南京市金陵中学2011 届高三第四次模拟考试

抽取人数

高一 18 x

高二 36 2 高三

54

y

南京市金陵中学2011届高三第四次模拟考试

数 学 I 试 题

锥体的体积公式：V 锥体＝1

3

Sh ，其中S 是锥体的底面面积，h 是高． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡．．．

相应的位置上．．．．．．

． 1．在复平面内，复数－3＋i 和1－i 2．命题：“若a ，b ，c 成等比数列，则b 2＝ac 否命题、逆否命题中正确的个数是 ▲ ． 3．右图是一个算法流程图，则输出的S 的值是 ▲ ．4．用半径为R 圆锥的高是 ▲ ．

5．为了调查高中学生眼睛高度近视的原因，某学校研究性学习小组用分层抽样的方法从全校三个年级 的高度近视眼患者中，抽取若干人组成样本进 行深入研究，有关数据见右表（单位：人）： 若从高一与高三抽取的人选中选2人进行跟踪

式家访调研，则这2人都来自高三年级的概率是 ▲ ．

（第3题图）

6．双曲线x 2

－y 2

4

＝1的渐近线被圆x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0所截得的弦长为 ▲ ．

7．在共有2013项的等差数列{a n }中，有等式(a 1＋a 3＋…＋a 2013)－(a 2＋a 4＋…＋a 2012)＝a 1007

成立；类比上述性质，在共有2011项的等比数列{b n }中，相应的有等式 ▲ 成立． 8．已知向量p 的模是2，向量q 的模为1，p 与q 的夹角为π

4，a ＝3p ＋2q ，b ＝p －q ，则以

a 、

b 为邻边的平行四边形的长度较小的对角线的长是 ▲ ．

9．若x ，y 满足不等式组îïíïìx －y ＋5≥0，

x ≤3，x ＋y －k ≥0，

且z ＝2x ＋4y 的最小值为－6，则k 的值为 ▲ ．

10．已知等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝n

2n －1

对任意n ÎN *恒成立，

则

a 10

b 5

的值为 ▲ ． 11．已知A ＝{x |1≤x ≤2}，B ＝{x |x 2＋2x ＋a ≥0}，A ，B 的交集不是空集，则实数a 的取值范围是 ▲ ．

12．定义在R 上的函数f (x )的图象过点M （－6，2）和N （2，－6），对任意正实数k ，有

f (x ＋k )＜f (x )成立，则当不等式| f (x －t )＋2|＜4的解集为(－4，4)时，实数t 的值为 ▲ ． 13．平面四边形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝DC ＝CB ＝1，△ABD 和△BCD 的面积分别为S ，

T ，则S 2＋T 2的最大值是 ▲ ．

14．在直角坐标系xOy 中，点P (x P ，y P )和点Q (x Q ，y Q )满足îíìx Q ＝y P ＋x P ，

y Q ＝y P －x P

，按此规则由点

P 得到点Q ，称为直角坐标平面的一个“点变换”．此变换下，若OQ

OP ＝m ，∠POQ ＝q ，

其中O 为坐标原点，则y ＝m sin(x ＋q )的图象在y 轴右边第一个最高点的坐标为 ▲ ．

二、解答题：本题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时

应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分14分）

已知函数f (x )＝3sin 2x ＋sin x cos x －

3

2

x ÎR )． （1）若x Î(0，π

2

)，求f (x )的最大值；

（2）在△ABC 中，若A ＜B ，f (A )＝f (B )＝12，求BC

AB

的值．

16．（本小题满分14分）

已知在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为直 角梯形，且满足AD ⊥AB ，BC ∥AD ，AD ＝16，AB ＝8，

BB 1＝8．E ，F 分别是线段A 1A ，BC 上的点．

（1）若A 1E ＝5，BF ＝10，求证：BE ∥平面A 1FD ．

（2）若BD ⊥A 1F ，求三棱锥A 1－AB 1F 的体积．

17．（本小题满分14分）

省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合

放射性污染指数f (x )与时刻x （时）的关系为f (x )＝|

x x 2

＋1

－a |＋2a ＋2

3，x Î[0，24]，其

中a 是与气象有关的参数，且a Î[0，1

2]，若用每天f (x )的最大值为当天的综合放射性污

染指数，并记作M (a )．

（1）令t ＝x

x 2＋1

，x Î[0，24]，求t 的取值范围；

（2）省规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？ 18．（本小题满分16分）

已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a ＞b ＞0)，⊙O ：x 2＋y 2＝b 2，点A ，F 分别是椭圆C 的左顶点

