2021-2022学年湖北省武汉市汉阳区八年级(上)期末数学试题及答案解析

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D. 

2.若分式有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D. 

3.已知正多边形的一个外角为，则该正多边形的边数为(    )

A.  B.  C.  D. 

4.下列分解因式正确的是(    )

A.  B. 

C.  D. 

5.下列等式恒成立的是(    )

A.  B. 

C.  D. 

6.如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，的周长为(    )

7.如图，已知，添加以下条件，不能判定≌的是 (    )

A.   B.  

C.   D.  

8.因某种产品的原料提价，因而厂家决定对产品进行提价，现有三种方案：

第一次提价，第二次提价；

第一次提价，第二次提价；

第一、二次提价均为．

提价最多的方案是(    )

A. 第种 B. 第种 C. 第种 D. 一样多

9.如图，在和中，，，，，连接，交于点，连接下列结论：；；平分；平分其中正确的个数为(    )

A.  B.  C.  D. 

10.如图，在中，，，，点在的延长线上，点在边上，且，若，则的长等于(    )

A. 

B. 

C. 

D. 

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.成人每天维生素的摄入量约为克．数据“”用科学记数法表示为______．

12.已知等腰三角形的一边长等于，一边长等于，它的周长为______．

13.已知，，则的值是______．

14.已知关于的分式方程的解是，则的值是______．

15.如图，有正方形卡片类、类和长方形卡片类若干张，如果用、、三类卡片拼成一个边长为的正方形，则需要类卡片______张．

16.如图，在中，已知平分，，则和的数量关系是______．

17.计算：；

分解因式：．

四、解答题（本大题共7小题，共.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.本小题分

如图，，，，求证：．

计算：；

先化简，再求值：，其中．

20.本小题分

在平面直角坐标系的网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点．例如：，都是格点．请仅用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留作图痕迹．

画出线段关于轴对称的线段；

在轴上找一点，使最小；

连接，，画出关于轴对称的．

如图，在中，，，是边上的动点，连接，点关于直线的对称点为，射线与射线交于点，设．

当时，的度数是______；

当时，求的度数；

在中的条件下，若，求证：．

某手机专卖店的一张进货单上有如下信息：款手机进货单价比款手机多元，花元购进款手机的数量与花元购进款手机的数量相同．

求，两款手机的进货单价分别是多少元？

某周末两天销售单上的数据，如表所示：

根据所给的信息，手机专卖店要花费元购进，两款手机若干部，问有哪几种进货方案？根据计算说明哪种进货方案获得的总利润最高．

23.本小题分

问题背景

如图，已知，平分，求证：；

尝试应用

如图，在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试判断，，之间的数量关系，并证明你的结论；

拓展创新

如图，在四边形中，，与的延长线交于点，点是的中点，若是的平分线，试探究，，之间的数量关系，请直接写出你的结论．

24.本小题分

如图，在平面直角坐标系中，，，且，．

求点的坐标；

如图，若交轴于点，交轴与点，过点作轴于点，作轴于点，请探究线段，，的数量关系，并说明理由；

如图，若在点处有一个等腰，且，，连接，点为的中点，试猜想线段与线段的数量关系与位置关系，并证明你的结论．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】此题主要考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．

根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴求解即可．

解：、不是轴对称图形，不合题意；

B、不是轴对称图形，不合题意；

C、是轴对称图形，符合题意；

D、不是轴对称图形，不合题意．

故选：．

2.【答案】 

【解析】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：

分式无意义分母为零；

分式有意义分母不为零；

分式值为零分子为零且分母不为零．

根据分式有意义，分母不等于列式计算即可得解．

解：由题意得，，

解得故选B．

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了多边形的外角和定理，属于基础题．

利用多边形的外角和是，正多边形的每个外角都是，即可求出答案．

【解答】

解：正多边形的外角和是，，

所以这个正多边形是正十边形．

故选：．  

4.【答案】 

【解析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．利用提公因式法与公式法进行分解逐一判断即可．

解：，故A不符合题意；

B.，故B不符合题意；

C.，故C符合题意；

D.，故D不符合题意；

故选：．

5.【答案】 

【解析】本题考查了分式的基本性质，分式的加减法，熟练掌握分式的基本性质，分式的加减法法则是解题的关键．根据分式的基本性质，分式的加减法法则进行计算即可．

解：．，故A不符合题意；

B.，故B符合题意；

C.，故C不符合题意；

D.，故D不符合题意．

故选：．

6.【答案】 

【解析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算，得到答案．

解：是的垂直平分线，，

，．

的周长为，

，

的周长，

故选：．

7.【答案】 

【解析】本题考查了全等三角形的判定，能正确根据全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定方法有，，，根据定理逐个判断即可．

