物块与长木板的类型习题

主讲  林裕光

1、如图，质量为M、长度为l的小车静止在光滑的水平面上。质量为m的小物块放在小车的最左端。现在一水平恒力F作用在小物块上，使物块从静止开始做匀加速直线运动，物块和小车之间的摩擦力为f。经过时间t，小车运动的位移为s，物块刚好滑到小车的最右端。

    ①此时物块的动能为(F－f)(s+l)

    ②此时物块的动量为Ft

    ③这一过程中，物块和小车增加的机械能为Fs

    ④这一过程中，物块和小车产生的内能为fl

    以上判断正确的是            （  ）

    A．①②    B．③④    C．②③    D．①④

2．如图所示，一轻弹簧左端固定在长木板M的左端，右端与小木块m连接，且m、M及M与地面间接触光滑.开始时，m和M均静止，现同时对m、M施加等大反向的水平恒力F1和F2，从两物体开始运动以后的整个运动过程中，弹簧形变不超过其弹性限度，对于m、M和弹簧组成的系统

A.由于F1、F2等大反向，故系统机械能守恒

B.当弹簧弹力大小与F1、F2大小相等时，m、M各自的动能最大

C.由于F1、F2大小不变，所以m、M各自一直做匀加速运动

D.由于F1、F2等大反向，故系统的动量始终为零

3、 质量为M的小车A左端固定一根轻弹簧，车静止在光滑水平面上，一质量为m的小物块B从右端以速度v0冲上小车并压缩弹簧，然后又被弹回，回到车右端时刚好与车保持相对静止。求这过程弹簧的最大弹性势能EP和全过程系统摩擦生热Q各多少？简述B相对于车向右返回过程中小车的速度变化情况。

4、 质量M的小车左端放有质量m的铁块，以共同速度v沿光滑水平面向竖直墙运动，车与墙碰撞的时间极短，不计动能损失。动摩擦因数μ，车长L，铁块不会到达车的右端。到最终相对静止为止，摩擦生热多少？

5．（20分）如图所示：P是固定的竖直挡板，A是置于光滑水平面上的平板小车（小车表面略低于挡板下端），B是放在小车最左端表面上的一个可视为质点的小物块。开始时，物块随小车一起以相同的水平速度向左运动，接着物块与挡板发生了第一次碰撞，碰后物块相对于车静止时的位置离小车最左端的距离等于车长的3/4，此后物块又与挡板发生了多次碰撞，最后物块恰未从小车上滑落。若物块与小车表面间的动摩擦因素是个定值，物块与挡板发生碰撞时无机械能损失且碰撞时间极短暂，试确定小车与物块的质量关系。

6、质量为m的长木板A静止在光滑水平面上，另两个质量也是m的铁块B、C同时从A的左右两端滑上A的上表面，初速度大小分别为v和2v，B、C与A间的动摩擦因数均为μ。⑴试分析B、C滑上长木板A后，A的运动状态如何变化？⑵为使B、C不相撞，A木板至少多长？

7．（16）如图13所示，C是放在光滑的水平面上的一块木板，木板的质量为3m，在木板的上面有两块质量均为m的小木块A和B，它们与木板间的动摩擦因数均为μ。最初木板静止，A、B两木块同时以方向水平向右的初速度v0和2v0在木板上滑动，木板足够长， A、B始终未滑离木板。求：

（1）木块B从刚开始运动到与木板C速度刚好相等的过程中，木块B所发生的位移。

（2）木块A在整个过程中的最小速度。

8、、如图2所示为三块质量均为m，长度均为L的木块。木块1和木块2重叠放置在光滑的水平桌面上，木块3沿光滑水平桌面运动并与叠放在下面的木块2发生碰撞后粘合在一起，如果要求碰后原来叠放在上面的木块1完全移到木块3上，并且不会从木块3上掉下，木块3碰撞前的动能应满足什么条件？设木块之间的动摩擦因数为。

9.如图所示，甲、乙两辆完全一样的小车，质量都为M，乙车内用绳吊一质量为0.5 M的小球，当乙车静止时，甲车以速度v与乙车相碰，碰后连为一体，则碰后两车的共同速度为_______.当小球摆到最高点时，速度为_______.

10、用轻弹簧相连的质量均为2 kg的A、B两物块都以v＝   6 m／s的速度在光滑的水平地面上运动，弹簧处于原长，质量4 kg的物块C静止在前方，如图所示.B与C碰撞后二者粘在一起运动.求：在以后的运动中：

（1）当弹簧的弹性势能最大时，物体A的速度多大?

（2）弹性势能的最大值是多大?

（3）A的速度有可能向左吗?为什么?