和左焦点．点P 是⊙O 上的动点．

（1）若P (－1，3)，P A 是⊙O 的切线，求椭圆C （2）是否存在这样的椭圆C ，使得P A

PF 是常数？

如果存在，求C 的离心率；如果不存在，说明理由． 19．（本小题满分16分）

已知函数f (x )＝1

2

2－(2a ＋1)x ＋2ln x （a 为正数）

． （1）若曲线y ＝f (x )在x ＝1和x ＝3处的切线互相平行，求a 的值； （2）求f (x )的单调区间；

（3）设g (x )＝x 2－2x ，若对任意x 1Î（0，2]，均存在x 2Î（0，2]，使得f (x 1)＜g (x 2)，求实数a 的取值范围．

（第16题图） B D

B 11

20．（本小题满分16分）

设数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝

a n (a 2

n ＋1＋1)

a 2

n ＋1

(n ≥1，n ÎN *)． （1）求证：数列{a n ＋1

a n ＋

1a n

}是常数列；

（2）求证：当2≥n 时，2＜a 2n －a 2

n －1≤3；

（3）求a 2011的整数部分．

B (第22题图) 数 学 Ⅱ(附 加 题)

21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答．．．．．．．．．．．．．．

题区域内作答．．．．．．

．若多做，则按作答的前两题评分． 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A ．选修4－1：几何证明选讲 （本小题满分10分）

如图，设AB 为⊙O 的任一条不与直线l 垂直的直径，P 是⊙O

与l 的公共点，AC ⊥l ，BD ⊥l ，垂足分别为C ，D ，且PC ＝PD

求证：（1）l 是⊙O 的切线；（2）PB 平分∠ABD ．

B ．选修4－2：矩阵与变换 （本小题满分10分）

已知点A 在变换：T ：ëéûùx y →ëéûùx'y'＝ëéû

ùx ＋2y y 作用后，再绕原点逆时针旋转90°，得到点B ．若点B 坐标为(－3，4)，求点A 的坐标． C ．选修4－4：坐标系与参数方程 （本小题满分10分）

求曲线C 1：î

íìx ＝2t 2＋1，y ＝2t t 2＋1

．被直线l ：y ＝x －1

2

所截得的线段长． D ．选修4－5：不等式选讲 （本小题满分10分）

已知a 、b 、c 是正实数，求证：a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2≥b a ＋c b ＋a

c

．

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．

内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22．（本小题满分10分）

如图，在四棱锥O －ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形，∠ABC ＝45°，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点． （1）求异面直线AB 与MD 所成角的大小；

（2）求平面OAB 与平面OCD 所成二面角的余弦值．

23．（本小题满分10分）

已知构成某系统的元件能正常工作的概率为p (0＜p ＜1)，且各个元件能否正常工作是相互的．今有2n (n 大于1)个元件可按下图所示的两种联结方式分别构成两个系统甲、乙．

（1）试分别求出系统甲、乙能正常工作的概率p 1，p 2；

（2）比较p 1与p 2的大小，并从概率意义上评价两系统的优劣．

系统甲

系统乙

南京市金陵中学2011届高三第四次模拟考试

数 学 I 试 题 评 分 细 则

1．2 5 2．2 3．－9 4．

3

2R 5．12 6．4 7．a 1·a 3·a 5…a 2011a 2·a 4·a 6…a 2010

＝a 1006

8．29 9．0 10．1917 11．[－8，＋∞） 12．2 13．78 14．(π

4，2)