解：、，，，符合，即能推出≌，故本选项不合题意；

B、，，，符合，即能推出≌，故本选项不合题意；

C、，，，不符合全等三角形的判定定理，即不能推出≌，故本选项符合题意；

D、，，，符合，即能推出≌，故本选项不合题意；

故选：．

8.【答案】 

【解析】本题主要考查列代数式，解答的关键是理解清楚题意找到等量关系．

根据题意分别求出三种方案提价后的价格，再进行比较即可．

解：设某种产品的原价为，依题意得：

第种方案：；

第种方案：；

第种方案：，

则，

即第种方案提价最多．

故选：．

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．由证明≌得出，，正确；

由全等三角形的性质得出，由三角形的外角性质得：，得出，正确；

作于，于，如图所示：则，由证明≌，得出，由角平分线的判定方法得出平分，正确；即可得出结论．

【解答】

解：，

，

即，

在和中，

，

≌，

，，正确；

，

由三角形的外角性质得：，

，正确；

作于，于，如图所示：

则，

在和中，

≌，

，

平分，正确；

，

当时，才平分，

假设，

，

，

平分，

，

在和中，

≌，

，

，

，与矛盾，

错误；

正确的个数有个；

故选B．

10.【答案】 

【解析】本题考查了含角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，难度适中．准确作出辅助线是解题的关键．过点作于点先在中利用角所对的直角边等于斜边的一半得出，于是，再根据等腰三角形三线合一的性质得出，然后根据即可求解．

解：过点作于点．

在中，，，

．

，，

．

，

．

，，

，

．

故选：．

11.【答案】 

【解析】本题考查科学记数法的知识点，关键是很小的数用科学记数法表示时负指数与的个数的关系要掌握好．利用科学记数法的知识即可解答．

解：．

故答案为：．

12.【答案】 

【解析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．

题目给出等腰三角形有两条边长为和，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．

解：分两种情况：

当腰为时，，因为两边之和小于第三边，所以不能构成三角形；

当腰为时，，，所以能构成三角形，周长是：．

故答案为：．

13.【答案】 

【解析】本题主要考查了完全平方公式，熟记公式是解答本题的关键．根据完全平方公式解答即可．

解：，，

，

故的值是．

故答案为．

14.【答案】 

【解析】本题考查了分式方程的解，把代入原方程中进行计算是解题的关键．把代入原方程中进行计算即可解答．

解：把代入分式方程中得：

，

，

，

故答案为：．

15.【答案】 

【解析】本题主要考查完全平方公式的运用，熟记公式是解题的关键．

由题意知边长为的正方形的面积应该等于所有小卡片面积之和．

解：边长为的正方形的面积为，

图形面积为，图形面积为，图形面积为，

则可知需要类卡片张．

故答案为：．

16.【答案】 

【解析】本题考查了角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形的外角与内角的关系的运用．解答时证明三角形全等是关键．

