含参一元二次不等式专项训练

解答题（共12小题）

1．已知不等式（ax﹣1）（x+1）＜0 （a∈R）．2．解关于x

的不等式：x2+（a+1）x+a＞0（a是实数）．

（1）若x=a时不等式成立，求a的取值范围；

（2）当a≠0时，解这个关于x的不等式．

5．求x的取值范围：（x+2）（x﹣a）＞0．

3．解关于x的不等式ax2+2x﹣1＜0（a＞0）．4．解关于x

的不等式，（a∈R）：

（1）ax2

﹣2（a+1）x+4＞0；

（2）x2

﹣2ax+2≤0．6．当a＞﹣1时，解不等式x2﹣（a+1）x﹣2a2﹣a≥0．7．解关于x的不等式（x﹣1）（ax﹣2）＞0．

8．解关于x的不等式，其中a≠0．9．解不等式：mx2+（m﹣2）x﹣2＜0．

10．解下列不等式：（1）ax2+2ax+4≤0；

（2）（a﹣2）x2﹣（4a﹣3）x+（4a+2）≥0．

11．解关于x的不等式ax2﹣（a+1）x+1＜0．12．解关于x的不等式ax2﹣2≥2x﹣ax（a∈R）．含参一元二次不等式专题训练参与试题解析

一．解答题（共12小题）

1．（2009•如皋市模拟）已知不等式（ax﹣1）（x+1）＜0 （a∈R）．（1）若x=a时不等式成立，求a的取值范围；

（2）当a≠0时，解这个关于x的不等式．

考

点：

一元二次不等式的解法．

专

题：

计算题；综合题；分类讨论；转化思想．

分析：（1）若x=a时不等式成立，不等式转化为关于a的不等式，直接求a的取值范围；

（2）当a≠0时，当a＞0、﹣1＜a＜0、a＜﹣1三种情况下，比较的大小关系即可解这个关于x的不等式．

解答：解：（1）由x=a时不等式成立，即（a2﹣1）（a+1）＜0，所

以（a+1）2（a ﹣1）＜0，

所以a＜1且a≠﹣1．所以a 的取值范围为（﹣∞，﹣1）

∪（﹣1，1）．（6分）

（2）当a＞0时，所以不等式的解：；

当﹣1＜a＜0时，所以不等式（ax﹣1）（x+1）＜0

的解：或x＜﹣1；

当a＜﹣1时，所以不等式的解：x＜﹣1或．

当a=﹣1时，不等式的解：x＜﹣1或x＞﹣1

综上：当a＞0时，所以不等式的解：；

当﹣1＜a＜0时，所以不等式的解：或x＞﹣1；

当a≤﹣1时，所以不等式的解：x＜﹣1或．（15分）

点

评：

本题考查一元二次不等式的解法，考查转化思想，分类讨

论思想，是中档题．

2．解关于x的不等式：x2+（a+1）x+a＞0（a是实数）．

考

点：

一元二次不等式的解法．

专

题：

不等式的解法及应用．

分

析：

x2+（a+1）x+a＞0（a是实数）．可化为（x+a）（x+1）＞0．

对a与1的大小分类讨论即可得出．

解

答：

解：x2+（a+1）x+a＞0（a是实数）可化为（x+a）（x+1）

