高中数学高考复习导数及其应用

　　 一、知识网络

　　二、高考考点

　　1、导数定义的认知与应用；

　　2、求导公式与运算法则的运用；

　　3、导数的几何意义；

　　4、导数在研究函数单调性上的应用；

　　5、导数在寻求函数的极值或最值的应用；

　　6、导数在解决实际问题中的应用。

　　三、知识要点

　　（一）导数

　　1、导数的概念

　　（1）导数的定义

　　（Ⅰ）设函数 在点 及其附近有定义，当自变量x在 处有增量△x（△x可正可负），则函数y相应地有增量 ，这两个增量的比 ，叫做函数 在点 到 这间的平均变化率。如果 时， 有极限，则说函数 在点 处可导，并把这个极限叫做 在点 处的导数（或变化率），记作 ，即 。

　　（Ⅱ）如果函数 在开区间（ ）内每一点都可导，则说 在开区间（ ）内可导，此时，对于开区间（ ）内每一个确定的值 ，都对应着一个确定的导数 ，这样在开区间（ ）内构成一个新的函数，我们把这个新函数叫做 在开区间（ ）内的导函数（简称导数），记作 或 ， 即 。

　　认知：

　　（Ⅰ）函数 的导数 是以x为自变量的函数，而函数 在点 处的导数 是一个数值； 在点 处的导数 是 的导函数 当 时的函数值。

　　（Ⅱ）求函数 在点 处的导数的三部曲：

　　①求函数的增量 ；

　　②求平均变化率 ；

　　③求极限 

　　上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。

　　（2）导数的几何意义：

　　函数 在点 处的导数 ，是曲线 在点 处的切线的斜率。

　　（3）函数的可导与连续的关系

　　函数的可导与连续既有联系又有区别：

　　（Ⅰ）若函数 在点 处可导，则 在点 处连续；

　　若函数 在开区间（ ）内可导，则 在开区间（ ）内连续（可导一定连续）。

　　事实上，若函数 在点 处可导，则有 此时， 

　　记 ,则有 即 在点 处连续。

　　（Ⅱ）若函数 在点 处连续，但 在点 处不一定可导（连续不一定可导）。

　　反例： 在点 处连续，但在点 处无导数。

　　事实上， 在点 处的增量 

　　当 时，　　　　　　　　 ，　　　　　　 ；

　　当 时，　　　　　　　　 ，　　　　　　 

　　由此可知， 不存在，故 在点 处不可导。

　　2、求导公式与求导运算法则

　　（1）基本函数的导数（求导公式）

　　公式1　　 常数的导数： （c为常数），即常数的导数等于0。

　　公式2　　 幂函数的导数： 。

　　公式3　　 正弦函数的导数： 。

　　公式4　　 余弦函数的导数： 

　　公式5　　 对数函数的导数：

　　（Ⅰ） ；

　　（Ⅱ） 

　　公式6　　 指数函数的导数：

　　（Ⅰ） ；

　　（Ⅱ） 。

　　（2）可导函数四则运算的求导法则

　　设 为可导函数，则有

　　法则1　　 ；

　　法则2　　 ；

　　法则3　　 。

　　3、复合函数的导数

　　（1）复合函数的求导法则

　　设 ， 复合成以x为自变量的函数 ，则复合函数 对自变量x的导数 ，等于已知函数对中间变量 的导数 ，乘以中间变量u对自变量x的导数 ，

　　即 。

　　引申：设 ， 复合成函数 ， 则有 

　　（2）认知

　　（Ⅰ）认知复合函数的复合关系循着“由表及里”的顺序，即从外向内分析：首先由最外层的主体函数结构设出 ，由第一层中间变量 的函数结构设出 ，由第二层中间变量 的函数结构设出 ，由此一层一层分析，一直到最里层的中间变量 为自变量x的简单函数 为止。于是所给函数便“分解”为若干相互联系的简单函数的链条：

