《常微分方程》练习题参

P142-练习11.解微分方程xy y y x 2=′+′．（答案：C x x y +−=)arctan (2）

解：可分离变量为

dx =，两边积分=,解得C x x y +−=)arctan (2.

（其中()2222=2=2-arctan 11t t tdt dt t t C C

t t ⋅++++∫2.解微分方程0)sin 2()cos (2=−+−dy x xy dx x y y ．

解：2

()cos ,()2sin P x y y x Q x xy x =−=−，由于()()2cos P x Q x y x y x

∂∂=−=∂∂在全平面上恒成立，故微分方程为全微分方程.原方程整理得22cos sin 0y dx xydy y xdx xdy +−−=，

即22()(sin +sin )0y dx xdy yd x xdy +−=，

即222()(sin )0(sin )0sin d xy d y x d xy y x xy y x C −=⇒−=⇒−=.故方程的通解为

2sin xy y x C

−=P144-练习2

1.微分方程02=+′+′′y y y 的通解为________=y ．

解：02=+′+′′y y y 的特征方程为2

1,22101,

r r r ++=⇒=−故微分方程02=+′+′′y y y 的通解为12()

x y e C C x −=+2.微分方程0y y y y ′′′′′′−+−=的通解为_______=y ．

解：0y y y y ′′′′′′−+−=的特征方程为32

12,3101,r r r r r i −+−=⇒==±，

故微分方程0y y y y ′′′′′′−+−=的通解为

123cos sin x y C e C x C x =++．

P146-练习3

1.微分方程x xe y y y −=+′+′′2的一个特解____________*=y ．

解：20y y y ′′′++=的特征方程为2

1,22101

r r r ++=⇒=−由于1λ=−是特征重根，故可设原方程的一个特解为*2()x y x ax b e −=+，代入原方程解得1,06a b ==，故特解为*316

x y x e −=.2.用待定系数法确定sin y y x x ′′−=+的特解形式为____________*=y ．

解：0y y ′′−=的特征方程为212101,1r r r −=⇒==−,

由于0λ=不是方程y y x ′′−=的特征根，故可设方程y y x ′′−=的特解为

*1y ax b =+，

由于i λ=±不是方程sin y y x ′′−=特征根，故可设方程sin y y x ′′−=的特解为

*2sin cos y c x d x =+，

则原方程的一个特解形式为

***12sin cos y y y ax b c x d x =+=+++.

P147-练习4

1.设()12cos sin x y e C x C x =+为某二阶常系数齐次线性方程的通解，则该方程为．

【解题思路】本题已知方程的通解，反求微分方程．一般根据通解性质得出特征方程的根，从而得出特征方程，由此可得微分方程．

解：1,21r i =±是二阶常系数齐次线性方程的特征方程的特征根，

即有22(1)1220220r r r y y y ¢¢¢-=-Þ-+=Þ-+=为所求二阶常系数齐次线性方程.P148-练习5

1.解微分方程222)()(2y x x y y +=+′．（答案：C

x y x +−

=+122）解：令2222x y u x yy u ′′+=⇒+=，代入原方程得2211u u du dx x C u u ′=⇒=⇒−=+∫∫，则1,u x C

=−+即方程的通解为221

x y x C

+=−+2.解微分方程x

y y x y y 2

tan 212+=′．解：令2

22y u y xu yy u xu x

′′=⇒=⇒=+，代入原方程得cos 1tan ln sin ln ln ln sin u xu u du dx u x C Cx u x

′=⇒=⇒=+=∫∫，则2

sin sin y u Cx Cx x

=⇒=，方程的通解为2

sin y Cx x

=.P149-练习6

1.解微分方程12=+′+′′y y x y x ．

解：换元t e x =，则x t ln =，

x dx dt 1=，因为dt

dy x dx dt dt dy dx dy 1==，所以)(111((222dt

dy dx d x dt dy x dt dy x dx d dx dy dx d dx y d +−===(111222222dt

dy dt y d x dx dt dt y d x dt dy x −=⋅+−=，即有dt dy dx dy x =，dt

dy dt y d dx y d x −=22222．代入原方程可化为：221d y y dt

+=，通解为

12sin cos 1y C t C t =++．

即

12sin ln cos ln 1

y C x C x =++

P151-练习7

1.解微分方程023=′+′+′′y y y x ．（答案：211

12C x C C y +−±

=）解：令y p ′=，则y p ′′′=，

原方程可化为320xp p p ′++=，为一阶可分离变量方程.分离变量得211(1)2dp dx p p x =−+，两边积分211(1)2dp dx p p x

=−+∫∫，解方程得

211ln ln(1)ln ln 22

p p x C −+=−+，

化简得p =，其中121C C =.

即21

y y C ′=⇒=.其中12,C C 为任意常数.P155-练习8

1.设函数)(x f 有连续的导函数，2)0(=f ，又对半平面0>x 内任意简单闭曲线L ，均成立0])([)(24

22=−+∫L dy x x f dx x xyf ，试求)(x f ．解：由已知条件知

P Q y x

∂∂=∂∂，其中224()=2(),()=()P x xyf x Q x f x x −即2232()()24xf x f x x x ′=⋅−，即()()2f x f x x ′−=，

通解为

()2(1)x f x Ce x =−+．

再由(0)2f =得4C =，

故()42(1)x f x e x =−+．

2.设函数)(r f u =，2

2ln y x r +=满足方程3222222)(1y x y u x u +=∂∂+∂∂，求)(r f ．解：22(),u x f r x x y ∂′=⋅∂+，

2222

222222()()()u x y x f r f r x x y x y ⎛⎞∂−′′′=⋅+⋅⎜⎟∂++⎝⎠同理2222

222222()()()u y x y f r f r y x y x y ⎛⎞∂−′′′=⋅+⋅⎜⎟∂++⎝⎠

.代入

3

222222)(1y x y u x u +=∂∂+∂∂中整理得：()r f r e −′′=≜，即()r f r e −′′=解得21)(C r C e r f r ++=−