5-8-1数字谜语算式谜综合_题库教师版

教学目标

数字迷从形式上可以分为横式数字迷与竖式数字迷，从运算法则上可以分为加减乘除四种形式的数字迷。横式与竖式亦可以互相转换，本讲中将主要介绍数字迷的一般解题技巧。主要涉及小数、分数、循环小数的数字迷问题，因此，会需要利用数论的知识解决数字迷问题

知识点拨

一、数字迷加减法

1.个位数字分析法

2.加减法中的进位与错位

3.奇偶性分析法

二、数字迷乘除法

数字乘法个位数字的规律--最大值最小值的考量--加减法进位规律--合数分解质因数性质--奇偶数性质规律--余数性质

三、数阵图

1.从整体和局部两种方向入手，单和与总和

2.区分数阵图中的普通点（或方格），和关键点（方格）

3.在数阵图的少数关键点（一般是交叉点）上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，

得到关键点上所填数的范围

4.运用已经得到的信息进行尝试（试数）

四、数字谜问题解题技巧

1.解题的突破口多在于竖式或横式中的特殊之处，例如首位、个位以及位数的差异；

2.要根据不同的情况逐步缩小范围，并进行适当的估算；

3.题目中涉及多个字母或汉字时，要注意用不同符号表示不同数字这一条件来排除若干可能性；

4.注意结合进位及退位来考虑；

5.有时可运用到数论中的分解质因数等方法．

例题精讲

模块一、数字迷

【例 1】下面算式(1)是一个残缺的乘法竖式，其中□≠2，那么乘积是

【解析】如式(2)，由题意a≠2，所以b≥6，从而d≥6．由22□÷c≥60和c＞2知c=3，所以22□是225或228，或76．因为75×399＜30 000，所以．再由乘积不小于30000和所有的□≠2，推出唯一的解76×396=30096．

【巩固】每个方框内填入一个数字，要求所填数字都是质数，并使竖式成立？

【解析】一位质数只有2、3、5、7，且两位数乘以三位数都需要进位，相乘个位为质数的只有3-5和5-7，逐步递推，答案775X33．

【巩固】下面残缺的算式中，只写出了3个数字1，其余的数字都不是1，那么这个算式的乘积是？

【解析】为了说明的方便，这个算式中的关键数字用英文字母表示．很明显e= 0．从的个位数是1，b可能是3，7，9三数之一，两位数应是（100+f）的因数．101，103，107，109是质数，f=0或5也明显不行．102=17×6，则=17，C只能取3，，不是三位数；104=13×8,则，c可取7，c ×=7×13，仍不是三位数；108=27×4，则=27，c是3．，还不是三位数．只有106=53×2，，c=7，是三位数．

因此这个乘法算式是故这个算式的乘积是3816。

【例 2】在右边的算式中，相同的符号代表相同的数字，不同的符号代表不同的数字，根据这个算式，可以推算出： _______.

【解析】比较竖式中百位与十位的加法，如果十位上没有进位，那么百位上两个“□”相加等于一个“□”，得到“□”，这与“□”在首位不能为0矛盾，所以十位上的“□□”肯定进位，那么百位上有“□□□”，从而“□”，“☆”。再由个位的加法，推知“○△”．从而“”．

【巩固】在右边的竖式中，相同字母代表相同数字，不同字母代表不同数字，则四位数________？

【解析】两个四位数相加得到一个五位数，显然这个五位数的首位只能为1，所以可以确定，那么百位不可能向千位进位，所以，十位向百位进了1位，所以，可得．又因为，所以，四位数为1038。

【巩固】下图是一个正确的加法算式，其中相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字．已知不是的倍数，不是的倍数，那么代表的四位数是多少

【解析】首先可以确定的值一定是，的值一定是，所以，可见为偶数，只能是、、、，由于不是的倍数，不是的倍数，所以不是3的倍数，也不是4的倍数，可以排除144和188，再检验122和166可知只有符合，此时为830，所以的值为。