　　 ；

　　（Ⅱ）运用上述法则求复合函数导数的解题思路

　　①分解：分析所给函数的复合关系，适当选定中间变量，将所给函数“分解”为相互联系的若干简单函数；

　　②求导：明确每一步是哪一变量对哪一变量求导之后，运用上述求导法则和基本公式求；

　　③还原：将上述求导后所得结果中的中间变量还原为自变量的函数，并作以适当化简或整理。

　　二、导数的应用

　　1、函数的单调性

　　（1）导数的符号与函数的单调性：

　　一般地，设函数 在某个区间内可导，则若 为增函数；若 为减函数；若在某个区间内恒有 ，则在这一区间上为常函数。

　　（2）利用导数求函数单调性的步骤

　　（Ⅰ）确定函数 的定义域；

　　（Ⅱ）求导数 ；

　　（Ⅲ）令 ，解出相应的x的范围

　　当 时， 在相应区间上为增函数；当 时 在相应区间上为减函数。

　　（3）强调与认知

　　（Ⅰ）利用导数讨论函数的单调区间，首先要确定函数的定义域D，并且解决问题的过程中始终立足于定义域D。若由不等式 确定的x的取值集合为A，由 确定的x的取值范围为B，则应用 ；

　　（Ⅱ）在某一区间内 （或 ）是函数 在这一区间上为增（或减）函数的充分（不必要）条件。因此方程 的根不一定是增、减区间的分界点，并且在对函数划分单调区间时，除去确定 的根之外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点，它们也可能是增、减区间的分界点。

　　举例：

　　（1） 是R上的可导函数，也是R上的单调函数，但是当x=0时， 。

　　（2） 在点x=0处连续，点x=0处不可导，但 在（-∞，0）内递减，在（0，+∞）内递增。

　　2、函数的极值

　　（1）函数的极值的定义

　　设函数 在点 附近有定义，如果对 附近的所有点，都有 ，则说 是函数 的一个极大值，记作 ；

　　如果对 附近的所有点，都有 ，则说 是函数 的一个极小值，记作 。

　　极大值与极小值统称极值

　　认知：由函数的极值定义可知：

　　（Ⅰ）函数的极值点 是区间 内部的点，并且函数的极值只有在区间内的连续点处取得；

　　（Ⅱ）极值是一个局部性概念；一个函数在其定义域内可以有多个极大值和极小值，并且在某一点的极小值有可能大于另一点处的极大值；

　　（Ⅲ）当函数 在区间 上连续且有有限个极值点时，函数 在 内的极大值点，极小值点交替出现。

　　（2）函数的极值的判定

　　设函数 可导，且在点 处连续，判定 是极大（小）值的方法是

　　（Ⅰ）如果在点 附近的左侧 ，右侧 ，则 为极大值；

　　（Ⅱ）如果在点 附近的左侧 ，右侧 ，则 为极小值；

　　注意：导数为0的不一定是极值点，我们不难从函数 的导数研究中悟出这一点。

　　（3）探求函数极值的步骤：

　　（Ⅰ）求导数 ；

　　（Ⅱ）求方程 的实根及 不存在的点；

　　考察 在上述方程的根以及 不存在的点左右两侧的符号：若左正右负，则 在这一点取得极大值，若左负右正，则 在这一点取得极小值。

　　3、函数的最大值与最小值

　　（1）定理

　　若函数 在闭区间上连续，则 在 上必有最大值和最小值；在开区间 内连续的函数 不一定有最大值与最小值。

　　认知：

　　（Ⅰ）函数的最值（最大值与最小值）是函数的整体性概念：最大值是函数在整个定义区间上所有函数值中的最大值；最小值是函数在整个定义区间上所有函数值中的最小值。

　　（Ⅱ）函数的极大值与极小值是比较极值点附近的函数值得出的（具有相对性），极值只能在区间内点取得；函数的最大值与最小值是比较整个定义区间上的函数值得出的（具有绝对性），最大（小）值可能是某个极大（小）值，也可能是区间端点处的函数值。

