2019-2020学年人教A版重庆一中高一第一学期期末数学试卷 含解析

一、选择题

1．已知集合A＝{x|﹣1＜x≤2，x∈Z}，B＝{﹣1，0，1}，则A∪B＝（　　）

A．{0，1}    B．{﹣1，2}    C．{﹣1，0，1}    D．{﹣1，0，1，2}

2．已知函数f（x）＝ln（x+1）+x﹣2，在下列区间中，函数f（x）一定有零点的是（　　）

A．[0，1]    B．[1，2]    C．[2，3]    D．[3，4]

3．计算sin15°•sin105°的结果是（　　）

A．    B．    C．    D．

4．下列函数为奇函数的是（　　）

A．f（x）＝x3+3x2    B．f（x）＝2x+2﹣x    

C．    D．f（x）＝xsinx

5．要得到函数的图象，只需将函数y＝sinx的图象（　　）

A．把各点的横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位    

B．把各点的模坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位    

C．把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位    

D．把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位

6．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式是（　　）

A．f（x）＝2sin（2x+）    B．f（x）＝2sin（x+）    

C．f（x）＝2sin（2x+）    D．f（x）＝2sin（x+）

7．已知a＝log45，，c＝sin2，则a，b，c的大小关系是（　　）

A．b＜c＜a    B．c＜a＜b    C．a＜b＜c    D．c＜b＜a

8．已知函数f（x）＝m（x﹣2）+3，g（x）＝x2﹣4x+3，若对任意x1∈[0，4]，总存在x2∈[1，4]，使得f（x1）＞g（x2）成立，则实数m的取值范围是（　　）

A．（﹣2，2）    B．    C．（﹣∞，﹣2）    D．

9．已知函数y＝lg[（a2﹣1）x2﹣2（a﹣1）x+3]的值域为R，则实数a的取值范围是（　　）

A．[﹣2，1]    B．[﹣2，﹣1]    

C．（﹣2，1）    D．（﹣∞，﹣2）∪[1，+∞）

10．函数在区间上的图象大致为（　　）

A．    B．    

C．    D．

11．已知函数f（x）＝sinx•（sinx+cosx），给出以下四个命题：①f（x）的最小正周期为π；②f（x）在上的值域为[0，1]；③f（x）的图象关于点中心对称；④f（x）的图象关于直线对称．其中正确命题的个数是（　　）

A．1    B．2    C．3    D．4

12．已知函数，若存在实数x1，x2，x3，x4使得f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4）且x1＜x2＜x3＜x4，则的取值范围是（　　）

A．（14，17）    B．（14，19）    C．（17，19）    D．

二、填空题

13．已知cos2α＝，．则sinα＝　   　．

14．已知tanα＝﹣2，tan（α+β）＝，则tanβ的值为　   　．

15．若函数f（x）满足：在定义域D内存在实数x0，使得成立，则称函数f（x）为“1阶马格丁香小花花”函数．给出下列四个函数：①；②f（x）＝ex；③f（x）＝lg（x2+2）；④f（x）＝cosπx．其中是“1阶马格丁香小花花”函数的所有函数的序号是　   　．

16．定义在R上的函数f（x）满足f（x﹣2）是偶函数，且对任意x∈R恒有f（3﹣x）+f（x﹣1）＝2020，又f（﹣2）＝2019，则f（2020）＝　   　．

三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（1）若tanα＝3，求值：；

（2）计算：lg20﹣lg2+．

18．已知集合A＝{x|y＝lg（﹣x2+x+6）}，集合B＝{x|ax﹣x2＞0}．

（1）当a＝4时，求A∩B；

（2）若A∩B＝B，求实数a的取值范围．

19．已知函数．

（1）求；

（2）求f（x）的单调递增区间．

20．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）+b（ω＞0，﹣＜φ＜）相邻两对称轴间的距离为，若将f（x）的图象先向左平移个单位，再向下平移1个单位，所得的函数g（x）的为奇函数．