11．（20分）如图所示，长为L的木板C放在光滑水平面上，板上有两个小物块A和B，其间有一根用细线拴住的被压缩的轻质弹簧（弹簧与物块不相连），其弹性势能为E0，弹簧长度与L相比可忽略；且A、B、C三者的质量为mA=mc=m，mB=2m。A与C之间的动摩擦因数是B与C之间的动摩擦数的2倍，现将细线烧断，A、B被弹开向两边运动。

（1）A、B在C上运动时，C是否运动？若有，则方向如何，若没有，说明理由？

（2）若A、B运动停止时都正好停在C的两端，求A、B在C上滑行的距离LA=LB之比。

    （3）若一开始A、B处于C的正，烧断细线后，哪个物体会先滑离C？滑离时其动能为多大？最终C的动能为多大？

12、（20分）在地面上方足够高的地方，存在一个高度d=0.3m的“相互作用区域”（如图中划有虚线的部分）。一个小圆环A套在一根匀匀直杆B上， A和B的质量均为m。开始时A处于B的最下端，B竖直放置，A距 “相互作用区域”的高度h=0.2m。让A和B一起从静止开始下落，它们之间的滑动摩擦力f=0.5mg；当A进入“相互作用区域”时，A受到方向向上的恒力F的作用，F=2mg；“相互作用区域”对杆B不产生作用力。不计空气阻力，取重力加速度g=10m/s2。

   （1）求杆B刚进入“相互作用区域”时的速度。

   （2）假如杆B着地前A和B的速度相同，求这一速度。

（设杆B在下落过程中始终保持竖直且足够长）

1. D；2. BD； 3、解析：全过程系统动量守恒，小物块在车左端和回到车右端两个时刻，系统的速度是相同的，都满足：mv0=（m+M）v；第二阶段初、末系统动能相同，说明小物块从车左端返回车右端过程中弹性势能的减小恰好等于系统内能的增加，即弹簧的最大弹性势能EP恰好等于返回过程的摩擦生热，而往、返两个过程中摩擦生热是相同的，所以EP是全过程摩擦生热Q的一半。又因为全过程系统的动能损失应该等于系统因摩擦而增加的内能，所以ΔEK=Q=2EP

   而，  ∴

至于B相对于车向右返回过程中小车的速度变化，则应该用牛顿运动定律来分析：刚开始向右返回时刻，弹簧对B的弹力一定大于滑动摩擦力，根据牛顿第三定律，小车受的弹力F也一定大于摩擦力f，小车向左加速运动；弹力逐渐减小而摩擦力大小不变，所以到某一时刻弹力和摩擦力大小相等，这时小车速度最大；以后弹力将小于摩擦力，小车受的合外力向右，开始做减速运动；B脱离弹簧后，小车在水平方向只受摩擦力，继续减速，直到和B具有向左的共同速度，并保持匀速运动

4、解析：车与墙碰后瞬间，小车的速度向左，大小是v，而铁块的速度未变，仍是v，方向向左。根据动量守恒定律，车与铁块相对静止时的速度方向决定于M与m的大小关系：当M>m时，相对静止是的共同速度必向左，不会再次与墙相碰，可求得摩擦生热是；当M=m时，显然最终共同速度为零，当M5、解：设小车、物块的质量分别为M和m，车长为L，物块与小车间的动摩擦因数为μ，初速度为v0。第一次碰后由于无机械能损失，因此物块的速度方向变为向右，大小仍为v0，此后它与小车相互作用，当两者速度相等v时（由题意知，此速度方向必向左，即必有M>m），有该次相对车的最大位移l  （2分）

    对物块、小车系统由动量守恒定律有  ①  （3分）

    由能量守恒定律有   ②  （3分）

    多次碰撞后，物块恰未从小车上滑落，表明最后当物块运动到小车最右端时两者刚好同时停止运动（或者速度同时趋过于零）

    对物块、小车系统由能量守恒定律有  ③  （3分）

    而  l=3L/4    ④  （1分）      由②③④得   （2分）

代入①解得  M=3m   （3分）

解析：B、C都相对于A滑动时，A所受合力为零，保持静止。这段时间为。B刚好相对于A 静止时，C的速度为v，A开向左做匀加速运动，由动量守恒可求出A、B、C最终的共同速度，这段加速经历的时间为，最终A将以做匀速运动。

全过程系统动能的损失都将转化为系统的内能，而摩擦生热，由能量守恒定律列式：。这就是A木板应该具有的最小长度。

点评：本题还可以求系统机械能损失（摩擦生热）和B、C与A摩擦生热之比：第一阶段B对A的位移就是对地的位移：sB=v2/2μg，C的平均速度是其3倍因此C对A的位移是其3倍：sC=3v2/2μg；第二阶段A、B共同向左运动的加速度是μg/2，对地位移是s=v2/9μg，C平均速度是其4倍，对地位移是s/= 4v2/9μg，相对于A位移是v2/3μg，故B、C与A间的相对位移大小依次是dB= v2/2μg和dC=11v2/6μg，于是系统摩擦生热为μmg（dB+ dC）=7mv2/3，dB∶dC=3∶11

7、解：（1）木块A先做匀减速直线运动，后做匀加速直线运动。木块B一直做匀减速直线运动。木板C做两段加速度不同的匀加速直线运动，直到A、B、C三者的速度相等为止，设为v1。对A、B、C三者组成的系统，由动量守恒定律得：