　　（Ⅲ）若 在开区间 内可导，且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最大（小）值。

　　（2）探求步骤：

　　设函数 在 上连续，在 内可导，则探求函数 在 上的最大值与最小值的步骤如下：

　　（ I ）求 在 内的极值；

　　（ II ）求 在定义区间端点处的函数值 ， ；

　　（ III ）将 的各极值与 ， 比较，其中最大者为所求最大值，最小者为所求最小值。

　　引申：若函数 在 上连续，则 的极值或最值也可能在不可导的点处取得。对此，如果仅仅是求函数的最值，则可将上述步骤简化：

　　（ I ）求出 的导数为0的点及导数不存在的点（这两种点称为可疑点）；

　　（ II ）计算并比较 在上述可疑点处的函数值与区间端点处的函数值，从中获得所求最大值与最小值。

　　（3）最值理论的应用

　　解决有关函数最值的实际问题，导数的理论是有力的工具，基本解题思路为：

　　（ I ）认知、立式：分析、认知实际问题中各个变量之间的联系，引入变量，建立适当的函数关系；

　　（ II ）探求最值：立足函数的定义域，探求函数的最值；

　　（ III ）检验、作答：利用实际意义检查（2）的结果，并回答所提出的问题，特殊地，如果所得函数在区间内只有一个点 满足 ，并且 在点 处有极大（小）值，而所给实际问题又必有最大（小）值，那么上述极大（小）值便是最大（小）值。

　　四、经典例题

　　例1、设函数 在点 处可导，且 ，试求

　　（1） ；

　　（2） ；

　　（3） ；

　　（4） 　　 （ 为常数）。

　　解：注意到 

　　 　　当 ）

　　（1） ；

　　（2） 

　　=A+A=2A

　　（3）令 ，则当 时 ，

　　∴ 

　　（4） 

　　点评：注意 的本质，在这一定义中，自变量x在 处的增量 的形式是多种多样的，但是，不论 选择哪一种形式，相应的 也必须选择相应的形式，这种步调的一致是求值成功的保障。

　　若自变量x在 处的增量为 ，则相应的 ，

　　于是有 ；

　　若令 ，则又有 

　　例2、

　　（1）已知 ，求 ；

　　（2）已知 ，求 

　　解：

　　（1）令 ，则 ，且当 时， 。

　　注意到这里 

　　∴ 

　　（2）∵ 

　　∴ 

　　 　　　　　　　　①

　　注意到 ，

　　∴由已知得 　　 ②

　　∴由①、②得 

　　例3、求下列函数的导数

　　（1） ；　　　　　　　　（2） ；

　　（3） ；　　　　　　　　 （4） ；

　　（5） ；　　　　　　　　　（6） 

　　解：

　　（1） 

　　（2） ，

　　∴ 

　　（3） ，

　　∴ 

　　（4） ，

　　∴ 

　　（5） ，

　　∴ 

　　（6） 

　　∴当 时， ；

　　∴当 时， 

　　∴ 　　　　　　　　 

　　即 。

　　点评：为避免直接运用求导法则带来的不必要的繁杂运算，首先对函数式进行化简或化整为零，而后再实施求导运算，特别是积、商的形式可以变为代数和的形式，或根式可转化为方幂的形式时，“先变后求”的手法显然更为灵巧。