【例 3】下面算式中，相同汉字代表相同数字，不同汉字代表不同数字

【解析】题中竖式为两个四位数相加得到一个五位数，这个五位数的首位只能为1，所以“数”。再看千位，由于百位至多进1位，而“爱” “数”最大为，所以“学”不超过1，而“数”为1，所以“学”只能为0．竖式变为

。

那么“真”至少为2，所以百位不可能进位，故“爱”。由于“好”和“真”不同，所以“真” “好”，十位向百位进1位。如果个位不向十位进位，则“真” “更” “好”，得到“更”，不合题意，所以个位必定向十位进1位，则“真” “更”  “好”，得到“更”。现在，“真” “好”，“知” “好” “玩”．“真”、“好”、“知”、“玩”为2，3，4，5，6，7中的数。由于“玩”至少为2，而“知” “好”最大为，所以“玩”为2或3。若“玩”为3，则“知”与“好”分别为6和7，此时无论“好”为6还是7，“真”都会与已有的数字重复，不合题意。若“玩”为2，则“知”与“好”分别为5和7，只能是“知”，“好”，“真”。此时“数学真好玩”代表的数是10652。

【巩固】(2009年清华附中入学测试题)如图，在加法算式中，八个字母“”分别代表0到9中的某个数字，不同的字母代表不同的数字，使得算式成立，那么四位数“”的最大值是多少？

【解析】原式为，即．为了使最大，则前两位先尽量大，由于小于100，所以最大可能为80．若，则继续化简为．现在要使尽量大．由于8和0已经出现，所以此时最大为，此时出现重复数字，可见小于76．而符合题意，所以此时最大为75，的最大值为8075．

【巩固】 (2008年“迎春杯”高年级组复赛)将数字1至9分别填入右边竖式的方格内使算式成立(每个数字恰好使用一次)，那么加数中的四位数最小是多少？

【解析】9个方框中的数之和为45．三个加数的个位数字之和可能是8，18；十位数字之和可能是9，10，19，20；百位数字之和可能是8，9，10，其中只有．所以三个加数的个位数字之和为18，十位数字之和为19，百位数字之和为8．要使加数中的四位数最小，尝试在它的百位填1，十位填2，此时另两个加数的百位只能填3，4；则四位数的加数个位可填5，另两个加数的十位可填8，9，个位可填6，7，符合条件，所以加数中的四位数最小是1125．

【例 4】如图所示的算式中，不同的汉字表示不同的数字，相同的汉字表示相同的数字．求使算式成立的汉字所表示的数字.

1【解析】将竖式化为横式就是：，从“”到“”依次考虑，并注意到“喜”、“爱”、“数”都不能等于0，可以得到：，，，。

【巩固】下面的算式中，同一个汉字代表同一个数字，不同的汉字代表不同的数字团团圆圆大熊猫. 则“大熊猫”代表的三位数是                   

2【解析】由于团团团，圆圆圆，所以大熊猫团团圆圆团圆，也就是说“大熊猫”这个三位数是的倍数，那么“团圆”应小于9（否则团圆为四位数），所以“团圆”最大为.因为“团圆”为一位数，如果该数为质数，即、、、，则“团圆”中必有一个数为，则会使“猫”和“团”或“圆”中的一个数字相同，与题意不符，所以“团圆”为合数，即、、，如果团圆，则只有，与题意不符，所以“团圆”只能为或，如果团圆，则“团”和“圆”一个为，一个为，而，与题意不符，则团圆，因此“团”和“圆”一个为，一个为，，符合题意，因此“大熊猫”为。.