（1）求f（x）的解析式，并求f（x）的对称中心；

（2）若关于x的方程3[g（x）]2+m•g（x）+2＝0在区间[0，]上有两个不相等的实根，求实数m的取值范围．

21．定义二元函数F（x，y）＝（1+x）y，x∈（0，+∞），y∈R．如．已知二次函数g（x）过点（0，0），对x∈R成立．

（1）求g（﹣1）的值，并求函数g（x）的解析式；

（2）若函数h（x）＝g（2x+2﹣x）﹣22﹣x，求h（x）在x∈[0，1]上的值域．

22．已知定义在（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）的奇函数f（x）满足：①f（3）＝﹣1；②对任意x＞2，均有f（x）＜0；③对任意m，n＞0．均有f（m+1）+f（n+1）＝f（mn+1）．

（1）求f（2）的值；

（2）利用定义法证明f（x）在（1，+∞）上单调递减；

（3）若对任意，恒有f（sin2θ+（2k﹣3）（sinθ+cosθ）﹣k）≥﹣2，求实数k的取值范围．

参

一、选择题

1．已知集合A＝{x|﹣1＜x≤2，x∈Z}，B＝{﹣1，0，1}，则A∪B＝（　　）

A．{0，1}    B．{﹣1，2}    C．{﹣1，0，1}    D．{﹣1，0，1，2}

【分析】利用列举法表示集合A，再由并集运算得答案．

解：∵A＝{x|﹣1＜x≤2，x∈Z}＝{0，1，2}，B＝{﹣1，0，1}，

∴A∪B＝{﹣1，0，1，2}．

故选：D．

2．已知函数f（x）＝ln（x+1）+x﹣2，在下列区间中，函数f（x）一定有零点的是（　　）

A．[0，1]    B．[1，2]    C．[2，3]    D．[3，4]

