湖北省武汉市江岸区2021-2022学年八年级(上)期末数学试卷及答案解析

1．（3分）下列四幅图形中，是轴对称图形的是（）

A．B．C．D．

2．（3分）点P（1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标是（）

A．（﹣1，2）B．（﹣2，1）C．（﹣1，﹣2）D．（1，2）

3．（3分）2021年5月7日IBM公司宣布推出全球首个2nm芯片，其中1nm＝0.000000001m，将2nm用科学记数法可表示为（）

A．2×10﹣10m B．2×10﹣9m C．2×1010m D．2×109m

4．（3分）若分式有意义，则x的取值范围是（）

A．x≠1B．x＝2C．x≠2D．x＞2

5．（3分）分式，的最简公分母是（）

A．12x2y2B．12x3y4C．xy D．xy2

6．（3分）下列因式分解最后结果正确的是（）

A．x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）（x+3）B．x（x﹣y）+y（y﹣x）＝（x﹣y）2 C．x3﹣x＝x（x2﹣1）D．6x﹣9﹣x2＝（x﹣3）2

7．（3分）下列等式中，从左向右的变形正确的是（）

A．＝B．＝

C．＝D．＝﹣

8．（3分）某同学借了一本书，共140页，要在一周内读完．当他读了这本书的半时，发现平均每天要多读21页才能刚好在借期内读完，他读这本书的前一半时，平均每天读多少页？设他读这本书的前一半时，平均每天读x页，则下列方程中正确的是（）A．＝7B．＝7

C．＝7D．＝79．（3分）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，点I为△ABC各内角平分线的交点，过I点作AC的垂线，垂足为H，若BC＝6，AB＝8，AC＝10，那么IH的值为（）

A．2B．3C．4D．5

10．（3分）如图，AD是等边三角形ABC的BC边上的高，点E是AD上的一个动点（点E 不与点A重合），连接CE．将线段CE绕点E顺时针旋转60°得到EF，连接DF、CF，若AB＝6，则线段DF长度的最小值是（）

A．3B．C．1.5D．1

二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）请将答案填在答题卡对应题号的位置上。11．（3分）计算：（a2）3＝，（3a）2＝，3﹣2＝．

12．（3分）若分式的值为0，则x＝．

13．（3分）一个等腰三角形的一个外角为100°，则它的顶角的度数是．14．（3分）如图，△ABC中，AB＝6，BC＝5，将△ABC沿折痕AD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处，若△DEC的周长为7，则AC的长为．

15．（3分）如果关于x的方程＝2无解，则a的值为．

16．（3分）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，O是AC的中点，点F、D 分别在

AB、BC上（点F、D与点A、B、C都不重合），OF⊥OD、OE⊥AD交AB于E，下列结论：①BD＝BE；②AF＝BD；③点E是BF的中点；④

的值为定值．

其中正确的结论是（填写序号）．三、解答题（共8小题，共72分）下列各题解答应写出文字说明，证明过程或演算过程。17．（8分）计算：

（1）3a（5a﹣2）；（2）（7x2y3﹣8x3y2z）÷8x2y2．

18．（8分）因式分解：

（1）x2﹣9；（2）ax2+2a2x+a3．

19．（8分）先化简：（1﹣）÷，再取一个适当的x值代入求值．

20．（8分）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的顶点在格点上．请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由．

（1）如图1，作△ABC的中线AD；

（2）如图2，作△ABC的高线CE；

（3）如图3，点F是AC与网格线的交点，请在BC上作一点H，使FH∥AB；

（4）如图4，直线a和直线b在网格线上，点A和点H在两条直线的两侧，请在直线a 上作一点M，直线b上作一点N，使AM+MN+NH的值最小．

21．（8分）如图，∠B＝∠C＝90°，点E是BC的中点，DE平分

∠ADC．

（1）求证：AE是∠DAB的平分线；

（2）若∠DAB＝60°，求证：AB＝3CD．22．（10分）【问题提出】（1）请用两种不同的方法列代数式表示图1中阴影部分的面积．方法1，方法2；

【问题应用】（2）若a+b＝6，a2﹣24＝b2，求a和b的值；

【应用拓展】（3）如图1，“丰收1号”小麦试验田是边长为am（a＞b＞0）的正方形去掉一个边长为bm的正方形蓄水池后余下的部分，如图2，“丰收2号”小麦试验田是边长为（a﹣b）m的正方形，两块试验田的小麦都收获了500kg．