＞0．

当a＞1时，不等式的解集为{x|x＞﹣1或x＜﹣a}；

当a＜1时，不等式的解集为{x|x＞﹣a或x＜﹣1}；

当a=1时，不等式的解集为{x|x≠﹣1}．

点

评：

本题考查了一元二次不等式的解法、分类讨论的方法，属

于基础题．

3．解关于x的不等式ax2+2x﹣1＜0（a＞0）．考

点：

一元二次不等式的解法．

专

题：

不等式的解法及应用．

分析：由a＞0，得△＞0，求出对应方程ax2+2x﹣1=0的两根，即可写出不等式的解集．

解答：解：∵a＞0，∴△=4+4a＞0，

且方程ax2+2x﹣1=0的两根为

x1=，x2=，

且x1＜x2；

∴不等式的解集为{x|＜x＜}．

点评：本题考查了不等式的解法与应用问题，解题时应按照解一元二次不等式的步骤进行解答即可，是基础题．

4．解关于x的不等式，（a∈R）：

（1）ax2﹣2（a+1）x+4＞0；

（2）x2﹣2ax+2≤0．

考

点：

一元二次不等式的解法．

专

题：

计算题；不等式的解法及应用．

分（1）分a=0，a＞0，a＜0三种情况进行讨论：a=0，a＜0析：两种情况易解；a＞0时，由对应方程的两根大小关系再分三种情况讨论即可；

（2）按照△=4a2﹣8的符号分三种情况讨论即可解得；

解

答：

解：（1）ax2﹣2（a+1）x+4＞0可化为（ax﹣2）（x ﹣2）＞0，

（i）当a=0时，不等式可化为x﹣2＜0，不等式的解集为{x|x＜2}；

（ii ）当a＞0时，不等式可化为（x﹣）（x﹣2）＞0，

①若，即0＜a＜1时，不等式的解集为{x|x＜2或x＞}；

②若=2，即a=1时，不等式的解集为{x|x≠2}；

③若，即a＞1时，不等式的解集为{x|x＜或x＞2}．

（iii）当a＜0时，不等式可化为（x﹣）（x﹣2）＜0，不等式的解集为{x|＜x＜2}．

综上，a=0时，不等式的解集为{x|x＜2}；0＜a＜1时，不等式的解集为{x|x＜2或x ＞}；

a=1时，不等式的解集为{x|x≠2}；a＞1时，不等式的解集为{x|x＜或x＞2}；a＜0时，不等式的解集为{x|＜x＜2}．（2）x 2﹣2ax+2≤0，

△=4a2﹣8，

①当△＜0，即﹣a时，不等式的解集为∅；

②当△=0，即a=时，不等式的解集为{x|x=a}；

③当△＞0，即a＜﹣或a＞时，不等式的解集为[x|a﹣

≤x≤a}．

综上，﹣a时，不等式的解集为∅；a=时，不等式的解集为{x|x=a}；

a ＜﹣或a ＞时，不等式的解集为[x|a﹣

≤x≤a}．

点评：该题考查含参数的一元二次不等式的解法，考查分类讨论思想，若二次系数为参数，要按照二次系数的符号讨论；若△符号不确定，要按△符号讨论；若△＞0，要按照两根大小讨论．属中档题．

