几何五大模型之五(燕尾定理)

例题精讲

燕尾定理：

在三角形中，，，相交于同一点，

那么，

上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为和的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.

通过一道例题 证明燕尾定理： 

如右图，是上任意一点，请你说明：

【解析】三角形与三角形同高，分别以、为底，所以有；

三角形与三角形同高，；

三角形与三角形同高，，所以；

综上可得， . 

【例 1】（2009年第七届希望杯五年级一试试题）如图，三角形的面积是，是的中点，点在上，且，与交于点．则四边形的面积等于       ．

【巩固】如图，已知，，三角形的面积是，求阴影部分面积.

【巩固】如图，三角形的面积是， 在上，点在上，且,，与 交于点．则四边形的面积等于       ．

【巩固】如图，已知，，与相交于点,则被分成的部分面积各占 面积的几分之几？

【巩固】(年圣公会数学竞赛)如图所示，在中，，，与相交于点，若的面积为，则的面积等于        ．

【巩固】如图，三角形的面积是，，，与相交于点，请写出这部分的面积各是多少?

【巩固】如图，在上，在上，且,，与交于点．四边形的面积等于，则三角形的面积       ．

【巩固】三角形中，是直角，已知，，，，那么三角形(阴影部分)的面积为多少？

【巩固】如图，长方形的面积是平方厘米，，是的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米?

【例 2】如图所示，在四边形中，，，四边形的面积是，那么平行四边形的面积为________．

【例 3】是边长为厘米的正方形，、分别是、边的中点，与交于，则四边形的面积是_________平方厘米．

【例 4】如图，正方形的面积是平方厘米，是的中点，是的中点，四边形 的面积是_____平方厘米．

【例 5】如图所示，在中，，是的中点，那么        ． 

【巩固】在中，， ，求？

【巩固】在中，， ，求？

【例 6】（2009年清华附中入学测试题）如图，四边形是矩形，、分别是、上的点，且，，与相交于，若矩形的面积为，则与的面积之和为        ．

【例 7】如右图，三角形中，，，求．

【巩固】如右图，三角形中，，，求.

【巩固】如图，,,则      

【巩固】如右图，三角形中，，，求.

【例 8】(2008年“学而思杯”六年级数学试题)如右图，三角形中，，且三角形的面积是，则三角形的面积为______，三角形的面积为________，三角形的面积为______．

【巩固】 如右图，三角形中，，且三角形的面积是，求三角形的面积．

【巩固】(2009年第七届“走进美妙的数学花园”初赛六年级)如图，中，，，那么的面积是阴影三角形面积的        倍．

【巩固】如图在中，,求的值．

课后作业

1、如图，已知，，与相交于点,则被分成的部分面积各占 面积的几分之几？

2、两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示， 三个三角形的面积 分别是，，，则阴影四边形的面积是多少？

3、右图的大三角形被分成5个小三角形，其中4个的面积已经标在图中，那么，阴影三角形的面积是     ．

4、如图，三角形的面积是，，，与相交于点，请写出这部分的面积各是多少?

5、如右图，三角形中，，，求．