①求高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？

②若b＝1，高的单位面积产量比低的单位面积产量多kg，求a的值．

23．（10分）已知：△ABC中，AB＝AC，直线l是过点A的一条直线，点B、C在直线l 同侧．

（1）如图1，若∠BAC＝90°，过B，C两点分别向直线l作垂线BD、CE，垂足为点D、E，证明：DE＝BD+CE；

（2）如图2．若∠BAC＝60°，∠BDA＝∠AEC＝60°，请写出BD、CE、DE之间的数量关系，并证明；

（3）如图3，若∠BAC＝90°，BF的垂直平分线DE经过点A并交FC于点E，且AD ＝AE，请直接写出的值．

24．（12分）已知，在平面直角坐标系中，点A，点B的坐标分别为（m，0），（0，n），其中n＞m＞0．

（1）如图1，点E（a，a）在线段AB上，若n＝2m，

①请直接写出点E的坐标（用含m的式子表示）；

②过点E作EC⊥AB交y轴于点C，交x轴于点D，求的值；

（2）如图2，CB⊥AB，且CB＝AB，点D是x轴上一动点，点E是线段AD的中点，连接BE，若点F在第二象限，满足FE⊥BE，且FE＝BE，连接BF，CF，CD，随着点D 在x轴上运动，判断∠DCF的度数是否为定值，若为定值，求其值；若不为定值，请说明理由．

2021-2022学年湖北省武汉市江岸区八年级（上）期末

数学试卷参与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个是正确的，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑。

1．【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．

【解答】解：选项A、B、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，

选项C能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，

故选：C．

【点评】此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．2．【分析】利用平面直角坐标系点的对称性质来求解．

【解答】解：点P（m，n）关于x轴对称点的坐标P′（m，﹣n）

所以点P（1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标为（1，2）

故选：D．

【点评】此题考查平面直角坐标系点对称的性质．

3．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

【解答】解：∵1nm＝0.000000001m，

∴2nm＝0.000000002m＝2×10﹣9m，

故选：B．

【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

4．【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解．

【解答】解：根据题意得，x﹣2≠0，

解得x≠2．

故选：C．

【点评】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：

（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．

5．【分析】利用最简公分母的定义：取系数的最小公倍数，相同字母取最高次幂，只在一个分母中出现的字母作为最简公分母的一个因数，判断即可．

【解答】解：分式，的最简公分母是12x2y2．

故选：A．

【点评】此题考查了最简公分母，熟练掌握最简公分母的定义是解本题的关键．6．【分析】根据因式分解的定义及分解方法，逐个判断得结论．

【解答】解：x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1）≠（x﹣1）（x+3），故选项A分解不正确；

x（x﹣y）+y（y﹣x）＝（x﹣y）2，故选项B分解正确；

由于x2﹣1仍能因式分解，故选项C分解不正确；

6x﹣9﹣x2＝﹣（x﹣3）2≠（x﹣3）2，故选项D分解不正确．

故选：B．

【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的公式法和十字相乘法是解决本题的关键．

7．【分析】A：漏掉负号；

B：分式不能约分；

C：分母先提取公因式，然后才约分；

D：分母提取负号后变形为﹣（a﹣b）．

【解答】解：A：＝﹣，∴不符合题意；

B：，∴不符合题意；

C：＝＝，∴符合题意；

D：＝﹣，∴不符合题意；

故选：C．

【点评】本题考查了分式的基本性质、等式的性质，掌握分式的基本性质、分式中的符号法则，把（a﹣b）看作一个整体化为它的相反数的时候整体前面加“﹣”是解题关键．8．【分析】设读前一半时平均每天读x页，则读后一半时每天读（x+21）页，根据时间＝读书的页数÷每天读的页数，即可得出关于x的分式方程，此题得解．

