求函数的值域(与最值)的常用方法

1．利用基本函数求解：

（1）y=2x－1 答案：R  （2）y=2  答案：{2}（3）y= 答案：（－∞，0）∪（0，＋∞）

（4）y=－1   答案：（－1，＋∞）   （5）y=     答案：[0，＋∞）

（6）y=3－    答案：（－∞，3]     （7）y=  答案：（0，]

2．反函数法：

用函数与它的反函数的定义域和值域的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域。

（1）y=  法一：分离常数法 y=2+；法二：反函数法。 

答案：（－∞，2）∪（2，+∞）

（2）y=  x∈（－∞，1）∪ [2，5）   

法一：不等式法。解得x=，由＜1或2≤＜5，得y＜0，或＜y≤2.  法二：图象法。答案：（－∞，0）∪ （，2] 

3．换元法：

运用代数或三角代换，将所给函数转化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域。

(1)  y=  答案：（1，＋∞）（2）y=   答案：[－2，+∞）

（3）y=        解析：令= t ，则y=（t＞0）   

法一：解不等式法；法二：分离常数法；法三：用斜率求。   答案： 

（4）y=2x+4   解析：令= t ，则y=－2+4t+2（t≥0） 答案：（－∞，4]

（5）y=x+    解析：令x=cosθ，θ∈[0，π]，则y=cosθ+sinθ= sin（θ+），

    θ+∈[，]，∴sin（θ+）∈[，1]， 答案：[－1，]。 

（6）y=      解析：令= t ，则y=，t≥0，①当t＞0时，y=，此时，y∈（0，].  ②当t=0时，y=0.     答案：[0，]

（7）y=sinx + cosx + sinx·cosx +1   解析：令sinx + cosx=t，答案：[0，]

4．配方法：

（1）y=－+2x+1        解析：y= +2        答案：（－∞，2]

（2）y=     解析：y=      答案：[0，]

5．不等式法

通过解不等式或利用均值不等式求解。

（1）y=x +－6   ，x＞0   答案：[－2，+∞）

（2）y= x +      解析：分x＜0，和x＞0两种情况     答案：（－∞，－2]∪[2，＋∞）

（3）y= x + ，x≥2  均值不等式法失效，应利用单调性求。  答案：[，＋∞）

（4）y=     法一：分离常数法 y=－1+     法二：解得sinx = 

    由≤1，得≤1，两边平方。          答案：[，3]

6．导数法：

定义域为[a，b]的连续函数f（x），在[a，b]上必有最大值和最小值，且最值必定在极值点或区间端点处取得。

y=，x∈[－2，2]                      答案：[4，13]

7．判别式法：

把函数转化为关于x的二次方程F（x，y）=0，通过方程有实根，判别式Δ≥0，从而得到原函数的值域。形如y=，（不同时为0）的函数的值域常用此法求解。

（1）y=     解析：（y－2）+（y+1）x+y－2=0，①当y≠2时，由Δ≥0得1≤y≤5；   ②当y=0时，x=0 .             答案：[1，5]

（2）y=   法一：判别式法；法二：均值不等式法，y=.

                                                  答案：（－∞，－2]∪[2，＋∞）

（3）y=  ，x∈（－1，]  解析：由于了x的范围，此题不能单纯用判别式法，可用换元法，令x+1=t ，则y = t +，t∈（0，]。 用单调性求。

答案：[，+∞）

8．单调性法

（1）y= , x∈[2，4）答案：[3，11） （2）y= x + ，x≥2  答案：[，＋∞）

（3）y=，x∈（－∞，3]     答案：[67，＋∞）

（4）y=   x∈[2，10]  答案：[，33]

（5）y=      解析：y=，∵ 

∴∈[，＋∞）          答案：（0，]

（6）y=3x－2+ 答案：[4，＋∞）（7）y=－3x+2+  答案：[－4，＋∞）

（8）y=－3x+2－   答案：（-∞,- 4]

（9）y= －3x+2+  解析：此题用换元法。答案： 

9．数形结合法：

（1）y=， x∈[－1，2]              答案：[4，8]

（2）y=， x∈[2，4）              答案：[-5，13）

（3）y= ，x∈R                  答案：[1，] 

（4）y=   法一：利用图象可得y≥5

5

                                       －4       1               

法二：表示数轴上

点x与点1、点－4的距离的和。

                          x

                - 4             0    1

当－4≤x≤1时，和等于5；

当x＜－4或x＞1时，和大于5.          ∴∈[5，+∞） 

答案：[5，+∞） 

(5)  y =   

法一：写成y =， 表示点P（cosx，sinx）与 点

Q（―2，―1）的连线的斜率。

设直线PQ：  y+1=k(x+2)  即kx－y+2k－1=0，         -2           1

由点到直线距离公式得=1，得k=0或.         Q(-2,-1)

答案：[0，]                                 

    法二：去分母得，sinx－ycosx=2y－1，

  可化为，  ∴.∵≤1，

∴≤1，                     答案：[0，]   

（6）y=                     答案：[]

 (7)设双曲线的右焦点为，M是双曲线上任意一点，点A的坐标为

（9，2），则的最小值为       。       答案： 

 10．复合函数求值域：

（1）y=                答案：[，+∞）

（2）y=             答案：[log25，+∞）

（3）y=            答案：[－1，+∞）

11．线性规划求最值或值域。

12．三角函数求最值或值域：

（1）化为y=Asin（ωx+φ）或y=Acos（ωx+φ）的形式。

y=            答案：[－3，1]           

但要用换元法。

  （2）化为的形式。

     见9.(5)和(6)

 （3）换元法：

                  答案：[－3，3]

    另见3.（7）

 （4）利用均值不等式：

    当0＜x＜时，求的最小值。

    解析： ≥

    =4                         答案：4

 （5）利用单调性求解：

     ， x∈          答案：（－1，] 

 （6）利用几何图形解释求解：

    见9.（5）

 （7）结合图象求解：

      ，x∈           答案：[－1，2]