　　例4、在曲线C： 上，求斜率最小的切线所对应的切点，并证明曲线C关于该点对称。

　　解：

　　（1） 

　　∴当 时， 取得最小值-13

　　又当 时， 

　　∴斜率最小的切线对应的切点为A（2，-12）；

　　（2）证明：设 为曲线C上任意一点，则点P关于点A的对称点Q的坐标为 

　　且有 　　　　　　　　　　　　 ①

　　∴将 代入 的解析式得

　　 ，

　　∴点 坐标为方程 的解

　　∴ 

　　注意到P，Q的任意性，由此断定曲线C关于点A成中心对称。

　　例5、已知曲线 ，其中 ，且均为可导函数，

　　求证：两曲线在公共点处相切。

　　证明：注意到两曲线在公共点处相切当且仅当它们在公共点处的切线重合，

　　设上述两曲线的公共点为 ，则有

　　 ， ，

　　∴ 　　，　　　　　　　　 

　　∴ ，

　　∴ ，　　　　　　　　 

　　∴ 

　　于是，对于 有 ；　　　　 ①

　　对于 ，有 　　　　 ②

　　∴由①得　　 ，

　　由②得　　 

　　∴ ，即两曲线在公共点处的切线斜率相等，

　　∴两曲线在公共点处的切线重合

　　∴两曲线在公共点处相切。

　　例6、

　　（1）是否存在这样的k值，使函数 在区间（1，2）上递减，在（2，+∞）上递增，若存在，求出这样的k值； 

　　（2）若 恰有三个单调区间，试确定 的取值范围，并求出这三个单调区间。

　　解：

　　（1） 

　　由题意，当 时 ，当x∈(2,+∞) 时 ，

　　∴由函数 的连续性可知 ，

　　即 

　　整理得 

　　解得 或 

　　验证：

　　（Ⅰ）当 时， 

　　∴若 ，则 ；若 ， 则 ， 符合题意；

　　（Ⅱ）当 时， 

　　 ，

　　显然不合题意。

　　于是综上可知，存在 使 在（1，2）上递减，在（2，+∞）上递增。

　　（2） 

　　若 ，则 ，此时 只有一个增区间 ，与题设矛盾；

　　若 ，则 ，此时 只有一个增区间 ，与题设矛盾；

　　若 ，则 

　　并且当 时， ；

　　当 时， 

　　∴综合可知，当 时， 恰有三个单调区间：

　　减区间 ；增区间 

　　点评：对于（1），由已知条件得 ，并由此获得k的可能取值，进而再利用已知条件对所得k值逐一验证，这是开放性问题中寻求待定系数之值的基本策略。

　　例7、已知函数 ，当且仅当 时， 取得极值，并且极大值比极小值大4.

　　（1）求常数 的值；

　　（2）求 的极值。

　　解：

　　（1） ，

　　令 得方程 

　　∵ 在 处取得极值

　　∴ 或 为上述方程的根， 

　　故有 

　　∴ ，即 　　　　 ①

　　∴ 

　　又∵ 仅当 时取得极值，

　　∴方程 的根只有 或 ，

　　∴方程 无实根，

　　∴ 即 

　　而当 时， 恒成立，

　　∴ 的正负情况只取决于 的取值情况

　　当x变化时， 与 的变化情况如下表：

　　∴ 在 处取得极大值 ，在 处取得极小值 。

　　由题意得 

　　整理得 　　　　　　②

　　于是将①，②联立，解得 

　　（2）由（1）知， 

　　点评：循着求函数极值的步骤，利用题设条件与 的关系，立足研究 的根的情况，乃是解决此类含参问题的一般方法，这一解法体现了方程思想和分类讨论的数学方法，突出了“导数 ”与“ 在 处取得极值”的必要关系。