【解答】解：设读前一半时平均每天读x页，则读后一半时每天读（x+21）页，

依题意，得：＝7，

故选：B．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．

9．【分析】连接IA、IB、IC，过I作IM⊥AB于M，IN⊥BC于N，根据角平分线的性质得

＝S△AIB+S 出IH＝IM＝IN，根据三角形的面积公式求出△ABC的面积，根据图形得出S

△ABC

+S△AIC，再代入求出IH即可．

△BIC

【解答】解：连接IA、IB、IC，过I作IM⊥AB于M，IN⊥BC于N，

∵点I为△ABC各内角平分线的交点，IM⊥AB，IN⊥BC，IH⊥AC，

∴IH＝IM＝IN，

∵AB＝8，BC＝6，∠ABC＝90°，

＝＝＝24，

∴S

△ABC

＝S△AIB+S△BIC+S△AIC，

∵S

△ABC

∴24＝，

∵AB＝8，BC＝6，AC＝10，IH＝IM＝IN，

∴24＝++，

∴IH＝2，

故选：A．

【点评】本题考查了角平分线的性质和三角形的面积，能根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出IH＝IM＝IN是解此题的关键．

10．【分析】由旋转的性质可得CE＝EF，∠CEF＝60°，可证△EFC是等边三角形，可得CE＝CF，∠ECF＝60°＝∠ACB，由“SAS”可证△ACE≌△BCF，可得∠CBF＝∠CAE ＝30°，即点F在射线BF上运动，当DF⊥BF时，DF有最小值，由直角三角形的性质可求解．

【解答】解：如图，连接BF，∵AD是等边三角形ABC的BC边上的高，AB＝6，

∴BD＝CD＝3，∠CAD＝∠BAD＝30°，

∵将线段CE绕点E顺时针旋转60°得到EF，

∴CE＝EF，∠CEF＝60°，

∴△EFC是等边三角形，

∴CE＝CF，∠ECF＝60°＝∠ACB，

∴∠ACE＝∠BCF，

在△ACE和△BCF中，

，

∴△ACE≌△BCF（SAS），

∴∠CBF＝∠CAE＝30°，

∴点F在射线BF上运动，

当DF⊥BF时，DF有最小值，

此时，∵DF⊥BF，∠CBF＝30°，

∴DF＝BD＝1.5，

∴线段DF长度的最小值是1.5，

故选：C．

【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，确定点F的运动路径是解题的关键．

二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）请将答案填在答题卡对应题号的位置上。11．【分析】根据负整数指数幂，幂的乘方与积的乘方运算法则进行计算即可．

【解答】解：（a2）3＝a6，（3a）2＝9a2，3﹣2＝，

故答案为：a6，9a2，．

【点评】本题考查了负整数指数幂，幂的乘方与积的乘方运算，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．

12．【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．【解答】解：分式的值为0，得

x2﹣1＝0且x+1≠0．解得x＝1，

故答案为：1．

【点评】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．

13．【分析】因为题中没有指明该外角是顶角的外角还是底角的外角，所以应该分两种情况进行分析．

【解答】解：当100°的角是顶角的外角时，顶角的度数为180°﹣100°＝80°；

当100°的角是底角的外角时，底角的度数为180°﹣100°＝80°，所以顶角的度数为180°﹣2×80°＝20°；

故顶角的度数为80°或20°．

故答案为：80°或20°．

【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理及三角形外角性质等知识；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．