【分析】根据函数零点的判定定理，把所给的区间的端点代入求出函数值，找出两个端点对应的函数值符号相反的区间，得到结果．

解：由于函数f（x）＝ln（x+1）+x﹣2，是连连续增函数，

f（1）＝ln2﹣1＜0，f（2）＝ln3＞0，

∴f（1）•f（2）＜0，

故函数f（x）＝ln（x+1）+x﹣2的零点在（ 1，2）内，

故选：B．

3．计算sin15°•sin105°的结果是（　　）

A．    B．    C．    D．

【分析】由题意利用诱导公式、二倍角的正弦公式，求得所给式子的值．

解：sin15°•sin105°＝sin15°•（﹣cos15°）＝﹣sin30°＝﹣，

故选：A．

4．下列函数为奇函数的是（　　）

A．f（x）＝x3+3x2    B．f（x）＝2x+2﹣x    

C．    D．f（x）＝xsinx

【分析】首先判断定义域是否关于原点对称，再计算f（﹣x）和f（x）的关系，即可判断奇函数．

解：对于A，f（x）＝x3+3x2，f（﹣x）＝﹣x3+3x2，f（﹣x）≠﹣f（x），f（x）不为奇函数；

对于B，f（x）＝2x+2﹣x，f（﹣x）＝2﹣x+2x，f（﹣x）＝f（x），f（x）为偶函数；

对于C，f（x）＝ln，定义域（﹣3，3）关于原点对称，f（﹣x）+f（x）＝ln+ln＝ln1＝0，

即有f（﹣x）＝﹣f（x），f（x）为奇函数；

对于D，f（x）＝xsinx，定义域为R，f（﹣x）＝﹣xsin（﹣x）＝xsinx＝f（x），f（x）为偶函数．

故选：C．

5．要得到函数的图象，只需将函数y＝sinx的图象（　　）

A．把各点的横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位    

B．把各点的模坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位    

C．把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位    

D．把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位

【分析】由题意利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．

解：只需将函数y＝sinx的图象各点的模坐标缩短到原来的倍，即可得到y＝sin2x的图象；

再把所得图象向右平移个单为，可得函数的图象，

故选：A．

6．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式是（　　）

A．f（x）＝2sin（2x+）    B．f（x）＝2sin（x+）    

C．f（x）＝2sin（2x+）    D．f（x）＝2sin（x+）

【分析】根据图象确定A，ω 和φ的值即可求函数的解析式

解：由图象知函数的最大值为2，即A＝2，

函数的周期T＝4（）＝2，

解得ω＝1，即f（x）＝2sin（x+φ），

由五点对应法知+φ＝π，

解得φ＝，

故f（x）＝2sin（x+），

故选：B．

7．已知a＝log45，，c＝sin2，则a，b，c的大小关系是（　　）

A．b＜c＜a    B．c＜a＜b    C．a＜b＜c    D．c＜b＜a

【分析】容易得出，从而可得出a，b，c的大小关系．

解：∵log45＞log44＝1，，，

∴b＜c＜a．

故选：A．

8．已知函数f（x）＝m（x﹣2）+3，g（x）＝x2﹣4x+3，若对任意x1∈[0，4]，总存在x2∈[1，4]，使得f（x1）＞g（x2）成立，则实数m的取值范围是（　　）

A．（﹣2，2）    B．    C．（﹣∞，﹣2）    D．

【分析】根据对任意的x1∈[0，4]，总存在x2∈[1，4]，使f（x1）＞g（x2）成立，由二次函数的值域求得可得g（x）的最小值，可得﹣1＜m（x﹣2）+3在x∈[0，4]恒成立，进而根据一次函数的单调性可得关于m的不等式组，解不等式组可得答案．

解：g（x）＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，

当x2∈[1，4]时，g（x2）∈[﹣1，3]，

则g（x2）的最小值为﹣1，

可得﹣1＜m（x﹣2）+3在x∈[0，4]恒成立，

则﹣1＜﹣2m+3，且﹣1＜2m+3，

解得m＜2，且m＞﹣2，

即﹣2＜m＜2，

故选：A．

9．已知函数y＝lg[（a2﹣1）x2﹣2（a﹣1）x+3]的值域为R，则实数a的取值范围是（　　）

A．[﹣2，1]    B．[﹣2，﹣1]    

C．（﹣2，1）    D．（﹣∞，﹣2）∪[1，+∞）

【分析】根据题意，应使对数函数的真数取到所有的正数，由此讨论真数的值域即可．

【解答】解；∵函数y＝lg[（a2﹣1）x2﹣2（a﹣1）x+3]的值域为R，

∴当a2﹣1＝0时，a＝1或a＝﹣1，验证a＝1时不成立；

当a2﹣1≠0时，

，

解得﹣2≤a＜﹣1；

综上，﹣2≤a≤﹣1，

∴实数a的取值范围是[﹣2，﹣1]．

故选：B．

10．函数在区间上的图象大致为（　　）

A．    B．    

C．    D．

【分析】化简f（x）的解析式，去掉绝对值，化f（x）为分段函数，再考查函数在每一段上的增减性即可．

解：当x∈（，1）时，f（x）＝tan（x）+（x﹣）﹣[（x﹣）﹣tan（x）]

＝2tan（x），函数单调递增；

当x∈[1，2）时，f（x）＝tan（x）+（x﹣）﹣[tan（x）﹣（x﹣）]

＝2（x﹣），函数单调递减；

即f（x）＝，

∴满足条件函数f（x）的图象是第一个；

故选：A．

11．已知函数f（x）＝sinx•（sinx+cosx），给出以下四个命题：①f（x）的最小正周期为π；②f（x）在上的值域为[0，1]；③f（x）的图象关于点中心对称；④f（x）的图象关于直线对称．其中正确命题的个数是（　　）

A．1    B．2    C．3    D．4

【分析】首先把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质的应用求出结果．

解：函数f（x）＝sinx（sinx+cosx）＝＝．

所以函数的最小正周期为T＝故①正确．

由于，所以，

所以，

所以0≤f（x）≤1，故②正确．

当x＝时，函数的值为，故f（x）的图象关于点中心对称；故③正确．

当x＝时，函数的值为，即函数的最大值，故④正确．

故选：D．

12．已知函数，若存在实数x1，x2，x3，x4使得f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4）且x1＜x2＜x3＜x4，则的取值范围是（　　）

A．（14，17）    B．（14，19）    C．（17，19）    D．

【分析】作出f（x）的函数图象，求出x1，x2，x3，x4的范围，根据对数函数的性质得出x1x2＝1，利用三角函数的对称性得出x3+x4＝12，代入式子化简得出关于x3的二次函数，根据x3的范围和二次函数的性质求出值域即可．