　　例8、

　　（1）已知 的最大值为3，最小值为-29，求 的值；

　　（2）设 ，函数 的最大值为1，最小值为 ，求常数 的值。

　　解：

　　（1）这里 ，不然 与题设矛盾

　　令 ，解得 或x=4（舍去）

　　（Ⅰ）若 ，则当 时， ， 在 内递增；

　　当 时， ， 在 内递减

　　又 连续，故当 时， 取得最大值 

　　∴由已知得 

　　而 

　　∴此时 的最小值为 

　　∴由 得 

　　（Ⅱ）若 ，则运用类似的方法可得 当 时 有最小值，故有 ；

　　又 

　　∴当 时， 有最大值，

　　∴由已知得 

　　于是综合（Ⅰ）（Ⅱ）得所求 或 

　　（2） ，

　　令 得 

　　解得 　

　　当 在 上变化时， 与 的变化情况如下表：

　　∴当 时， 取得极大值 ；当 时， 取得极小值 。

　　由上述表格中展示的 的单调性知 

　　∴ 最大值在 与 之中， 的最小值在 和 之中，

　　考察差式 ，

　　即 ，

　　故 的最大值为 

　　由此得 

　　考察差式 

　　 　　 ，即 ，

　　∴ 的最小值为 

　　由此得 ，解得 

　　于是综合以上所述得到所求 。

　　五、高考真题

　　（一）选择题

　　1、设 ， ， ，…， ， ，则 （　　 ）。

　　A、 　　　　　　B、 　　　　 C、 　　　　　　 D、 

　　分析：由题意得 ，

　　 ，

　　 ，

　　 ，

　　∴ 具有周期性，且周期为4，

　　∴ ，应选C。

　　2、函数 有极值的充要条件为（　　　　 ）

　　A、 　　　　 B、 　　　　　　 C、 　　　　 D、 

　　分析： 

　　∴当 时， 且 ；

　　当 时，令 得 有解，

　　因此 才有极值，故应选C。

　　3、设 ， 分别是定义在R上的奇导数和偶导数，当 时， ，且 ，则不等式 的解集是（　　　　 ）

　　A、（-3，0）∪（3，+∞）　　　　　　 B、（-3，0）∪（0，3）　　　　 

　　C、（-∞，-3）∪（3，+∞）　　　　　 D、（-∞，-3）∪（0，3）

　　分析：为便于描述，设 ，则 为奇导数，当 时， ，且 

　　∴根据奇函数图象的对称性知， 的解集为（-∞，-3）∪（0，3），应选D。

　　二、填空题

　　1 过原点作曲线 的切线，则切点坐标为　　　　　 ，切线的斜率为　　　 。

　　分析：设切点为M ，则以M为切点的切线方程为 

　　∴由曲线过原点得 ，∴ ，

　　∴切点为 ，切线斜率为 。

　　点评：设出目标（之一）迂回作战，则从切线过原点切入，解题思路反而简明得多。

　　2 曲线 在点 处的切线与x轴，直线 所围成的三角形面积为 ，则 =　　　　　　　　 。

　　分析：

　　∴曲线 在点 处的切线方程为 

　　即 　　 

　　切线与x轴交点 ，

　　又直线 与切线交点纵坐标为 ，

　　∴上述三角形面积 ，

　　由此解得 即 

　　3 曲线 与 在交点处的切线夹角是　　　　　　（以弧度数作答）

　　分析：设两切线的夹角为 ，将两曲线方程联立，解得交点坐标为 

　　又 ，　　 

　　即两曲线在点 处的切线斜率分别为-2，3

　　∴ ，

　　∴ ，应填 。

　　（三）解答题

　　1 已知 ，讨论导数 的极值点的个数。

　　解析：先将 求导， 即 。

　　当 时， 有两根，于是 有两极值点。

　　当 时， ， 为增函数， 没极值点。

　　本题考查导数的应用以及二次方程根、“ ”等知识。

　　解答： 

　　令 ，得 

　　1、当 　　 

