广西南宁市第三中学2021-2022学年高二上学期第一次月考数学试题 Word版含答案

南宁三中2021~2022学年度上学期高二月考（一）

数学试题

   2021.9

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分；每小题仅有一个答案是正确的，请选出正确答案。）

1． （ ）

 A．   B．   C．   D． 

2．在等差数列中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列的公差为（ ）

A．1  ．2   C．3  ．4

3．在中，若，则（ ）

A．  B．  C．  D．

4．在等比数列中，前3项之和S3＝168，则公比q的值为（ ）

A．1  B．－ C．1或－ D．

5．某企业共有职工150人，其中高级职称15人，中级职称45人，一般职员90人，现在用分层抽样抽取30人，则样本中各职称人数分别为（ ）

   A．5，10，15 B．3，9，18 C．3，10，17 D．5，9，16

6．等比数列的前n项和为Sn，若an>0，q>1，a3＋a5＝20，a2a6＝，则S5＝（ ）

A．31  B．36   C．42  D．48

7．在中，已知成等差数列，且，则（ ）

 A．2 B．  C．  D．

8．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，则△ABC的外形为（ ）

A．等边三角形  B．直角三角形

C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形

9．如图:三点在地面同始终线上，，从两点测得点仰角分别是，则点离地面的高度等于（ ）

 ． ．

C．  D．

10．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不犯难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公认真算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从其次天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问其次天走了（ ）

A．192 里 B．96 里 C．48 里 D．24 里

11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝2，c＝2，1＋＝，则C＝（ ）

A． B． C．或 D．

12．已知,各项均为正数的数列满足

的值是（ ）

A．   B．   C．  D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．已知数列的前n项和Sn＝n2－2n，则an＝_____________

14．某校从高一班级同学中随机抽取100名同学，将他们期中考试的数学成果（均为整数）分成六段：，，…，后得到频率分布直方图（如下图所示），则分数在内的人数是__________．

 第14题图 第16题图

15．等差数列,的前项和分别为,,若,则=__________

16．如图，正四周体P-ABC中，D,E分别是AB及PC的中点，则直线AE与PD所成的角的余弦值为__________．

三、解答题（本大题共6小题，第17小题10分，其余小题各12分，共70分）

17．（本小题满分10分）在锐角三角形ABC中，a,b,c，分别为角A,B,C所对的边，且

（1）求角C的大小；

（2）若 ，且三角形ABC的面积为，求的值．

18．（本小题满分12分）已知公差不为零的等差数列的前n项和为，若=110，且成等比数列

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设数列满足，若数列前n项和为，证明：

19．（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，E为AC与BD的交点，PA⊥平面ABCD，M为PA中点，N为BC中点．

（1）证明：直线MN∥平面PCD；

（2）若点Q为PC中点，∠BAD=120°，PA=，AB=1，求三棱锥A﹣QCD的体积．

20．（本小题满分12分）已知具有相关关系的两个变量之间的几组数据如下表所示：

（2）请依据上表供应的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程，并估量当时，的值；

附：

21．（本小题满分12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos 2C－cos 2A＝2sin·sin.

（1）求角A的值；

（2）若a＝且b≥a，求2b－c的取值范围．

22．（本小题满分12分）已知数列的前项和，数列为等差数列，且满足

（1）分别求数列、的通项公式；

（2）若数列满足，是数列的前项和，若存在正实数，使不等式对于一切的恒成立，求的取值范围．

高二月考（一）数学参

1． A【解析】．

2．B【解析】∵a1＋a5＝2a3＝10，∴a3＝5，则公差d＝a4－a3＝2，故选B．

4．D【解析】依据已知条件得,两式相除，得

5．B【解析】有分层抽样各层抽样比不变，各层人数分别为3，9，18

6．A【解析】　由等比数列的性质，得a3a5＝a2a6＝，于是由且an>0，q>1，得a3＝4，a5＝16，所以解得所以S5＝＝31，故选A．

7．A【解析】由题，则，依据正弦定理变形可知，所以，故选择A．

8．B【解析】∵cos2＝，∴＝，即1＋cosB＝． 由余弦定理得1＋＝．整理得c2＝a2＋b2，即△ABC为直角三角形．

9．A  。

10．B【解析】设等比数列{an}的首项为a1，公比为q＝，依题意有＝378，解得a1＝192，则a2＝192×＝96，即其次天走了96 里，故选B．

11．D【解析】：∵1＋＝1＋＝，∴＝＝＝，得cosA＝，A＝．又a＝2，c＝2，由正弦定理，得sinC＝＝＝，∵c＜a，∴C＜A＝，C＝．

12．D【解析】解析:∵,又.∴又.又==,∴.同理得.又

。

13．【解析】当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－3；当n＝1时，a1＝S1＝－1，所以an＝2n－3(n∈N*)

14．【解析】由频率分布直方图得,分数在内的频率为：

 ，分数在内的人数为： ，故答案为30．

15、等差数列,的前项和分别为,,若,则=

16．【解析】连接CD，取CD中点为O，连接AO,OE，则有,则，或其补角即为所求；设正四周体的棱长为2，

则，

．

在中，由余弦定理可得：

．故答案为．

17．解：(1)由a＝2csinA及正弦定理得，sinA＝2sinCsinA．

∵sinA≠0，∴sinC＝．∵△ABC是锐角三角形，∴C＝．

(2)∵C＝，△ABC面积为，∴absin＝，即ab＝6．①

∵c＝，∴由余弦定理得a2＋b2－2abcos＝7，即a2＋b2－ab＝7．②

由②变形得(a＋b)2＝3ab＋7．③ ③得(a＋b)2＝25，故a＋b＝5．

18．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．

【解析】

（Ⅰ）由题意知：

解得，故数列； 

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知， 

则

又在递增，,故

19．【解答】解：（1）取PD中点R，连结MR，CR，

∵M是PA的中点，R是PD的中点，∴MR=AD，MR∥AD，

∵四边形ABCD是菱形，N为BC的中点，∴NC=，NC∥AD．

∴NC∥MR，NC=MR，∴四边形MNCR为平行四边形，

∴MN∥CR，又CR⊂平面PCD，MN⊄平面PCD，∴MN∥平面PCD．

（2）∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，

∴AC=AD=CD=1，∴．

∵Q是PC的中点，∴Q到平面ABCD的距离h=PA=．

∴．

20．（1）散点图如图所示：

（2）依题意，，

，

，，

，∴；[来源:Z_xx_k.Com]

∴回归直线方程为，故当时，．

21．【答案】（Ⅰ）A＝或. （Ⅱ）[，2)

【解析】解：(1)由已知得2sin2A－2sin2C＝2(cos2C－sin2C)，化简得sin A＝，由,故A＝或.

(2)由题知，若b≥a，则A＝，又a＝，

所以由正弦定理可得＝＝＝2，得b＝2sin B，c＝2sin C，

故2b－c＝4sin B－2sin C＝4sin B－2sin＝3sin B－cos B＝2sin.

由于b≥a，所以≤B＜，≤B－＜，

所以2sin∈[，2)．即2b－c的取值范围为[，2).

22．试题解析：（1） 

]

时满足上式，故

∵∴∴∴

(2) ,

 ①

 ② 

①-②得，

即 

令