解：作出函数f（x）的图象如图所示：

因为存在实数x1，x2，x3，x4，满足x1＜x2＜x3＜x4，

且f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4），

∴＜x1＜1，1＜x2＜2，2＜x3＜4，8＜x4＜10，

∵﹣log2x1＝log2x2，∴log2＝log2x2，∴x1x2＝1，

∵y＝sin关于直线x＝6对称，∴x3+x4＝12，

∴＝（x3﹣1）（x4﹣1）+2x4﹣5x3

＝x3x4﹣6x3+x4+1

＝﹣x32+5x3+13＝﹣（x3﹣）2+，

令g（x3）＝﹣（x3﹣）2+，则g（x3）在（2，）是增函数，在（，4）递减，

∵g（2）＝19，g（4）＝17，g（）＝，

∴17＜g（x3）≤．

故选：D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，把最简答案写在答题卡相应位置上

13．已知cos2α＝，．则sinα＝　﹣　．

【分析】由题意利用二倍角的余弦公式，以及三角函数在各个象限中的符号，求得sinα的值．

解：∵cos2α＝＝1﹣2sin2α，，则sinα＜0，

求得sinα＝﹣，

故答案为：﹣．

14．已知tanα＝﹣2，tan（α+β）＝，则tanβ的值为　3　．

【分析】直接利用两角和的正切函数，求解即可．

解：tanα＝﹣2，tan（α+β）＝，

可知tan（α+β）＝＝，

即＝，

解得tanβ＝3．

故答案为：3．

15．若函数f（x）满足：在定义域D内存在实数x0，使得成立，则称函数f（x）为“1阶马格丁香小花花”函数．给出下列四个函数：①；②f（x）＝ex；③f（x）＝lg（x2+2）；④f（x）＝cosπx．其中是“1阶马格丁香小花花”函数的所有函数的序号是　②④　．

【分析】根据题意，由“1阶马格丁香小花花”函数的定义分析所给的四个函数，综合即可得答案．

解：根据题意，依次分析4个函数：

对于①，f（x）＝，若f（x）＝是“1阶马格丁香小花花”函数，

则方程＝+1有解，

方程＝+1变形可得x2+x+1＝0，该方程无实数解，所以函数f（x）＝不是“1阶马格丁香小花花”函数；

对于②，f（x）＝ex，其定义域为R，则方程ex+1＝ex+e有解，

方程ex+1＝ex+e，变形可得（e﹣1）ex＝e，解可得x＝ln，有解；

故函数f（x）＝ex是“1阶马格丁香小花花”函数；

对于③f（x）＝lg（x2+2），若存在x，使f（x+1）＝f（x）+f（1）

则lg[（x+1）2+2]＝lg（x2+2）+lg3

即2x2﹣2x+3＝0，而△＝4﹣24＝﹣20＜0，故方程无解．

故f（x）＝lg（x2+2）不是“1阶马格丁香小花花”函数；

对于④f（x）＝cosπx，存在x＝，使f（）＝cos＝f（）+f（1）即f（x+1）＝f（x）+f（1）成立，

故函数f（x）＝cosπx是“1阶马格丁香小花花”函数；

综合：②④是“1阶马格丁香小花花”函数；

故答案为：②④．

16．定义在R上的函数f（x）满足f（x﹣2）是偶函数，且对任意x∈R恒有f（3﹣x）+f（x﹣1）＝2020，又f（﹣2）＝2019，则f（2020）＝　1　．

【分析】运用偶函数的定义，将x换为﹣x，再根据∀x∈R，有f（3﹣x）+f（x﹣1）＝2014，得到f（x+4）+f（x﹣2）＝2014，得到函数f（x）的最小正周期为12，从而得到f（2020）＝2020﹣f（﹣2），从而可得结论