5．求x的取值范围：（x+2）（x﹣a）＞0．

考

点：

一元二次不等式的解法．

专

题：

不等式的解法及应用．

分

析：

通过对a分类讨论，利用一元二次不等式的解法即可得出．

解答：解：①当a=﹣2时，不等式（x+2）（x﹣a）＞0化为（x+2）

2＞0，解得x≠﹣2，其解集为{x|x∈R，且x≠1}．

②当a＞﹣2时，由不等式（x+2）（x﹣a）＞0，解得x＜﹣

2或x＞a，其解集为{x|x＜﹣2或x＞a}．

③当a＜﹣2时，由不等式（x+2）（x﹣a）＞0，解得x＜a

或x＞﹣2，其解集为{x|x＜a或x＞﹣2}．

综上可得：①当a=﹣2时，原不等式的解集为{x|x∈R，且

x≠1}．

②当a＞﹣2时，原不等式的解集为{x|x＜﹣2或x＞a}．

③当a＜﹣2时，原不等式的解集为{x|x＜a或x＞﹣2}．

点

评：

本题考查了一元二次不等式的解法和分类讨论的方法，属

于基础题．

6．当a＞﹣1时，解不等式x2﹣（a+1）x﹣2a2﹣a≥0．

考

点：

一元二次不等式的解法．

专

题：

分类讨论；不等式的解法及应用．

分

析：

把不等式x2﹣（a+1）x﹣2a2﹣a≥0化为（x+a）[x﹣

（2a+1）]≥0，讨论a的取值，写出对应不等式的解集．

解

答：

解：不等式x2﹣（a+1）x﹣2a2﹣a≥0可化为

（x+a）[x﹣（2a+1）]≥0，

∵a＞﹣1，∴﹣a＜1，2a+1＞﹣1；

当﹣a=2a+1，即a=﹣时，不等式的解集是R；

当﹣a＞2a+1，即﹣1＜a＜﹣时，不等式的解集是

{x|x≤2a+1，或x≥﹣a}；

当﹣a＜2a+1，即a＞﹣时，不等式的解集是{x|x≤﹣a，或

x≥2a+1}．

∴a=﹣时，不等式的解集是R；

﹣1＜a＜﹣时，不等式的解集是{x|x≤2a+1，或x≥﹣a}；

a＞﹣时，不等式的解集是{x|x≤﹣a，或x≥2a+1}．

点评：本题考查了含有字母系数的不等式的解法问题，解题时应在适当地时候，对字母系数进行讨论，是基础题．

7．解关于x的不等式（x﹣1）（ax﹣2）＞0．

考

点：

一元二次不等式的解法．

专

题：

不等式的解法及应用．

分析：通过对a分类讨论，利用一元二次不等式的解法即可得出解集．

解答：解：①当a=0时，不等式（x﹣1）（ax ﹣2）＞0化为﹣2（x

﹣1）＞0，即x﹣1＜0，解得x＜1，

因此解集为{x|x＜1}．

②当a ＞0时，原不等式化为．

当a＞2时，则，

∴不等式（x﹣1）（x﹣）＞0的解集是{x|x＞1或x}．

当a=2时，=1，

∴不等式化为（x﹣1）2＞0的解集是{x|x≠1}．

当0＜a＜2时，则，

∴不等式（x﹣1）（x ﹣）＞0的解集是{x|x＜1或x}．

③当a＜0时，原不等式化为，

则，∴不等式（x﹣1）（x﹣）＜0的解集是{x|x＜1}．

综上可知：：①当a=0时，不等式的解集为{x|x＜1}．

②当a＞0时，不等式的解集是{x|x＞1或x}．

当a=2时，不等式的解集是{x|x≠1}．

当0＜a＜2时，不等式的解集是{x|x＜1或x }．

③当a＜0时，不等式的解集是{x|x＜1}．

点

评：

本题考查了分类讨论方法、一元二次不等式的解法，属于

中档题．

8．解关于x的不等式，其中a≠0．

考

点：

一元二次不等式的解法．

专

题：

不等式的解法及应用．

分

析：

方程，其中a≠0两根为1，对两根大小分

类讨论求解．

解

答：

解：当a＜0时，不等式的解集为…（3分）

当0＜a＜1时，不等式的解集为…（6分）

当a=1时，不等式的解集为ϕ…（9分）

当a＞1时，不等式的解集为…（11分）

综上所述：当a＜0时，或a＞1，原不等式的解集为

当0＜a＜1时，原不等式的解集为

当a=1时，原不等式的解集为ϕ…（12分）

点

评：

本题主要考查了一元二次不等式的解法，其中主要考查了

分类讨论的思想在解题中的应用．9．解不等式：mx2+（m﹣2）x ﹣2＜0．

考

点：

一元二次不等式的解法．

专

题：

分类讨论；不等式的解法及应用．

分析：把不等式等价变形为（x+1）（mx﹣2）＜0，讨论m 的取值，从而求出不等式的解集．

解答：解：原不等式可化为（x+1）（mx﹣2）＜0，

当m=0时，不等式为﹣2（x+1）＜0，此时解得x＞﹣1．