15．（1）f (x )＝

3(1－cos2x )2＋12sin2x －32＝12sin2x －3

2cos2x ＝sin(2x －π3)． ………4分

∵0＜x ＜π2，∴－π3＜2x －π3＜2π

3． ……………………………6分

∴当2x －π3＝π2时，即x ＝5p

12

时，f (x )的最大值为1．……………………………7分

（2）∵f (x )＝sin(2x －π

3)，x 是三角形的内角，则0＜x ＜p ，－π3＜2x －π3＜5π3．

令f (x )＝12，得sin(2x －π3)＝12，∴2x －π3＝π6，或2x －π3＝5π

6

，

解得x ＝π

4，或x ＝7p 12． ……………………………9分

由已知，A ，B 是△ABC 的内角，A ＜B 且f (A )＝f (B )＝12，∴A ＝π4，B ＝7p

12

．

∴C ＝p －A －B ＝π

6

． ……………………………11分

由正弦定理，得BC AB ＝sin A

sin C ＝sin π4sin π

6

＝

22

12

＝2． ……………………………14分 16．（1）过E 作EG ∥AD 交A 1D 于G ，连结GF ． ∵A 1E A 1A ＝5

8，所以EG AD ＝58，∴EG ＝10＝BF ． ∵BF ∥AD ，EG ∥AD ，∴BF ∥EG ． ∴四边形BFGE 是平行四边形．

∴BE ∥FG ．…………………………………4分 又FG Ì平面A 1FD ，BE Ë平面A 1FD ，

∴BE ∥平面A 1FD ． …………………………………6分

（2）∵在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1A ⊥面ABCD ，BD Ì面ABCD ，∴A 1A ⊥BD ． 由已知，BD ⊥A 1F ，AA 1∩A 1F ＝A 1，

∴BD ⊥面A 1AF ．

∴BD ⊥AF ． ………………………………8分

B

D

B 11

∵梯形ABCD 为直角梯形，且满足AD ⊥AB ，BC ∥AD ， ∴在Rt △BAD 中，tan ∠ABD ＝AD

AB ＝2． 在Rt △ABF 中，tan ∠BAF ＝FB AB ＝BF

8．

∵BD ⊥AF ，∴∠ABD ＋∠BAF ＝π

2，∴BF 8＝12，BF ＝4． ………………10分 ∵在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1A ⊥面ABCD ，

∴面AA 1B 1B ⊥面ABCD ，又面ABCD ∩面AA 1B 1B ＝AB ，∠ABF ＝90°， ∴FB ⊥面AA 1B 1B ，即BF 为三棱锥F －A 1B 1A 的高． ………………12分 ∵∠AA 1B 1＝90°，AA 1＝BB 1＝8，A 1B 1＝AB ＝8，∴S △AA 1B 1＝32．

∴V 三棱锥A 1－A B 1F ＝V 三棱锥F －A 1B 1A ＝13×S △AA 1B 1×BF ＝128

3． ………………14分 17．（1）当x ＝0时，t ＝0； ………………2分

当0＜x ≤24时，1

t

＝x ＋1x ．对于函数y ＝x ＋1x ，∵y ′＝1－1x 2，

∴当0＜x ＜1时，y ′＜0，函数y ＝x ＋1

x 单调递增，当1＜x ≤24时，y ′＞0，函数y ＝x ＋

1

x

单调递增，∴y Î[2，＋∞)．∴1t Î(0，12]．

综上，t 的取值范围是[0，1

2]． ………………5分

（2）当a Î[0，1

2

]时，f (x )＝g(t )＝|t －a |＋2a ＋23＝îíì3a －t ＋2

3，0≤t ≤a ，

t ＋a ＋23，a ≤t ≤12．

………………8分 ∵g(0)＝3a ＋23，g(12)＝a ＋76，g(0)－g(12)＝2a －1

2

．

故M (a )＝îíìg(12)，0≤a ≤14，g(0)，14＜a ≤12＝îíìa ＋76，0≤a ≤1

4，

3a ＋23，14＜a ≤12

． ………………10分

当且仅当a ≤4

9M (a )≤2， ………………12分

故a Î[0，49]时不超标，a Î(4

9，1]时超标． ………………14分

18．（1）∵P (－1，3)在⊙O ：x 2＋y 2＝b 2，∴b 2＝4． ……………………………2分

又∵P A 是⊙O 的切线，∴P A ⊥OP ，∴→OP ·→

AP ＝0，

即(－1，3)·(－1＋a ，3)＝0，解得a ＝4．

∴椭圆C 的方程为x 216＋y 2

4＝1． ……………………………5分

（2）设F (c ，0)，c 2＝a 2－b 2，

设P (x 1，y 1)，要使得P A

PF 是常数，则有(x 1＋a )2＋y 12＝l [(x 1＋c )2＋y 12]，l 是常数．

即b 2＋2ax 1＋a 2＝l (b 2＋2cx 1＋c 2)， ……………………………8分 比较两边， b 2＋a 2＝l (b 2＋c 2)，a ＝l c ， ……………………………10分 故cb 2＋ca 2＝a (b 2＋c 2)，即ca 2－c 3＋ca 2＝a 3，