　　即 或 时，方程 有两个不同的实根 、 ，

　　不防设 ，

　　于是 ，从而有下表：

　　即此时 有两个极值点；

　　2、当 即 时，方程 有两个相同的实根 ，

　　于是 ，故当 时， ；当 时， ，因此 无极值；

　　3、当 即 时， ，

　　而 ，

　　故 为增函数。此时 无极值；

　　∴当 时， 有两个极值点；当 时， 无极值点。

　　2 已知函数 的图象在点 处的切线方程为 。

　　（Ⅰ）求函数 的解析式；

　　（Ⅱ）求函数 的单调区间。

　　解析：

　　（1）由 在切线上，求得 ，再由 在函数图象上和 得两个关于 的方程。

　　（2）令 ，求出极值点， 求增区间， 求减区间。

　　此题考查了导数的几何意义以及利用导数求函数的单调区间。

　　解答

　　（Ⅰ）由函数 的图象在点 处的切线方程为 知：

　　 ，即 ，

　　∴ 

　　即 

　　解得 　　 

　　所以所求函数解析式 

　　（Ⅱ） 

　　令 解得 

　　当 或 时， 

　　当 时， 

　　所以 在 内是减函数，在 内是增函数。

　　3 已知 是函数 的一个极值点，其中 

　　（Ⅰ）求 与 的关系表达式；

　　（Ⅱ）求 的单调区间；

　　（Ⅲ）当 时，函数 的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求 的取值范围。

　　解析：（1）本小题主要考查了导数的概念和计算，应用导数研究函数单调性的基本方法以及函数与方程的思想，第2小题要根据 的符号，分类讨论 的单调区间；第3小题是二次三项式在一个区间上恒成立的问题，用区间端点处函数值的符号来表示二次三项式在一个区间上的符号，体现出将一般性问题特殊化的数学思想。

　　解答：

　　（Ⅰ） ， 是函数 的一个极值点

　　∴ 

　　∴ ；

　　（Ⅱ） 

　　令 ，得 

　　 　　 与 的变化如下表：

　　因此， 的单调递减区间是 和 ； 的单调递增区间是 ；

　　（Ⅲ）由（Ⅱ） 

　　即 

　　令 ，

　　 且 ，

　　即m的取值范围是 。

　　4 

　　已知函数 。

　　（Ⅰ）求 的单调区间和值域；

　　（Ⅱ）设 ，函数 ，若对于任意 ，总存在 ，使得 成立，求 的取值范围。

　　解析：本题考查导数的综合运用，考查综合运用数学知识解决问题能力，考查思维及推理能力以及运算能力，本题入手点容易，

　　（Ⅰ）中对分式函数定区间内单调性与值域问题，往往以导数为工具，

　　（Ⅱ）是三次函数问题，因而导数法也是首选，若 成立，则二次函数值域必满足 关系，从而达到求解目的。

　　解：

　　（Ⅰ）由 得 或 。

　　∵ 　　 ∴ （舍去）

　　则 ， ， 变化情况表为：

　　因而当 时 为减函数；当 时 为增函数；

　　当 时， 的值域为 ；

　　（Ⅱ） 

　　因此 ，当 时 

　　因此当 时 为减函数，从而当 时有 

　　又 ，即当 时有 

　　任给 ， ，存在 使得 

　　则 

　　由（1）得 或 ，由（2）得 

　　又 

　　故 的取值范围为 。

　　5 已知 ，函数 

　　（1）当 为何值时， 取得最小值？证明你的结论；

　　（2）设 在 上是单调函数，求 的取值范围。

　　解析：本题考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力，本题（Ⅰ）常规题型，方法求 ，解 的根，列表，确定单调性，并判断极值点，对（Ⅱ）由（Ⅰ） 在 上单调，而 ，因此只要 即满足题设条件，从中解出 的范围。