【例 5】将、、、、、、这七个数字填在圆圈和方格内，每个数字恰好出现一次，组成只有一位数和两位数的整数算式．问填在方格内的数是多少？ 

1【解析】题目要求用七个数字组成个数，说明有3个数是一位数，有2个数是两位数．很明显，方框里的数和被除数是两位数，其余的被乘数、乘数和除数是位数．看得出来，不能做被乘数和乘数，更不能做除数，因而0是两位数的个位数字，但不能是商的个位数字，即不能是方框里的两位数的个位数字，否则会使除数的个位也为0，从而只能是被除数的个位数字；乘数如果是，不论被乘数是几，都将在算式出现两次，与题意不符，所以，乘数不是．同样乘数也不能是．乘数如果有2，则被乘数只能是6，才能保证方格里的数是不含偶的两位数，但此时2出现重复，所以乘数里面也没有2．被除数是个一位数的乘积，其中一个是，另两个中没有，也不能有，因而被除数至少是．由于没有比大的数字，所以被除数就是，而且算式是．于是方格中的数是12

【巩固】在算式：的六个方框中，分别填入，，，，，这六个数字，使算式成立，并且算式的积能被整除，那么这个乘积是        ？

2【解析】先从个位数考虑，有、、、四种可能；再考虑乘数的百位只能是或，因此只有三种可能的填法：，，，其中只有能被整除，所以这个积是。

【例 6】如图所示的乘法竖式中，“学而思杯”分别代表0～9 中的一个数字，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，那么“学而思杯”代表的数字分别为________（

1【解析】首先从式子中可以看出“思”，另外第三个部分积的首位只能为9，所以“学”只能为3．由于3个部分积都是四位数，而且第三个部分积的首位为9，所以它比其它两个部分积要大，从而“学”比“而”和“杯”都大，所以“而”和“杯”只能分别为1和2，这样“学而思杯”就可能为3102或3201．分别进行检验，发现，与算式不相符，而符合，所以“学而思杯”代表的数字分别为3、2、0、1．

【巩固】在右边的乘法算式中，字母、和分别代表一个不同的数字，每个空格代表一个非零数字．求、和分别代表什么数字？

2【解析】第一个部分积中的是的个位数字，所以要么是，要么是．如果，第二个部分积中的是积的个位数字，所以．同理，第三个部分积中的是积的个位数字，因此．检验可知，，满足题意．如果，类似地可知，，但这时第二个部分积不是四位数，不合题意．所以、和代表的数字分别是7、8、3.

【例 7】在如图所示的乘法算式中，汉字代表1至9这9个数字，不同汉字代表不同的数字．若“祝”字和“贺”字分别代表数字“4”和“8”，求出“华杯赛”所代表的整数．

1【解析】根据题意可知“祝”、“贺”、“华”、“杯”、“赛”、“第”、“十”、“四”、“届”这9个汉字恰好代表1～9这9个数字，那么它们的和为45．由于“祝”、“贺”分别代表4和8，那么“祝贺”是3的倍数，则“第十四届”也是3的倍数，这样它的各位数字之和之和也是3的倍数，可知“祝”、“贺”与“第”、“十”、“四”、“届”这6个数的和也是3的倍数，那么“华”、“杯”、“赛”这3个数和也是3的倍数，从而“华杯赛”这个三位数是3的倍数．由于“第十四届”等于48与“华杯赛”这两个3的倍数的乘积，所以它是9的倍数．从而“第”、“十”、“四”、“届”这4个数的和是9的倍数．由于“华”、“杯”、“赛”、“第”、“十”、“四”、“届”的总和为，所以“第”、“十”、“四”、“届”这4个数的和可能为27或18(它们的和显然大于9)，对应的“华”、“杯”、“赛”这3个数和是6或15．⑴如果“华”、“杯”、“赛”这3个数和是6，则“华”、“杯”、“赛”分别为1、2、3，如果“华”为2，则“华杯赛”至少为213，则，不是四位数，所以“华”只能为1，这样“华杯赛”可能为123和132，分别有，，都不符合；⑵如果“华”、“杯”、“赛”这3个数和是15，根据上面的分析可知“华”只能为1，这样“杯”、“赛”之和为14，可能为或，由于“贺”为8，所以“杯”、“赛”分别为5和9，显然“赛”不能为5，则“华杯赛”为159。

【巩固】右边算式中，表示同一个数字，在各个□中填入适当的数字，使算式完整．那么两个乘数的差(大数减小数)是       ？

2【解析】由能被整除及只有，，的个位是，所以可能为1，3，7或9，而且可分解成11与1个一位数和一个两位数的乘积．分别检验1111、1331、1771、1991，只有1771满足：，可知原式是．所以两个乘数的差是。

【例 8】“迎杯×春杯=好好好”在上面的乘法算式中,不同的汉字表示不同的数字,相同的汉字表示相同的数字。那么“迎+春+杯+好”之和等于多少? 