解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（x﹣2）是偶函数，

∴f（﹣x﹣2）＝f（x﹣2），

∵∀x∈R，有f（3﹣x）+f（x﹣1）＝2020，

∴f（4﹣x）+f（x﹣2）＝2020，

∴f（4﹣x）+f（﹣2﹣x）＝2020，

即f（x+4）+f（x﹣2）＝2020，

从而有f（x+6）+f（x）＝2020，f（x+12）+f（x+6）＝2020，

∴f（x+12）＝f（x），

即函数f（x）的最小正周期为12，

∴f（2020）＝f（12×168+4）＝f（4）＝2020﹣f（﹣2）＝1，

故答案为：1．

三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（1）若tanα＝3，求值：；

（2）计算：lg20﹣lg2+．

【分析】（1）运用诱导公式，同角三角函数基本关系式即可化简求值．

（2）利用对数的运算性质即可计算得解．

解：（1）∵tanα＝3，

∴＝＝＝＝﹣；

（2）lg20﹣lg2+

＝lg10+log33+log23×﹣2

＝1+1+2﹣2

＝2．

18．已知集合A＝{x|y＝lg（﹣x2+x+6）}，集合B＝{x|ax﹣x2＞0}．

（1）当a＝4时，求A∩B；

（2）若A∩B＝B，求实数a的取值范围．

【分析】（1）a＝4时，求出集合A，集合B，由此能求出A∩B．

（2）集合A＝{x|y＝lg（﹣x2+x+6）}＝{x|﹣2＜x＜3}，集合B＝{x|ax﹣x2＞0}＝{x|x（x﹣a）＜0}，A∩B＝B，从而B⊆A，由此能求出实数a的取值范围．

解：（1）a＝4时，集合A＝{x|y＝lg（﹣x2+x+6）}＝{x|﹣2＜x＜3}，

集合B＝{x|4x﹣x2＞0}＝{x|0＜x＜4}．

∴A∩B＝{x|0＜x＜3}．

（2）∵集合A＝{x|y＝lg（﹣x2+x+6）}＝{x|﹣2＜x＜3}，

集合B＝{x|ax﹣x2＞0}＝{x|x（x﹣a）＜0}，A∩B＝B，

∴B⊆A，

当B＝∅时，a＝0，

当B≠∅时，﹣2≤a＜0或0＜a≤3

综上，实数a的取值范围[﹣2，3]．

19．已知函数．

（1）求；

（2）求f（x）的单调递增区间．

【分析】（1）先利用三角函数公式化简函数f（x），再代入求值即可；

（2）由（1）知f（x）＝，再利用正弦函数的图象即可求出f（x）的单调递增区间．

解：（1）∵

＝sin2x+1﹣cos2x

＝

＝，

∴＝sin+1＝；

（2）由（1）知f（x）＝，

∴令﹣，（k∈Z），得：，

∴f（x）的单调递增区间为[]（k∈Z）．

20．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）+b（ω＞0，﹣＜φ＜）相邻两对称轴间的距离为，若将f（x）的图象先向左平移个单位，再向下平移1个单位，所得的函数g（x）的为奇函数．

（1）求f（x）的解析式，并求f（x）的对称中心；

（2）若关于x的方程3[g（x）]2+m•g（x）+2＝0在区间[0，]上有两个不相等的实根，求实数m的取值范围．

【分析】（1）由周期求得ω，由函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得g（x）＝sin（2x++φ）+b﹣1，再根据g（x）的为奇函数求得φ和b的值，可得f（x）和g（x）的解析式以及f（x）的对称中心．