在上取一点，使，连接，由条件就可以得出≌，就可以得出，就可以得出，由三角形的外角与内角的关系就可以得出结论．

解：在上取一点，使，连接．

平分，

．

在和中，

．

≌，

，．

，

，

，

．

，

．

故答案为：．

17.【答案】解：原式

；

原式． 

【解析】本题考查整式的除法以及因式分解法，属于基础题型．

根据整式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案；

根据平方差公式即可求出答案．

18.【答案】证明：，

，

．

在和中，

≌，

，

． 

【解析】本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题的条件，利用数形结合的思想解答．

要证明，只要证明即可，要证明，只要证明≌即可，根据题目中的条件可以证明≌，本题得以解决．

19.【答案】解：原式

；

原式

，

当时，原式． 

【解析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

原式利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果；

原式利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．

20.【答案】解：如图，线段即为所求；

如图，点即为所求；

如图所示，即为所求． 

【解析】本题考查作图轴对称变换，轴对称最短路线问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．

根据轴对称的性质即可得到结论；

连接交轴于点，连接，此时的值最小；

根据轴对称的性质作出各顶点关于轴的对称点，顺次连接即可．

21.【答案】解：；

当时，连接，

点关于直线的对称点为，

，，

．

，，

，，

．

，

，

；

证明：，，

，

．

，

，

，

．

由中得，，

，

，

． 

【解析】本题是三角形综合题，考查的是轴对称的性质、等腰直角三角形的性质、三角形外角的性质，利用等腰直角三角形以及三角形外角的性质是解题的关键．

连接，根据轴对称的性质得，，可得，则，由得，根据等腰直角三角形以及三角形外角的性质即可求解；

利用的方法即可求解；

由，得，则，由三角形外角的性质得，可得，，由中得，根据三角形的内角和定理得，则，即可得．

解：连接．

点关于直线的对称点为，

，，

．

，，

，，

．

，

．

的度数是；

见答案；

见答案．

22.【答案】解：设款手机的进货单价是元，则款手机的进货单价是元，

根据题意得：，

解得：，经检验，是原方程的解，

则，

答：款手机的进货单价是元，款手机的进货单价是元；

设款手机的销售单价是元，款手机的销售单价是元，

根据题意得：

解得：

答：款手机的销售单价是元，款手机的销售单价是元；

设购买款手机部，款手机部，

根据题意得：，

化简得，．

、都是正整数，

或或

即有三种进货方案：

方案一：购买款手机部，款款手机部，利润是：元；

方案二：购买款手机部，款款手机部，利润是：元；

方案三：购买款手机部，款款手机部，利润是：元．

，

选择方案三获得的总利润最高． 

【解析】本题考查分式方程的应用、二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程，二元一次方程组，二元一次方程．

设款手机的进货单价是元，则款手机的进货单价是元，由题意：花元购进款手机的数量与花元购进款手机的数量相同．列出分式方程，求解即可；

设款手机的销售单价是元，款手机的销售单价是元，根据表中的数据列方程组求解即可；

设购买款手机部，款手机部，由题意：手机专卖店要花费元购进，两款手机若干部，列出二元一次方程，求其正整数解，得到进货方案，再分别求出总利润，比较即可．

23.【答案】问题背景

证明：，

．

平分，

，

，

；

尝试应用

；

证明：如图，延长，交于点．

，

．

点是的中点，

．

在和中，

≌，

．

是的平分线，

，

，

．

，

；

拓展创新

． 

【解析】本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识点．

问题背景：由知，由平分知，据此得，从而得证；

尝试应用：延长，交于点，先证≌得，再由是的平分线知，从而得，据此知，结合可得答案；

拓展创新：延长，交于点，同可得：，≌，据此知，继而得出答案．

解：问题背景：见答案；

尝试应用：见答案；

拓展创新：如图，延长，交于点．

点是的中点，

．

，

．

在和中，

≌，

．

是的平分线，

．

，

，

．

，

．

24.【答案】解：如图，过点作轴于点，过点作交的延长线于点．

，，

，，

．

，，

．

在和中，

≌，

，，

，

；

结论：．

理由：在射线上截取，连接．

，轴，轴，

，，

．

在和中，

≌，

，，

．

，

，

．

在和中，

≌，

．

，

；

结论：，．

证明：如图，延长到点，使得，连接，，延长交于点．

在和中，

≌，

，，

，

．

，

．

，

．

，

，

．

在和中，

≌，

，，

．

，

，，

即，． 

【解析】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．

如图，过点作轴于点，过点作交的延长线于点证明≌，推出，，可得结论；

结论：证明≌，推出，，再证明≌，推出，可得结论；

结论：，如图，延长到点，使得，连接，，延长交于点证明是等腰直角三角形，可得结论．