14．【分析】由折叠的性质可得BD＝DE，AB＝AE＝6，由线段的数量关系可求EC＝2，即可求解．

【解答】解：∵将△ABC沿折痕AD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处，

∴BD＝DE，AB＝AE＝6，

∵△DEC的周长为7，

∴CD+DE+EC＝7＝CD+BD+EC＝BC+EC，

∴7＝5+EC，

∴EC＝2，

∴AC＝AE+EC＝6+2＝8，

故答案为：8．

【点评】本题考查了翻折变换，掌握折叠的性质是解题的关键．

15．【分析】分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．

【解答】解：去分母得，ax﹣1＝2（x﹣1）ax﹣2x＝﹣1，

（a﹣2）x＝﹣1，

当a﹣2＝0时，

∴a＝2，

此时方程无解，满足题意，

当a﹣2≠0时，

∴x＝﹣，

将x＝﹣代入x﹣1＝0，

解得：a＝1，

综上所述，a＝1或a＝2，

故答案为：1或2．

【点评】本题考查分式方程的解法，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，本题属于基础题型．

16．【分析】先由点D是边BC上的动点得到①不正确，连接OB，由△ABC是等腰直角三角形得到OA＝OB＝OC，∠OAB＝∠ABO＝∠OBC＝∠C＝45°，然后由OF⊥OD得到∠AOF＝∠BOD，从而证明△AOF≌△BOD，进而判定②正确，过点O作OM∥BC交AD于点M，从而利用平行线的性质得到∠MOD＝∠ODC再结合∠OFB+∠BDO＝180°和∠BDO+∠ODC＝180°得到∠OFE＝∠DOM，然后由OE⊥AD得到∠ODM＝∠FOE，进而得证△FOE≌△ODM，从而得到2EF＝CD，判定③④．

【解答】解：∵点D是边长BC上的动点，

∴①不正确；

如图，连接OB，

∵△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，点O是AC的中点，

∴∠OAB＝∠ABO＝∠OBC＝∠C＝45°，OB＝OA＝OC，∠AOB＝∠BOC＝90°，∵OF⊥OD，

∴∠FOD＝90°，

∴∠FOA＝∠DOB，

在△AOF和△BOD中，

∴△AOF≌△BOD（ASA），

∴OF＝OD，AF＝BD，故②正确；

过点O作OM∥BC，交AD于点M，则∠MOD＝∠ODC，OM是△ACD的中位线，∵∠ABC＝∠FOD＝90°，

∴∠BFO+∠BDO＝180°，

∵∠BDO+∠ODC＝180°，

∴∠BFO＝∠ODC，

∴∠BFO＝∠MOD，

∵OE⊥AD，

∴∠ODA+∠DOE＝90°，

∵∠FOE+∠DOE＝90°，

∴∠ODA＝∠FOE，

在△OFE和△DOM中，

，

∴△OFE≌△DOM（ASA），

∴EF＝OM，

∵OM是△ACD的中位线，

∴OM＝CD，

∴EF＝CD，即，故④正确；

又∵AF＝BD，AB＝CD，

∴BF＝CD，

∴EF＝BF，

∴点E是BF的中点，故③正确；

∴正确的序号有②③④，

故答案为：②③④．

【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线的定义与性质、平行线的性质，解题的关键是熟知等腰直角三角形的性质证明三角形全等．

三、解答题（共8小题，共72分）下列各题解答应写出文字说明，证明过程或演算过程。17．【分析】（1）根据单项式乘多项式的乘法法则计算即可；

（2）根据多项式除以单项式的运算法则计算即可．

【解答】解：（1）原式＝（3a）•（5a）﹣3a×2＝15a2﹣6a；

（2）原式＝（7x2y3）÷8x2y2﹣（8x3y2z）÷8x2y2＝y﹣xz．

【点评】此题考查的是整式的除法，单项式乘多项式，掌握其运算法则是解决此题关键．18．【分析】（1）用平方差公式分解．

（2）先提公因式，再用完全平方公式分解．

【解答】解：（1）原式＝x2﹣32

＝（x+3）（x﹣3）．

（2）原式＝a（x2+2ax+a2）

＝a（x+a）2．

【点评】本题考查因式分解，根据多项式的特征选择正确的分解方法是求解本题的关键．19．【分析】先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算，根据分式有意义的条件得出x不能为2，﹣2和1，取x ＝0，把x＝0代入化简的结果，即可求出答案．

【解答】解：（1﹣）÷

＝•

＝•

＝，

∵要使分式（1﹣）÷有意义，x+2≠0，x﹣2≠0，x﹣1≠0，

∴x不能为2，﹣2，1，

取x＝0，当x＝0时，原式＝＝2．

【点评】本题考查了分式的化简与求值和分式有意义的条件，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．

20．【分析】（1）根据三角形的中线的定义画出图形即可；

（2）根据三角形的高的定义画出图形即可；

（3）取格点M，N，连接MN交BC于点H，连接FH即可．

【解答】解：（1）如图1中，线段AD即为所求；

（2）如图2中，线段CE即为所求；

（3）如图3中，线段FH即为所求；

（4）如图4中，点M，点N即为所求．

【点评】本题考查作图﹣与设计作图，三角形的中线，高，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．

21．【分析】（1）过点E作EF⊥AD于点F，由DE平分∠ADC得到EC＝EF，再由点E是BC的中点得到EF＝EB，最后证明△EAB≌△EAF得到∠EAF＝∠EAB，从而得到结果；