当m≠0，则不等式等价为m（x+1）（x﹣）＜0．

若m＞0，则不等式等价为（x+1）（x ﹣）＜0，对应方程

的两个根为﹣1，此时不等式的解为﹣1＜x＜．

若m＜0．则不等式等价为（x+1）（x﹣）＞0，对应方程

的两个根为﹣1，．

若﹣1=，解得m=﹣2，此时不等式为（x+1）2＞0，此时x≠

﹣1．

若﹣2＜m＜0时，＜﹣1，此时不等式的解为x＞﹣1或x

＜．

若m＜﹣2时，＞﹣1，此时不等式的解为x＜﹣1或x＞．

综上：m＞0时，不等式的解集为{x|﹣1＜x＜}，

m=0时，不等式的解集为{x|x＞﹣1}；

m=﹣2，不等式的解集为{x|x≠﹣1}；

﹣2＜m＜0，不等式的解集为{x|x＞﹣1或x＜}；

m＜﹣2，不等式的解集为{m|x＜﹣1或x＞}．

点

评：

本题考查了含有参数的一元二次不等式的解法问题，解题

时应对参数进行分类讨论，是易错题．

10．解下列不等式：

（1）ax2+2ax+4≤0；

（2）（a﹣2）x2﹣（4a﹣3）x+（4a+2）≥0．

考

点：

一元二次不等式的解法．

专

题：

不等式的解法及应用．

分

析：

（1）通过对a和△分类讨论，利用一元二次不等式的解法

即可解出；

（2）通过对a分类讨论，利用一元二次不等式的解法即可

得出．

解

答：

解：（1）①当a=0时，原不等式可化为4≤0，不成立，应

舍去．

②当a≠0时，△=4a2﹣16a．

当a=4时，△=0，原不等式可化为（x+1）2≤0，解得x=

﹣1，此时原不等式的解集为{﹣1}；

当△＜0时，解得0＜a＜4．此时原不等式的解集为∅．

当△＞0时，解得a＞4或a＜0．由ax2+2ax+4=0，解得=，

当a＞4时，原不等式的解集为{x|}；当a＜0时，原不等式的解集为{x|x ≥或

}．

综上可得：当a=4时，不等式的解集为{﹣1}；

当△＜0时，不等式的解集为∅．

当△＞0时，当a＞4时，不等式的解集为

{x|}；

当a＜0时，不等式的解集为{x|x ≥或}．（2）①当a=2时，原不等式化为﹣5x+10≥0，解得x≤2，此时不等式的解集为{x|x≤2}；

②当a≠2时，△=25．此时不等式化为[（a﹣2）x﹣（2a+1）]（x﹣2）≥0，

当a ＞2时，化为，此时，

因此不等式的解集为{x|x≥或x≤2}；

当a ＜2时，此时不等式化为，不等式的解集为{x|}．

综上可得：①当a=2时，不等式的解集为{x|x≤2}；

②当a＞2时，不等式的解集为{x|x≥或x≤2}；

当a＜2时，不等式的解集为{x|}．

点

评：

本题考查了分类讨论、一元二次不等式的解法，考查了计算能力，属于难题．

11．解关于x的不等式ax2﹣（a+1）x+1＜0．

考

点：

一元二次不等式的解法．

专

题：

计算题；分类讨论．

分

析：

当a=0时，得到一个一元一次不等式，求出不等式的解集即为原不等式的解集；当a≠0时，把原不等式的左边分解因式，然后分4种情况考虑：a小于0，a大于0小于1，a 大于1和a等于1时，分别利用求不等式解集的方法求出原不等式的解集即可．

解

答：

解：当a=0时，不等式的解为x＞1；

当a≠0时，分解因式a （x﹣）（x﹣1）＜0

当a＜0时，原不等式等价于（x﹣）（x﹣1）＞0，

不等式的解为x＞1或x＜；

当0＜a＜1时，1＜，不等式的解为1＜x＜；

当a＞1时，＜1，不等式的解为＜x＜1；

当a=1时，不等式的解为∅．

点

评：

此题考查了一元二次不等式的解法，考查了分类讨论的数学思想，是一道综合题．12．解关于x的不等式ax2﹣2≥2x ﹣ax（a∈R）．

考

点：

一元二次不等式的解法．

专

题：

计算题；分类讨论．

分析：对a分类：a=0，a＞0，﹣2＜a＜0，a=﹣2，a＜﹣2，分别解不等式，求解取交集即可．

解答：解：原不等式变形为ax2+（a﹣2）x ﹣2≥0．

①a=0时，x≤﹣1；

②a≠0时，不等式即为（ax﹣2）（x+1）≥0，

当a＞0时，x≥或x≤﹣1；

由于﹣（﹣1）=，于是

当﹣2＜a＜0时，≤x≤﹣1；

当a=﹣2时，x=﹣1；

当a＜﹣2时，﹣1≤x≤．

综上，当a=0时，x≤﹣1；当a＞0时，x≥或x≤﹣1；当﹣2＜a＜0时，≤x≤﹣1；

当a=﹣2时，x=﹣1；当a＜﹣2时，﹣1≤x≤．

点

评：

本题考查不等式的解法，考查分类讨论思想，是中档题．