　　解答：（Ⅰ） 

　　令 则 

　　从而 

　　 ，其中 

　　当 变化时, ， 的变化情况如下表

　　∴ 在 处取得极大值， 处取得极小值

　　当 时 ， ，且 在 为减函数，在 为增函数

　　而当 时 ，当 时 

　　∴当 时 取最小值；

　　（Ⅱ）当 时 在 上为单调函数的充要条件是 

　　 ，解得 

　　综上， 在 上为单调函数的充要条件为 ,

　　即 的取值范围为） 。

　　6.已知 ，函数 

　　（Ⅰ）当 时，求使 成立的 成立的 的集合；

　　（Ⅱ）求函数 在区间 上的最小值。

　　答案：

　　（Ⅰ）｛0，1， ｝

　　（Ⅱ） 

　　解答：

　　（Ⅰ）由题意， ,

　　当 时 ,解得 或 ，

　　当 时 ，解得 

　　综上，所求解集为｛0,1,1+ ｝

　　(Ⅱ)设此最小值为m

　　①　当 时，在区间［1，2］上， ，

　　因为 ），

　　则 是区间［1，2］上的增函数，所以 

　　②　 时，在区间［1，2］， 

　　由 知 ；

　　③　当 时，在区间［1，2］上， 

　　如果 在区间（1，2）内， 

　　从而 在区间［1，2］上为增函数，由此得 ；

　　如果 则 。

　　当 时， ，从而 为区间［1， ］上的增函数；

　　当 时， ，从而 为区间［ ，2］上的减函数

　　因此，当 时， 或 。

　　当 时， 故 

　　当 时 .

　　综上所述,所求函数的最小值

　　7、

　　(Ⅰ)设函数 求 的最小值;

　　(Ⅱ)设正数 满足 ，证明 。

　　解析：本题考查数学归纳法及导数应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力。（Ⅰ）已知函数为超越函数，若求其最小值，则采用导数法，求出 ，解 得 ，再判断 与 时 的符号，确定 为极小值点，也是函数的最小值，对（Ⅱ）直接利用数学归纳法证明，但由 到 过渡是难点。

　　解答：

　　（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，1）

　　令 

　　当 时，f′(x)<0, ∴f(x)在区间 是减函数；

　　当 时，f′(x)>0,　　 ∴f(x)在区间 是增函数。

　　∴f（x）在 时取得最小值且最小值为 

　　(Ⅱ)用数学归纳法证明

　　（i）当n=1时，由（Ⅰ）知命题成立；

　　(ii)假定当n=k时命题成立，即若正数 

　　满足 ,则 

　　当n=k+1时，若正数 满足 

　　令 , 

　　则 为正数，且 

　　由归纳假定知 

　　 　　 ①

　　同理，由 ,可得

　　 ≥(1－x)(－k)+(1－x)log2(1－x).　　 ②

　　综合①、②两式

　　≥[x+(1－x)](－k)+xlog2x+(1－x)log2(1－x)

　　≥－(k+1).