1【解析】好好好=好×111=好×3×37，100以内37的倍数只有37和74，所以“迎杯”或“春杯”中必有1个是37或74，判断出“杯”是7或4。 若 杯=7，则好=9，999/37=27，所以，迎+春+杯+好=3+2+7+9=21 若 杯=4，则好=6，666/74=9，不是两位数，不符合题意 。迎+春+杯+好=3+2+7+9=21。

【例 9】电子数字如图所示，右图是由电子数字组成的乘法算式，但有一些模糊不清，请将右图的电子数字恢复，并将它写成横式形式：          

1【解析】⑴可以看出乘积的百位可能是2或8，由于被乘数的十位和乘数都不能是9，最大可能为8，所以它们的乘积不超过，故乘积的首位不能为8，只能为；⑵被乘数的十位和乘数要与图中相符，只能是、、或，首先可以排除，所以可能为2、6或8；⑶如果被乘数的十位是或，那么乘数无论是、或，都不可能乘出百位是的三位数．所以被乘数的十位是，相应得出乘数是；⑷被乘数应大于，可能为27、28或29，检验得到符合条件的答案： 

【巩固】电子数字0～9如图1所示，图2是由电子数字组成的乘法算式，但有一些已经模糊不清．请将图2的电子数字恢复，并将它写成横式：          ：

2【解析】设竖式如，那么各个字母可以代表的数如下表

【例 10】在方框中填入适当的数字，使得除法竖式成立．已知商为奇数，那么除数为          ：

【解析】先看除式的第二、三行，一个三位数减去一个两位数，得到一个一位数，可得这个三位数的前两位为1、0，这个两位数的十位数字为9，个位不能为0．除数是一个三位数，它与商的百位和个位相乘，所得的两个三位数的百位都是9，那么可得商的百位和个位相同．先将已得出的信息填入方框中，并用字母来表示一些方框中的数，如右图所示．由于商为奇数，所以是奇数，可能为1、3、7、9(不可能为5)．若为1，则，而为三位数，于是，又这个乘积的十位数字为0，而不能为0，矛盾．所以不为1；若为3，则，可能为1、4、7，相应的为304、314、324．当为314和324时所的结果的十位数字不可能为0，不合题意；若为304，则可能为1或2，经检验为1和2时都与竖式不符，所以也不能为3；若为7，则，只有时满足，此时，那么．经检验满足题意；若为9，则，只能为7，此时，则只能为1．经检验也不合题意．所以只有除数为136时竖式成立，所以所求的除数即为136． 

模块二、数阵图数表

【例 11】将填入下图的○中，使得任意两个相邻的数之和都不是，，的倍数．

【解析】根据题意可知的两边只能是与；的两边只能是与；3的两边只能是1、5或8；4的两边只能是7与9．可以先将3—1—7--写出来，接下来7的后面只能是4，4的后面只能是9，9的后面只能是2，2的后面只能是6，可得：3—1—7—4—9—2—6--，还剩下5和8两个数．由于是7的倍数，所以接下来应该是5，这样可得：3—1—7—4—9—2—6—5—8—3．检验可知这样的填法符合题意．

【例 12】将正整数从开始依次按如图所示的规律排成一个“数阵”，其中在第个拐角处，在第个拐角处，在第个拐角处，在第个拐角处，……．那么在第个拐角处的数是                  ．

【解析】我们可列表观察拐角处的数有什么特征

第个拐角： 

第个拐角： 

第个拐角： 

第个拐角： 

第个拐角： 

第个拐角： 

第个拐角： 

第个拐角： 

第个拐角： 

……

由此可知，第个拐角处的数等于

⑴（为奇数时）

⑵（为偶数时）

所以第100个拐角处的数为.