（2）先由∠DAB＝60°得到∠DAE＝∠EAB＝∠DEC＝30°，∠DEA＝90°，进而利用含30°角的直角三角形三边关系得到DE＝2CD，AD＝2DE，即有AD＝4CD，再结合AF ＝AB、AF＝AD﹣DF得到AB＝3CD．

【解答】（1）证明：过点E作EF⊥AD于点F，则∠EFD＝∠EFA＝90°，

∵DE平分∠ADC，∴EC＝EF，

∵点E是BC的中点，

∴CE＝EB，

∴EF＝EB，

在Rt△EAB和Rt△EAF中，

，

∴Rt△EAB≌Rt△EAF（HL），

∴∠EAF＝∠EAB，

∴AE是∠DAB的平分线．

（2）证明：∵∠DAB＝60°，∠EAF＝∠EAB，∴∠DAE＝∠EAB＝30°，

∵∠C＝∠B＝90°，

∴AB∥CD，

∴∠ADC+∠DAB＝180°，

∴∠ADC＝120°，

∵DE平分∠ADC，

∴∠ADE＝∠CDE＝60°，

∴∠DEC＝30°，∠DEA＝90°，

∴DE＝2CD，AD＝2DE，

∴AD＝4CD，

在△DEF和△DEC中，

，

∴△DEF≌△DEC（AAS），

∴DF＝DC，

∴AF＝AD﹣DF＝4CD﹣CD＝3CD，

∵Rt△EAB≌Rt△EAF，

∴AF＝AB，

∴AB＝3CD．【点评】本题考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的三边关系，解题的关键是准确作出辅助线构造全等三角形．