即e 3－2 e ＋1＝0， ……………………………12分 (e －1)( e 2＋e －1)＝0，符合条件的解有e ＝5－1

2

即这样的椭圆存在，离心率为

5－1

2

． ……………………………16分 19．f ′(x )＝ax －(2a ＋1)＋2

x

(x ＞0)．

（1）f ′(1)＝f ′(3)，解得a ＝2

3 ……………………………4分

（2）f ′(x )＝

(ax －1)(x －2)

x (x ＞0)． ①当0＜a ＜12时，1

a

＞2，

在区间(0，2)和（1

a

，＋∞）上，f ′(x )＞0；在区间(2，1a )上f ′(x )＜0，

故f (x )的单调递增区间是(0，2)和（1

a ，＋∞）

，单调递减区间是(2，1a ． ……6分 ②当a ＝1

2时，f ′(x )＝

(x －2)22x ≥0，故f (x )的单调递增区间是（0，＋∞）． ………8分 ③当a ＞1

2时，0＜1a ＜2，在区间(0，1a )和(2，＋∞）上，f ′(x )＞0；在区间(1a ，2)上f ′(x )

＜0，故f (x )的单调递增区间是(0，1a )和(2，＋∞），单调递减区间是(1

a

，2)． ……10分

（3）由已知，在(0，2]上有f (x )max ＜g(x )max ． ……………………………11分 由已知，g(x )max ＝0，由（2）可知， ①当0＜a ≤1

2

f (x )在(0，2]上单调递增，

故f (x )max ＝f (2)＝2a －2(2a ＋1)＋2ln2＝－2a －2＋2ln2，

∴－2a －2＋2ln2＜0，解得a ＞ln2－1，ln2－1＜0，故0＜a ≤1

2． ……13分

②当a ＞1

2时，f (x )在(0，1a 上单调递增，在[1a ，2]上单调递减，

故f (x )max ＝f (1a ＝－2－1

2a

－2ln a ．

由a ＞12可知ln a ＞ln 12ln 1

e

＝－1，2ln a ＞－2，－2ln a ＜2，

∴－2－2ln a ＜0，f (x )max ＜0， ……………………………15分 综上所述，a ＞0． ……………………………16分

20．（1）易知，对一切n ≥1，a n ≠0，由a n ＋2＝a n (a 2

n ＋1＋1)

a 2

n ＋1，得a n ＋2a n ＋1＋1a n ＋1＝a n ＋1a n ＋

1a n

．

依次利用上述关系式，可得

a n ＋1a n ＋1a n ＝a n a n －1＋1a n －1＝a n －1a n －2＋1a n －2

＝…＝a 2a 1＋

1

a 1＝2

1＋11＝1，

从而数列{

a n ＋1

a n ＋

1a n

}是常数列； ……………………………4分 （2）由（1）得a n ＋1＝a n ＋1

a n

．

又a 1＝1，∴可知数列{a n }递增，则对一切n ≥1，有a n ≥1成立，

从而0＜1

a n 2≤1． ……………………………6分

当2≥n 时，a n 2＝(a n －1＋1a n －1)2＝a 2n －1＋1

a 2n －1＋2， 于是a n 2－a 2

n －1＝

1

a 2n －1

2， ∴ 2＜a 2n －a 2

n －1≤3； ……………………………8分

（3）当2≥n 时，a n 2＝a 2

n －1＋

1

a 2n －1

＋2， ∴a 2n ＝1 a 2n －1＋…＋1a 21＋a 2

1＋2(n －1)．

a 2

1＝1，a 2

2＝4，则当n ≥3时，

a 2n ＝1 a 2n －1＋…＋1a 21＋a 2

1＋2(n －1)＝1 a 2n －1＋…＋1a 22

＋1＋1＋2(n －1)

＝1

a 2n －1

＋…＋1a 22＋2n ＞2n ．

a 22011＝1 a 22010＋…＋1a 21＋2(2011－1)＋1＞4021＞3969＝632

， ……………………10分 a 22011＝

1 a 22010＋…＋1a 21＋2(2011－1)＋1＝4021＋1a 21＋…＋1 a 22010

＜4020＋11＋14＋1

6＋…＋

12×2010

＝4022＋12(12＋13＋ (12010)