【例 13】一列自然数：，，，，……，，第一个数是，从第二个数开始，每一个都比它前一个大，最后一个是．现在将这列自然数排成以下数表规定横排为行，竖排为列，则在数表中位于第________行第________列。

【解析】观察可知第行的第个数是，第列的第个数是．由于，所以第行的第个数是，第列的第个数是．由于，所以在第行第列．

【例 14】下表一共有六行七列，第一行与第一列上的数都已填好，其他位置上的每个数都是它所在行的第一列上的数与所在列的第一行上的数的积，如格应填的数是，求表中除第一行和第一列外其它各个格上的数之和？

【解析】第二行上除去第一列的数的和为

第三行上除去第一列的数的和为，

……

最后一行除去第一列后所有数的和为．

将这些式子相加可得到所有要求的格子上的数的和为：

．

【巩固】将最小的个合数填到图中所示表格的个空格中，要求满足以下条件：

（1）入的数能被它所在列的第一个数整除

（2）最后一行中每个数都比它上面那一格中的数大。

那么，最后一行中个数的和最小是       

【解析】最小的个合数分别是，，，，，，，，，．这个合数当中和一定是在的下面，其中15在最后一行；、、、一定是在和下面，其中14一定在2的下面；剩下的、、、在或下面，其中一定在的下面，对和所在的列和和所在的列分别讨论．、、、，这四个数中最大的数一定在最后一行，最小的数一定在第二行，所以和所在的列中最后一行的数的和最小是，当、在下面，和在下面时成立；、、、，这四个数中最大的数一定在最后一行，最小的数一定在第二行，所以和所在的列中最后一行的数的和最小是，当和在下面，和在下面时成立．所以最后一行的个数的和最小是。

【例 15】如图，大、中、小三个正方形组成了8个三角形，现在把2、4、6、8四个数分别填在大正方形的四个顶点；再把2、4、6、8分别填在中正方形的四个顶点上；最后把2、4、6、8分别填在小正方形的四个顶点上．⑴能不能使8个三角形顶点上数字之和都相等？⑵能不能使8个三角形顶点上数字之和各不相同？如果能，请画图填上满足要求的数；如果不能，请说明理由．

【解析】⑴不能．如果这8个三角形顶点上数字之和都相等，设它们都等于．

考察外面的4个三角形，每个三角形顶点上的数的和是，在它们的和中，大正方形的2、4、6、8各出现一次，中正方形的2、4、6、8各出现二次，即．得到，但是三角形每个顶点上的数都是偶数，和不可能是奇数15，因此这8个三角形顶点上的数字之和不可能都相等．

⑵由于三角形3个顶点上的数字之和最小为，最大为，可能为6、8、10、……22、24，共有10个可能的值，而三角形只有8个，所以是有可能做到8个三角形的顶点上数字之和互不相同的．

根据对称性，不妨舍去这10个可能值的首尾两个，把剩下8个值(8、10、12、14、16、18、20、22)作为8个三角形的顶点上数字之和进行尝试，可以得到满足条件的填法，右上图就是一种填法．

模块三、数字迷竞赛选题

【例 16】请将1～12这12个自然数分别填入到右图的方框中，每个数只出现1次，使得每个等式都成立．

【解析】我们先从第三列入手，设这四个数从上到下依次为，，，，⑴，故，而，若，则不可能大于，所以只能为；⑵，由于，故，所以，即；⑶ 分析第三行，设第三行的前两个数分别为，，则.由于，而（已经被占用），故，而，则，所以，结合⑵可知只能为或;⑷ 若，则，有，，而此时（，已经分别被，占用），则，和题目条件矛盾；  若，则，有，或，.若，，则只能为，，则第四行中的被除数只能为（的倍数只剩下），第四行算式为，此时还余下，，，这四个数，而第一行中的两个加数的和为，不在这四个数当中，所以这种情况不成立，因此，，可得只能为，为，此时第四行中的被除数为偶数，只有和，经试验只能为，则第四行算式为（如被除数为则第四行算式为，而已被占用）⑸ 剩下的个数为，，，中只有和能满足第一行⑹ 最终的结果如下图所示.