（2）由（1）可得 g（x）＝sin2x，由题意可得可得关于t的方程 3t2+m•t+2＝0在区间（0，1）上有唯一解．再利用二次函数的性质求得m的范围．

解：（1）由题意可得＝＝，∴ω＝2，f（x）＝sin（2x+φ）+b，

∴g（x）＝sin[2（x+）+φ]+b﹣1＝sin（2x++φ）+b﹣1．

再结合函数g（x）的为奇函数，可得+φ＝kπ，k∈z，且b﹣1＝0，

再根据﹣＜φ＜，可得φ＝﹣，b＝1，∴f（x）＝sin（2x﹣）+1，g（x）＝sin2x．

令2x﹣＝nπ，n∈z，可得 x＝+，∴f（x）的对称中心（+，1）．

（2）由（1）可得 g（x）＝sin2x，在区间[0，]上，2x∈[0，π]，

令t＝g（x），则t∈[0，1]．

由关于x的方程3[g（x）]2+m•g（x）+2＝0在区间[0，]上有两个不相等的实根，

可得关于t的方程 3t2+m•t+2＝0在区间（0，1）上有唯一解．

令h（t）＝3t2+m•t+2，∵h（0）＝2＞0，则满足h（1）＝3+m+2＜0，或，

求得m＜﹣5，或 m＝﹣2．

21．定义二元函数F（x，y）＝（1+x）y，x∈（0，+∞），y∈R．如．已知二次函数g（x）过点（0，0），对x∈R成立．

（1）求g（﹣1）的值，并求函数g（x）的解析式；

（2）若函数h（x）＝g（2x+2﹣x）﹣22﹣x，求h（x）在x∈[0，1]上的值域．

【分析】（1）根据定义可得2g（﹣1）＝＝2﹣4，所以g（﹣1）＝﹣4，进而a＝b﹣4，再由﹣（3x2+1）≤ax2+bx≤6x+2对x∈R成立．整理可得a，b的值；

（2）h（x）整理得﹣2（2x﹣2﹣x）2+2（2x﹣2﹣x）﹣8，换元配方即可

解：（1）因为对x∈R成立．

所以x＝﹣1时，≤2g（﹣1）≤4﹣2，即有2g（﹣1）＝＝2﹣4，所以g（﹣1）＝﹣4

设g（x）＝ax2+bx（a≠0），则g（﹣1）＝a﹣b＝﹣4，即a＝b﹣4，

又因为对x∈R成立．

即≤2g（x）≤26x+2，则﹣（3x2+1）≤ax2+bx≤6x+2对x∈R成立．

则对x∈R，（a+3）x2+bx+1≥0恒成立，所以a+3≥0，△＝b2﹣4（a+3）≤0

同时对x∈R，ax2+（b﹣6）x﹣2≤0恒成立，所以a＜0，△＝（b﹣6）2+8a≤0，

代入a＝b﹣4得（b﹣2）2≤0，所以b＝2，则a＝﹣2，

故g（x）＝﹣2x2+2x；

（2）函数h（x）＝g（2x+2﹣x）﹣22﹣x＝﹣2（2x+2﹣x）2+2（2x+2﹣x）﹣4•2﹣x＝﹣2（2x+2﹣x）2+2（2x﹣2﹣x）

＝﹣2[（2x﹣2﹣x）2+4]+2（2x﹣2﹣x）＝﹣2（2x﹣2﹣x）2+2（2x﹣2﹣x）﹣8，

令t＝2x﹣2﹣x，因为x∈[0，1]，所以t∈[0，]，

h（t）＝﹣2t2+2t﹣8＝﹣2（t﹣）2﹣，则h（t）∈[﹣，﹣]

22．已知定义在（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）的奇函数f（x）满足：①f（3）＝﹣1；②对任意x＞2，均有f（x）＜0；③对任意m，n＞0．均有f（m+1）+f（n+1）＝f（mn+1）．

（1）求f（2）的值；

（2）利用定义法证明f（x）在（1，+∞）上单调递减；

（3）若对任意，恒有f（sin2θ+（2k﹣3）（sinθ+cosθ）﹣k）≥﹣2，求实数k的取值范围．

【分析】（1）由条件③f（m+1）+f（n+1）＝f（mn+1）对任意m，n＞0均成立，可令m＝n＝1，即可解得f（2）＝0；

（2）由（Ⅰ），将f（m+1）+f（n+1）＝f（mn+1）变形得f（mn+1）﹣f（n+1）＝f（m+1），设x2＝mn+1，x1＝n+1，其中m，n＞0，m＞1，利用②③即证得结论成立；

（3）利用赋值法，结合题意可求得f（x）≥﹣2的解为：1＜x≤5或x≤﹣，再结合函数的单调性脱去函数符号“f”，得到1＜sin2θ+（2k﹣3）（sinθ+cosθ）﹣k≤5，或sin2θ+（2k﹣3）（sinθ+cosθ）﹣k≤﹣，再通过构造函数，利用分类讨论、等价转化等思想方法正确分析、运算即可求得实数k的取值范围．