22．【分析】（1）方法1用大正方形的面积减去小正方形的面积；方法2两个小长方形面积之和；

（2）将等式变形为a2﹣b2＝24，再运用平方差公式得到（a+b）（a﹣b）＝24，从而得解；

（3）①分别求出单位面积产量，再相除即可；

②得到关于a的方程再解方程即可．

【解答】解：（1）方法1用大正方形的面积减去小正方形的面积a2﹣b2；

方法2两个小长方形面积之和b（a﹣b）+a（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b）．

故答案为：a2+b2；（a+b）（a﹣b）．

（2）∵a2﹣24＝b2，

∴a2﹣b2＝24，

∴（a+b）（a﹣b）＝24，

∵a+b＝6，

∴a﹣b＝4，

∴a＝5，b＝1．

（3）①“丰收1号”小麦试验田的单位面积产量＝，

“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量＝，

∵a+b＞a﹣b，

∴，

∴“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量高．

∵，

∴高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍．

②由题意得，

解得，a＝24．

即a的值是24．

【点评】本题主要考查了平方差公式的几何背景，能从整体和部分两个角度求出图形的面积是解决此题的关键．23．【分析】（1）证明△ABD≌△CAE，进而命题得证；

（2）DE＝BD+CE，证法与（1）相同，证明△ABD≌△CAE，进而命题得证；

（3）连接AF，作CG⊥DE于G，先求得∠BFC＝45°，从而△DEF是等腰直角三角形，

根据题意可设AE＝a，则BD＝a，DE＝（）a，从而得出BD＝（）a，可得△ABD≌△CAG，进而求得结果．

【解答】（1）证明：∵BD⊥l，CE⊥l，

∴∠ADB＝∠AEC＝90°，

∴∠ABD+∠BAD＝90°，

∵∠BAC＝90°，

∴∠BAD+∠CAE＝90°，

∴∠ABD＝∠CAE，

∵AB＝AC，

∴△ABD≌△CAE（AAS），

∴AD＝CE，AE＝BD，

∴DE＝AD+AE＝CE+BD；

（2）证明：DE＝BD+CE，理由如下：

∵∠ADB＝∠AEC＝60°，

∴∠ABD+∠BAD＝120°，

∵∠BAC＝60°，

∴∠BAD+∠CAE＝120°，

∴∠ABD＝∠CAE，

∵AB＝AC，

∴△ABD≌△CAE（AAS），

∴AD＝CE，AE＝BD，

∴DE＝AD+AE＝CE+BD；

（3）解：如图，

∵AD＝，

∴设AE＝a，则AD＝a，

∴DE＝AD+AE＝（）a，

连接AF，作CG⊥DE于G，∵DE是BF的垂直平分线，

∴AF＝AB，

∵∠AFB＝∠ABF，

∵AB＝AC，

∴AF＝AC，∠ABC+∠ACB＝90°，

∴∠AFC＝∠ACF，

∵∠BFC+∠FCB+∠FBC＝180°，

∴（∠AFB+∠AFC）+（ACF+∠ACB）+（∠ABF+∠ABC）＝180°，

∴2∠AFB+2∠AFC+（∠ABC+∠ACB）＝180°，

∴∠AFB+AFC＝45°，

即∠BFC＝45°，

∵∠EDF＝90°，

∴∠FED＝90°﹣∠BFC＝45°＝∠BFC，

∴DF＝DE＝（）a，

∴BD＝DF＝（）a，

由（1）得：△ABD≌△CAG，

∴AD＝CG，

∴＝＝＝＝．

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线性质，等腰直角三角形判定和性质等知识，解决问题的关键是求得∠BFC＝45°．

24．【分析】（1）①由面积法可求a＝m，即可求解；

②由AAS可证△BNE≌△DHE，△DOC≌△ENC可得BN＝DH＝m，CN＝CO＝ON

＝m，即可求解；

（2）由“SAS”可证△DEF≌△AEQ，可得DF＝AQ，∠DFE＝∠AQE，由“SAS”可证△BCF≌△BAQ，可得CF＝AQ，∠BFC＝∠AQB，可得CF＝AQ＝DF，∠CFD＝90°，即可求解．

【解答】解：（1）①如图1，连接OE，过点E作EN⊥OB于N，EH⊥OA于H，

∵点A，点B的坐标分别为（m，0），（0，n），n＝2m，∴OA＝m，OB＝n＝2m，

∵点E（a，a），

∴EN＝EH＝a，

＝AO×BO＝×AO×EH+×BO×EN，

∵S

△AOB

∴m×2m＝ma+2ma，

∴a＝m，

∴点E（m，m）；

②∠DCF的度数是定值，理由如下：

∵EN⊥BO，EH⊥AO，∠AOB＝90°，

∴四边形EHON是矩形，

∴EN＝OH＝m，ON＝EH＝m，

∴BN＝m，

∵EC⊥AB，

∴∠DEA＝90°，

∴∠EDA+∠OAB＝90°＝∠OBA+∠ABO，

∴∠EDA＝∠ABO，

又∵EN＝EH，∠ENB＝∠EHD＝90°，

∴△BNE≌△DHE（AAS），

∴BN＝DH＝m，

∴OD＝DH﹣OH＝m﹣m＝m，∴NE＝OD，

又∵∠NCE＝∠DCO，∠ENC＝∠DOC＝90°，

∴△DOC≌△ENC（AAS），

∴CN＝CO＝ON＝m，

∴BC＝m，

∴＝5；

（2）如图2，延长FE至Q，使EF＝EQ，连接QA，BQ，FD，

∵点E是线段AD的中点，

∴DE＝AE，

∵EF＝EQ，∠DEF＝∠AEQ，DE＝AE，

∴△DEF≌△AEQ（SAS），

∴DF＝AQ，∠DFE＝∠AQE，

∵EF＝BE＝EQ，BE⊥EF，

∴BF＝BQ，∠EFB＝∠EBF＝∠EBQ＝∠EQB＝45°，

∴∠FBQ＝90°＝∠ABC，

∴∠FBC＝∠QBA，

又∵BF＝BQ，AB＝BC，

∴△BCF≌△BAQ（SAS），

∴CF＝AQ，∠BFC＝∠AQB，

∴CF＝AQ＝FD，

∵∠CFD＝∠DFE+∠BFE﹣∠BFC

∴∠CFD＝∠AQE+45°﹣∠BFC＝45°+∠AQB+45°﹣∠BFC＝90°，

∴∠DCF＝45°．

【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形面积公式，等腰直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．