【例 17】将，，，，，，，这八个数字分别填入右图的八个○中，使得图中的六个等式都成立．则_________

【解析】如图，用字母表示○中的数字，那么第三行的两个○中的数分别为和，第三列的两个○中的数分别为和，那么中的数为．由于八个○中的数之和为，而这八个数分别为，，，，，，，，所以，故中的数为．可见，不用知道每个○中的数具体是多少就可以求出中的数，但是我们还是应该求出八个○中的数具体是多少．因为只能等于或者，所以第三行的两个加数和第列的两个加数应分别为或，而又只能等于，相应地，只能分解为，即第一行和第二行的两个加数应分别为或，具体排列如右上图所示（填法不唯一）。

【巩固】下图中有五个正方形和个圆圈，将填入圆圈中，使得每个正方形四角上圆圈中的数字之和都相等．那么这个和是多少?

【解析】设每个正方形四角上圆圈中的数字之和为，则由个正方形四角的数字之和，相当于将1～12相加，再将中间四个圆圈中的数加两遍，可得：，解得，即这个和为26．具体填法如右上图。

【例 18】请将1，2，3，…，10这10个自然数填入图中的10个小圆圈内，使得图中的10条直线上圆圈内数字之和都相等．那么乘积         ？

【解析】对于本题，可以通过“10条直线上圆圈内数字之和都相等”(实际上是11条)这一等量关系，将每一个小圆圈中的数表示出来．由于每一条直线上的数之和都为，可得图中每一个小圆圈中的数如下图。

由于中间竖直方向的线段以及从左下角出发的只有两个数字的那条线段，它们的数字和都是，可以得到，，可得，代入得，即，只能是，，，则

【巩固】

【解析】设左下角的数为，每条直线上的三个数的和为．由于这11个数的和为．从左下角引出的条直线的总和为，其中左下角的数多计算了4次，则；又由三条横线及左下角引出的一条斜线上的数的总和可得．从而结合上面的两个式子可得，，即左下角的数为6，每条线上的数之和为18．再设大正方形其他三个圆圈上的数分别为，，，于是可得各个圆圈中的数如图所示．除6以外的10个数分别为：，，，，，，，，，．由于，得到，即．所以，只要选取适当的，，的值，使得上面的10个数各不相同即可．比如，选择，，，则可得到如右上图所示的一种填法．本题答案不唯一，下面再给出两种填法。

【例 19】如图的数阵是由个偶数排成的，其中，，，，，这六个数由一个平行四边形围住，它们的和是．把这个平行四边形沿上下、左右平移后，又围住了右边数阵中的另外六个数，如果这六个数的和是．那么它们中间位于平行四边形左上角的那个数是       ？

【解析】由于平行四边形的形状不改变，所以它移动后框住的6个数与原来的6个数相比，每个数都增加了同样的大小．由于六个数一共增加了，所以每个数增加了，那么第一个数就变为。

【例 20】（2001年第十届日本小学数学奥林匹克决赛）表中第1行是把的整数依次全部排列出来，然后从第2行起是根据规律一直排到最后的第100行.请问：这个表中一共有多少个数能被77整除？

【解析】在这个表里，有的数字的正下方写着比它大4的数.

假如，某数字是不能被77整除的数字，那么不管它被4乘多少回，也不能被77整除.于是我们得知不能被77整除的数字下面写的数字都不能被77整除.那么，如果某数字是可以被77整除，不管乘多少回4，得出的数字都可以被77整除.可被77整除的数字下面都可以被77整除.题目的表中从左右两边第N个的下面写着N个整数.表的第一行从右数第24个是77，在它下面写的24个整数都可以被77整除.另外，从左数第二行第38个是，所以在它下面写的38个整数都可以被77整除.在表的第一行和第二行里除此之外再没有可以被77整除的数了.从整个表来看，除了上述的个以外，再也没有可以被77整除的数了，所以答案为62.