解：（1）由条件③f（m+1）+f（n+1）＝f（mn+1）知，

令m＝n＝1得：f（2）+f（2）＝f（2），

故得f（2）＝0．

（2）由（1）将f（m+1）+f（n+1）＝f（mn+1）变形得：

f（mn+1）﹣f（n+1）＝f（m+1），

设x2＝mn+1，x1＝n+1，其中m，n＞0，m＞1，

则x2﹣x1＝n（m﹣1）＞0，故x2＞x1，

则f（x2）﹣f（x1）＝f（mn+1）﹣f（n+1）＝f（m+1），m＞1，m+1＞2，

由②对任意x＞2，均有f（x）＜0可知，

f（m+1）＜0，

即f（x2）﹣f（x1）＜0，

所以f（x2）＜f（x1），

即f（x）在（1，+∞）上为减函数；

（3）由（1）知f（2）＝0，而f（x）为奇函数，

又f（3）＝﹣1，对任意m，n＞0，f（m+1）+f（n+1）＝f（mn+1），

所以f（2+1）+f（2+1）＝f（2×2+1）＝f（5），即f（5）＝﹣2①．

再令m＝4，n＝，则f（4+1）+f（+1）＝f（4×+1）＝f（2）＝0，

所以f（5）＝﹣f（）＝f（﹣）＝﹣2②

由①②可知，f（x）≥﹣2的解为：1＜x≤5或x≤﹣．

于是，f（sin2θ+（2k﹣3）（sinθ+cosθ）﹣k）≥﹣2

⇔1＜sin2θ+（2k﹣3）（sinθ+cosθ）﹣k≤5，或sin2θ+（2k﹣3）（sinθ+cosθ）﹣k≤﹣．

令t＝sinθ+cosθ＝sin（θ+），

θ∈[﹣，0]⇒∈[﹣，]⇒sin（θ+）∈[﹣1，1]，即t∈[﹣1，1]，

又sin2θ＝t2﹣1，

故sin2θ+（2k﹣3）（sinθ+cosθ）﹣k＝t2﹣（2k﹣3）t﹣k﹣1，

令g（t）＝t2﹣（2k﹣3）t﹣k﹣1（﹣1≤t≤1），

则1＜g（t）≤5或g（t）≤﹣．

先分析：1＜g（t）≤5（﹣1≤t≤1），即，

对于③，∀t∈[﹣1，1]，t2﹣（2k﹣3）t﹣k﹣1≤5⇔，解得﹣≤t≤8③′；

对于④，∀t∈[﹣1，1]，t2﹣（2k﹣3）t﹣k﹣1＞1，即∀t∈[﹣1，1]，t2﹣（2k﹣3）t﹣k﹣2＞0．

令h（t）＝t2﹣（2k﹣3）t﹣k﹣2，

分三类讨论：

1°当≤﹣1，即k≤时，h（t）在区间[﹣1，1]上单调递增，由h（t）min＝h（﹣1）＝1+（2k﹣3）﹣k﹣2＞0得：k＞4，与k≤矛盾，即此时k∈∅；

2°当≥1，即k≥时，h（t）在区间[﹣1，1]上单调递减，由h（t）min＝h（1）＝1﹣（2k﹣3）﹣k﹣2＞0得：k＜，与k≥矛盾，即此时k∈∅；

3°当﹣1＜＜1，即＜k＜时，h（t）在区间[﹣1，1]上的最小值为h（），由h（t）min＝h（）＝﹣[（2k﹣3）×]﹣k﹣2＞0整理得：4k2﹣8k+17＜0，此不等式无解，即此时k∈∅；

即对于④，∀t∈[﹣1，1]，t2﹣（2k﹣3）t﹣k﹣1＞1中的实数k∈∅；

综上所述，∀t∈[﹣1，1]，1＜g（t）≤5，即1＜（sin2θ+（2k﹣3）（sinθ+cosθ）﹣k）≤5中的k∈∅；

再分析g（t）≤﹣，即，

即，

解得：≤k≤．

综上所述，实数k的取值范围为[，]．