　　即当n=k+1时命题也成立。

　　根据（i）、(ii)可知对一切正整数n命题成立。

　　8 函数 在区间 内可导，导函数 是减函数，且 ，设 ， 是曲线 在点 处的切线方程，并设函数 

　　（Ⅰ）用 、 、 表示m；

　　（Ⅱ）证明：当 时, 

　　（Ⅲ）若关于x的不等式 在 上恒成立，其中a、b为实数，求b的取值范围及a与b所满足的关系。

　　解答：

　　（ I ） 在点 处的切线方程为 

　　即 

　　因而 ；

　　(Ⅱ)证明：令 ，则 

　　因为 递减，所以 递增,因此，当 时， ；当 时， ，

　　所以 是 唯一的极值点，且是极小值点，可知 的最小值为0

　　因此 0即 ；

　　（Ⅲ）

　　解法一： 是不等式成立的必要条件，以下设此条件成立。

　　 ，即 对任意 成立的充要条件是 ，

　　另一方面，由于 满足前述题设中关于 的条件，

　　利用(Ⅱ)的结果可知， 的充要条件是：过点 与曲线 相切的直线的斜率不大于 ，

　　该切线的方程为： ，

　　于是 的充要条件是 

　　综上，不等式 对任意 成立的充要条件是

　　 　　　　　　 ①

　　显然，存在 使①式成立的充要条件是：不等式 　　　　 ②

　　有解，解不等式②得 　　　　　　　　 ③

　　因此，③式即为 的取值范围，①式即为实数 与 所满足的关系。

　　（Ⅲ）

　　解法二： 是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立。

　　 ，即 对任意 成立的充要条件是 

　　令 ，于是 对任意 成立的充要条件是 。

　　由 得 

　　当 时， ；当 时， ，所以，当 时，

　　 取最小值。因此 成立的充要条件是 ，即 

　　综上，不等式 对任意 成立的充要条件是 　　 ①

　　显然，存在a、b使①式成立的充要条件是：不等式 　　　　　　　　　　 ②

　　有解，解不等式②得 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　③

　　因此，③式即为b的取值范围，①式即为实数a与b所满足的关系。

　　点评：本题考查导数概念的几何意义，函数极值、最值的判定以及灵活运用数形结合的思想判断函数之间的关系，考查考生的学习能力，抽象思维能力，以及综合运用数学基本关系解决问题的能力。对（Ⅰ），曲线 在点 处切线斜率为 ，切线方程为 ，

　　即 ，因而 ；对（Ⅱ）即证明 在 时恒成立，构造函数 则 

　　∵ 　　∴ 

　　∴ ，则 

　　由 递减　　 ∴ 递增，则当 时 ，当 时， ，

　　则 是 的极值点，且为极小值点，

　　所以 极小值为 ，即 恒成立，　　 

　　因而 ；对（Ⅲ）有两种思考方法，是该题难点，其求解过程比较详细。

　　9．设点 和抛物线 其中 由以下方法得到： ，点 在抛物线 上，点 到 的距离是 到 上点的最短距离，…，点 在抛物线 上，点 到 的距离是 到 上点的最短距离。

　　（Ⅰ）求 及 的方程；

　　（Ⅱ）证明 是等差数列。

　　解答：

　　（Ⅰ）由题意得 

　　设点 是 上任一点

　　则 

　　令 

　　则 

　　由题意得： 

　　即 

　　又 在 上，∴ 

　　解得 

　　故 方程为： 

　　（Ⅱ）设点 是 上任意一点。

　　则 

　　令 

　　由题意得 

　　即 

　　又∵点 在 上

　　∴ 

　　∴ 

　　即 

　　下面用数学归纳法证明： 

　　①当n=1时， ，等式成立。

　　②假设n=k时，等号成立，即 

　　则当n=k+1时，由（*）知： 

　　又 

　　∴ 

　　即当n=k+1时，等式成立

　　由①②知，等式 成立

　　∴ 是等差数列

　　点评：

　　（Ⅰ）设 为 上任一点

　　∵ ，换句话说：在点 处 取得最小值。

　　令 

　　∴ 此为关键

　　（Ⅱ）方法同（Ⅰ）推导出： 然后用数学归纳法证明。

　　10. 已知函数 

　　（Ⅰ）求函数 的反函数 及 的导数 ；

　　（Ⅱ）假设对任意 ，

　　不等式 成立，求实数m的取值范围。

　　解答：

　　（Ⅰ）解：由 ，得 ，

　　所以 

　　（Ⅱ）

　　解法1 由 ，得

　　即对于 恒有 　　　　　　　　　　①

　　设 ，于是不等式①化为

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　②

　　当 ， 、 时，

　　 ，

　　 ，

　　所以 都是增函数。

　　因此当 时， 的最大值为 的最小值为 

　　而不等式②成立当且仅当 ，即 ，

　　于是得 

　　解法2：由 ，得

　　 ，

　　设 ，

　　于是原不等式对于 恒成立等价于 　　　　　　　　 ③

　　由 ， ，

　　注意到 ，故有 ， ，

　　从而可知 与 均在 上单调递增，

　　因此不等式③成立当且仅当 ，即