利用导数解决恒成立能成立问题(整理)

一利用导数解决恒成立问题不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法）

(1)恒成立问题

若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上

若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上

1．若在x∈[1，+∞）上恒成立，则a的取值范围是　______　．

2．若不等式x4﹣4x3＞2﹣a对任意实数x都成立，则实数a的取值范围　_________　．

3．设a＞0，函数，若对任意的x1，x2∈[1，e]，都有f（x1）≥g（x2）成立，则a的取值范围为　_________　．

4．若不等式|ax3﹣lnx|≥1对任意x∈（0，1]都成立，则实数a取值范围是　_________　．

15．设函数f（x）的定义域为D，令M={k|f（x）≤k恒成立，x∈D}，N={k|f（x）≥k恒成立，x∈D}，已知，其中x∈[0，2]，若4∈M，2∈N，则a的范围是　

6．f（x）=ax3﹣3x（a＞0）对于x∈[0，1]总有f（x）≥﹣1成立，则a的范围为　_________　．

7．三次函数f（x）=x3﹣3bx+3b在[1，2]内恒为正值，则b的取值范围是　_________　．

8．不等式x3﹣3x2+2﹣a＜0在区间x∈[﹣1，1]上恒成立，则实数a的取值范围是　__　．　

9．当x∈（0，+∞）时，函数f（x）=ex的图象始终在直线y=kx+1的上方，则实数k的取值范围是　_________　．

10．设函数f（x）=ax3﹣3x+1（x∈R），若对于任意的x∈[﹣1，1]都有f（x）≥0成立，则实数a的值为　_________　．

11．若关于x的不等式x2+1≥kx在[1，2]上恒成立，则实数k的取值范围是　_________　．

12．已知f（x）=ln（x2+1），g（x）=（）x﹣m，若∀x1∈[0，3]，∃x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2），则实数m的取值范围是（　　）

若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上的.如

14．已知集合A={x∈R|≤2}，集合B={a∈R|已知函数f（x）=﹣1+lnx，∃x0＞0，使f（x0）≤0成立}，则A∩B=（　　）

（2）若在[1，e]上至少存在一点x0，使得f（x0）＞g（x0）成立，求p的取值范围．

　16．若函数y=f（x），x∈D同时满足下列条件：

（1）在D内的单调函数；

（2）存在实数m，n，当定义域为[m，n]时，值域为[m，n]．则称此函数为D内可等射函数，设（a＞0且a≠1），则当f （x）为可等射函数时，a的取值范围是　．

17．存在x＜0使得不等式x2＜2﹣|x﹣t|成立，则实数t的取值范围是　_________　．

18．存在实数x，使得x2﹣4bx+3b＜0成立，则b的取值范围是　_________　．

19．已知存在实数x使得不等式|x﹣3|﹣|x+2|≥|3a﹣1|成立，则实数a的取值范围是　_　．　

20．存在实数a使不等式a≤2﹣x+1在[﹣1，2]成立，则a的范围为　_________　．

21．若存在x∈，使成立，则实数a的取值范围为　______　．　

22．设存在实数 ，使不等式 成立，则实数t的取值范围为　_________　．　

23．若存在实数p∈[﹣1，1]，使得不等式px2+（p﹣3）x﹣3＞0成立，则实数x的取值范围为　_________　．

24．若存在实数x使成立，求常数a的取值范围．

25．等差数列{an}的首项为a1，公差d=﹣1，前n项和为Sn，其中a1∈{﹣1，1，2}

（I ）若存在n∈N，使Sn=﹣5成立，求a1的值；．

（II）是否存在a1，使Sn＜an对任意大于1的正整数n均成立？若存在，求出a1的值；否则，说明理由．

 利用函数的导数求解“恒成立”求参数范围问题

（1）恒成立问题求参数范围： 

例1已知函数.

（Ⅰ）若，求的取值范围；

练习1.设函数在及时取得极值（1）求a,b的值,

(2)若对于任意的［0,3］都有成立,求c的取值范围

（2）恒成立问题求参数范围：分离参数法。

例2. 已知函数 (1)时，求函数的单调区间和极值，(2)若函数在［1，4］是减函数，求实数的取值范围

解得：(1)函数的单调递减区间是，单调递增区间是（，极小值是

（2）由得依题意所以即又在［1，4］上是减函数，故（4）min

=所以

练习1.已知（1）若对任意的恒成立，求实数的取值范围。（2）求证：

解：（1）

(2)构造函数且则由（1）知当a=-1时，故h(x)在（0，1）上单调递减，h(x)(3) 恒成立问题求参数范围—构造新函数法的单调性或利用原函数的单调性

例3.设函数f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)，若对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求实数a的取值范围．

解法：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a

令g′(x)＝0，解得x＝ea－1－1，               

(i)当a≤1时，对所有x＞0，g′(x)＞0，所以g(x)在[0，＋∞)上是增函数，

又g(0)＝0，所以对x≥0，都有g(x)≥g(0)，

即当a≤1时，对于所有x≥0，都有　f(x)≥ax．   (ii)当a＞1时，对于0＜x＜ea－1－1，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，ea－1－1)是减函数，

又g(0)＝0，所以对0＜x＜ea－1－1，都有g(x)＜g(0)，

即当a＞1时，不是对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立．综上，a的取值范围是（－∞，1]．   

例4.设函数（Ⅰ）求函数的单调区间； 

（Ⅱ）已知对任意成立，求实数的取值范围。

解 (1)    若  则  列表如下

由(1)的结果可知,当时,  , 

为使(1)式对所有成立,当且仅当,即

练习1已知函数（1）当a=1时，求在区间的最大值和最小值；（2）若在区间（1，）上，函数的图像恒在直线下方，求a的取值范围。

2.已知函数f(x)=ln2(1+x)-.

(I)  求函数的单调区间;

（Ⅱ）若不等式对任意的都成立（其中e是自然对数的底数）.

求的最大值.

3.设函数证明：当x>0时，

（4）恒成立问题求参数范围—不等式放缩法

例5.设函数  (1)若a=0,求的单调区间。（2）若当时，，求a的取值范围。

解：（1）在（单调递减，在单调增加。

(2)由（1）知当且仅当x=0时等号成立。故当1-2a0即。

由可得从而当时故当而于是不合题意，故

例6. 设函数．

（Ⅰ）证明：当时，；（Ⅱ）设当时，，求a的取值范围．

练习   1.设函数

（Ⅰ）当曲线处的切线斜率

（Ⅱ）求函数的单调区间与极值；

（Ⅲ）已知函数有三个互不相同的零点0，，且。若对任意的，恒成立，求m的取值范围。

2.已知函数（），其中．

（Ⅰ）当时，讨论函数的单调性；

（Ⅱ）若函数仅在处有极值，求的取值范围；

（Ⅲ）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围．

1．已知函数（a为实数）

 （I）若在处有极值，求a的值；

（II）若在上是增函数，求a的取值范围。

2．设函数.

（Ⅰ）若时，取得极值，求的值；

（Ⅱ）若在其定义域内为增函数，求的取值范围；

3．设函数.

（Ⅰ）求f (x)的单调区间；

（Ⅱ）若当时，不等式f (x)（Ⅲ）若关于x的方程在区间[0, 2]上恰好有两个相异的实根，求实数a的取值范围.

4．已知函数．

    （Ⅰ）若在上单调递增，求实数的取值范围；

5．已知函数.

（Ⅰ）求的最小值；

（Ⅱ）若对所有都有，求实数的取值范围.