   （3分）

解得：v1=0.6v0     （1分）

对木块B运用动能定理，有：

   （3分）

解得                （1分）

（2）设木块A在整个过程中的最小速度为v′，所用时间为t，由牛顿第二定律：

对木块A：    （1分）

对木板C：    （1分）

当木块A与木板C的速度相等时，木块A的速度最小，因此有：

                （2分）

解得              （2分）

木块A在整个过程中的最小速度为：     （2分）

8、分析与解：设第3块木块的初速度为V0,对于3、2两木块的系统，设碰撞后的速度为V1，据动量守恒定律得：mV0=2mV1                     

对于3、2整体与1组成的系统，设共同速度为V2，则据动量守恒定律得：2mV1=3mV2               

(1)第1块木块恰好运动到第3块上，首尾相齐，则据能量守恒有：

由联立方程得：Ek3=6μmgL              

(2)第1块运动到第3块木块上，恰好不掉下，据能量守恒定律得：

由联立方程得：Ek3=9μmgL  

故： 

9. v

10、解析：（1）当A、B、C三者的速度相等时弹簧的弹性势能最大.

由于A、B、C三者组成的系统动量守恒，（mA+mB）v＝（mA+mB+mC）vA′

解得 vA′= m/s=3 m/s

（2）B、C碰撞时B、C组成的系统动量守恒，设碰后瞬间B、C两者速度为v′，则mBv=（mB+mC）v′  v′==2 m/s

设物A速度为vA′时弹簧的弹性势能最大为Ep，

根据能量守恒Ep=（mB+mC）+mAv2-（mA+mB+mC）

=×（2+4）×22+×2×62-×（2+2+4）×32=12 J

（3）A不可能向左运动

系统动量守恒，mAv+mBv=mAvA+（mB+mC）vB

设 A向左，vA＜0，vB＞4 m/s

则作用后A、B、C动能之和

E′=mAvA2+（mB+mC）vB2＞（mB+mC）vB2=48 J

实际上系统的机械能

E=Ep+（mA+mB+mC）·=12+36=48 J

根据能量守恒定律，＞E是不可能的

11、解（1）A、B在C上运动时，C不会动

设：B与C间摩擦系数为则A与C间的摩擦系数为2

C受合力为零，故不动

（2）、B为系统在C上滑行时动量守恒，且系统的初动量为零。

∴A、B一定同时停止运动。

设A、B在弹簧恢复原长时的初动能分别为EKA ，EKB

∵弹簧长度与L相比可忽略，

∴由动能定理：对A： 

①

（3）置AB与C板，由题意易知：A先离开C板

对A： ② 将①代入解得

又

  即当A滑离C时，B在C上滑动了

对B：  ③  将①代入解得④

此后设B与C达到共同速度时，B还未离开C板

将④代入解得 

BC为系统的末动能即为⑤

B与C上相对滑动的距离设为

将①④⑤代入解得： 

∴最终BC共同运动 

12、解法一：（1）设A和B一起由静止下落至“相互作用区域”

时的速度为v1，根据动能定理有：   ①（3分）代入数据解得：v1 =2.0 m / s   ②

       （2）A进入“相互作用区域”后，受到方向竖直向下的重力mg、滑动摩擦力f和竖直向上的恒力F的作用，做减速运动，设离开“相互作用区域”时的速度为vA，

    同理有：    ③（3分）

    代入数据解得：vA =1.0 m /s    ④（2分）

        A进入“相互作用区域”之后，把A和B二个物体构成的整体作为研究对象，外力之和为零，动量守恒.设A离开“相互作用区域”时B的速度为vB，根据动量守恒定律有

        ⑤（3分）   代入数据解得：    ⑥（2分）

       设A离开“相互作用区域”后到A和B的速度达到相同时，经过的时间为t，A和B的共同速度为v2.在这一过程中，因为，A所受滑动摩擦力f方向向下，B所得滑动摩擦力f方向向上.根据动量定理，对A有：    ⑦（2分）

    同理对B有：     ⑧（2分）

    代入数据解得v2 = 4.0 m / s    ⑨（1分）

      （2）解法二：过程1：A在“相互区域”运动时，取方向向下为正方向，A受到竖直向下的重力mg、滑动摩擦力f和竖直向上的恒力F作用.

    设加速度aA1、末速度为vA、运动时间为t1，根据牛顿第二定律有：

              ①（1分）

    根据运动学公式有：    ②（1分）

        ③（1分）    代入数据解出：t1 =0.2 s, vA = 1 m/s   ④（2分）

    B受到竖直向下的重力mg和竖直向上的滑动摩擦力f的作用.

    同理有：    ⑤（2分）

        ⑥（2分）    代入数据解出：vB = 3 m /s    ⑦（1分）

    过程2：A离开“相互作用区域”后，因为vA＜vB，所以A受到竖直向下的重力mg和滑动摩擦力f的作用，B受到的竖直向下的重力mg和竖直向上的滑动摩擦力f的作用.

    设加速度分别为aA2、aB2，共同速度为v，运动时间为t2.

    同理有：   ⑧（1分）       ⑨（1分）

        ⑩（1分）        （1分）

    由上述四式代入数据解得：v = 4 m / s  2（1分）