＝4022＋12[(12＋13＋…＋139)＋(140＋141＋…＋1199)＋(1200＋1201＋…＋1

2010)]

＜4022＋12[(12＋1

2＋…＋12)＋(140＋140＋…＋140)＋(1200＋1200＋…＋1200)]

＝4022＋12(12×38＋140×160＋…＋1

200

×1811)

＜4022＋1

2＋4＋10)＜4039＜4096＝2． ……………………14分

∴63＜a 2011＜，即a 2011的整数部分为63． ……………………16分

数 学 Ⅱ(附 加 题)评 分 细 则

21－A ：证明：（1）连结OP ， ∵AC ⊥l ，BD ⊥l ，∴AC ∥BD ． 又OA ＝OB ，PC ＝PD ， ∴OP ∥BD ，从而OP ⊥l ．

∵P 在⊙O 上，∴l 是⊙O 的切线． ……………………6分 （2）连结AP ，

∵l 是⊙O 的切线，∴∠BPD ＝∠BAP ． 又∠BPD ＋∠PBD ＝90o ，∠BAP ＋∠PBA ＝90o ，

∴∠PBA ＝∠PBD ，即PB 平分∠ABD ． ……………………10分 21－B ：解：ëé

ûù0 －11 0 ëéûù1 20 1＝ëéûù

0 －11 2． ……………………6分

设A (a ，b )，则由

ëéûù0 －11 2 ëêéûúùa b ＝ëêéûúù－3 4，得îíì－b ＝－3，a ＋2b ＝4，

∴îí

ìa ＝－2，

b ＝3，

即A (－2，3)． ……………………10分 21－C ：解：C 1

：îíìx ＝2

t 2

＋1，①y ＝2t t 2

＋1

，②．②①

得t ＝y

x ，代入①，化简得x 2

＋y 2

＝2x ． 又x ＝2

t 2

＋1≠0，∴C 1的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(x ≠0)．……………………6分 圆C 1的圆心到直线l ：y ＝x －12的距离d ＝|1－0－1

2|

2＝1

22

所求弦长＝21－d 2＝

14

2

． ……………………10分 21－D ：证明：由èæøöa b －b c 2

+ èæøöb c －c a 2

+ èæø

öc a －a

b 2

≥0，得

2(a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2)－2(a b ＋b c ＋c a )≥0，∴a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2≥b a ＋c b ＋a

c

．……………………10分

22．解：作AP ⊥CD 于点P ，分别以AB 、AP 、AO 所在直线为x 、y 、z 轴建立坐标系，则A (0，0，0)，B (1，0，0)，P (0，

22，0)，D (－22，2

2

，0)，O (0，0，2)，M (0，0，1)． （1）AB →＝(1，0，0)，MD →＝(－22，22

，－1)，则cos →→

＞＝－1，故AB 与MD 所成角为π

3． （2）OP →＝(0，22，－2)，OD →

＝(－22，22

，－2)，

设平面OCD 法向量n ＝(x ，y ，z )，则n ·OP →＝0，n ·即

î

íì22

y －2z ＝0－22x ＋2

2

y －2z ＝0，取z ＝2，则n ＝(0，4，2)． ……………………6分 易得平面OAB 的一个法向量为m ＝(0，1，0)，

cos ＜n ，m ＞＝22

3， ……………………9分

故平面OAB 与平面OCD 所成二面角的平面角余弦值为22

3．………………10分 23．解：（1）p 1＝p n (2－p n )， ……………………2分

p 2＝p n (2－p )n ； ……………………4分

（2）(用二项式定理证明)

p 2－p 1＝p n {[1＋(1－p )]n －2＋[1－(1－p )]n

＝p n {[1＋C 1

n (1－p )＋C 2

n (1－p )2＋C 3

n (1－p )3＋…＋C n

n (1－p )n ]－2 ＋[1－C 1

n (1－p )＋C 2

n (1－p )2－C 3

n (1－p )3＋…＋(－1)n C n

n (1－p )n ]} ＝p n [C 2

n (1－p )2＋C 4

n (1－p )4＋…]＞0． …………………10分

说明：作差后化归为用数学归纳法证明：(2－p )n ＞2－p n 也可．