi(∞…∞,xi, ∞…∞)，…

由F(x1，x2，…xn，y1，y2，…yn)＝F1(x1，x2，…xm) F2(y1，y2，…yn)易于得出边缘分布函数满足FXi,Yj(xi, yj)= FXi,(xi)FYj(yj)

      对于第二个命题，令Z1=h(X1,X2, …,Xm)，Z2=g(Y1,Y2, …,Yn)

     F(z1，z2)＝P{ Z1≤z1, Z2≤z2}= P{h(X1,X2, …,Xm)≤z1, g(Y1,Y2, …,Yn)≤z2}

            = P{(X1,X2, …,Xm)∈G1, (Y1,Y2, …,Yn) ∈G2}

这是关于随机变量(X1,X2, …,Xm)和随机变量(Y1,Y2, …,Yn)的概率表达式

由于二者＝P{(X1,X2, …,Xm) ∈G1}P{(Y1,Y2, …,Yn) ∈G2}

            ＝P{h(X1,X2, …,Xm)≤z1}P{g(Y1,Y2, …,Yn)≤z2}

            ＝P{Z1≤z1}P{Z2≤z2}＝FZ1(z1)FZ2(z2)

随机变量的研究中，一般从分布函数，概率密度，分布律出发来求得边缘，条件分布。

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1.二维连续型随机变量在单点的条件概率和某一个范围内的条件概率计算方法不同；

2.多个性判定条件之间的关系，以及在后续章节还会有新的判定条件加入。