2008年陕西省中考数学试题及答案

第I卷（选择题  共30分）

一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分，每小题只有一个选项是符合题意的）

1、零上13℃记作+13℃，零下2℃可记作           （        ）

A．2      B．－2     C． 2℃      D．－2℃

2、如图，这个几何体的主视图是                 （        ）

3、一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶7，这个三角形一定是（       ）

  A．直角三角形  B．等腰三角形   C．锐角三角形   D．钝角三角形

4、把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是   （       ）

5、在“爱的奉献”抗震救灾大型募捐活动中，文艺工作者积极向灾区捐款。其中8位工作者的捐款分别是5万，10万，10万，10万，20万，20万，50万，100万。这组数据的众数和中位数分别是                                          （       ）

A．20万、15万  B．10万、20万  C．10万、15万   D．20万、10万

6、如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（    ）

  A．AB=CD     B．AD=BC    C．AB=BC     D．AC=BD

7、方程的解是            （         ）

  A．      B． 

  C．     D． 

8、如图，直线AB对应的函数表达式是  （         ）

  A．         B．  

C．         D． 

9、如图，直线AB与半径为2的⊙O相切于点C，D是⊙O上一点，

且∠EDC＝30°，弦EF∥AB，则EF的长度为     （      ）

  A．2   B．  C．   D． 

10、已知二次函数（其中a＞0，b＞0，c＜0），

  关于这个二次函数的图象有如下说法：

   ①图象的开口一定向上；②图象的顶点一定在第四象限；

   ③图象与x轴的交点至少有一个在y轴的右侧。

 以上说法正确的个数为           （        ）

 A．0      B．1       C．2      D．3

第II卷（非选择题  共90分）

二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分）

11、若∠α＝43°，则∠α的余角的大小是           。

12、计算：·＝             。

13、一个反比例函数的图象经过点P（－1，5），则这个函数

的表达式是                。

14、如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝45°，则点D

  的坐标为                  。

15、搭建如图①的单顶帐篷需要17根钢管，这样的帐篷按图②、图③的方式串起来搭建，则串7顶这样的帐篷需要      根钢管。

16、如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC＋∠BCD＝90°

   且DC＝2AB，分别以DA、AB、BC为边向梯形外作

正方形，其面积分别为、、，则、、之间

的关系是                   。

三、解答题（共9小题，计72分。解答应写出过程）

17、（本题满分6分）

先化简，再求值：

，其中a＝－2，b＝

18、（本题满分6分）

已知：如图，B、C、E三点在同一条直线上，AC∥DE，

AC＝CE，∠ACD＝∠B

求证：△ABC≌△CDE

19、（本题满分7分）

   下面图①、图②是某校调查部分学生是否知道母亲生日情况的扇形和条形统计图：

根据上图信息，解答下列问题：

（1）求本次被调查学生的人数，并补全条形统计图；

（2）若全校共有2700名学生，你估计这所学校有多少名学生知道母亲的生日？

（3）通过对以上数据的分析，你有何感想？（用一句话回答）

20、（本题满分7分）

   阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不易到达），他们带了以下测量工具：皮尺、标杆、一副三角尺、小平面镜。请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案。

   （1）所需的测量工具是：                                      ；

   （2）请在下图中画出测量示意图；

   （3）设树高AB的长度为x，请用所测数据（用小写字母表示）求出x.

21、（本题满分8分）

  如图，桌面上放置了红、黄、蓝三个不同颜色的杯子，杯子口朝上，我们做蒙眼睛翻杯子（杯口朝上的翻为杯口朝下，杯口朝下的翻为杯口朝上）的游戏。

  （1）随机翻一个杯子，求翻到黄色杯子的概率；

  （2）随机翻一个杯子，接着从这三个杯子中再随机翻一个，请利用树状图求出此时恰好有一个杯口朝上的概率。

22、（本题满分8分）

生态公园计划在园内的坡地上造一片有A、B两种树的混合林，需要购买这两种树苗

2000棵。种植A、B两种树苗的相关信息如下表：

设购买A种树苗x棵，造这片林的总费用为y元。解答下列问题：

（1）写出y（元）与x（棵）之间的函数关系式；

（2）假设这批树苗种植后成活1960棵，则造这片林的总费用需多少元？

23、（本题满分8分）

   如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，CB＝12，AD是△ABC的角平分线，过A、C、D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE。

  （1）求证：AC＝AE；

  （2）求△ACD外接圆的半径。

24、（本题满分10分）

  如图，矩形ABCD的长、宽分别为和1，且OB＝1，点E（，2），连接AE、ED。

  （1）求经过A、E、D三点的抛物线的表达式；

  （2）若以原点为位似中心，将五边形AEDCB放大，使放大后的五边形的边长是原五边形对应边长的3倍，请在下图网格中画出放大后的五边形A′E′D′C′B′；

  （3）经过A′、E′、D′三点的抛物线能否由（1）中的抛物线平移得到？请说明理由。

25、（本题满分12分）

某县社会主义新农村建设办公室，为了解决该县甲、乙两村和一所中学长期存在的饮水困难问题，想在这三个地方的其中一处建一所供水站，由供水站直接铺设管道到另外两处。

如图，甲、乙两村坐落在夹角为30°的两条公路的AB段和CD段（村子和公路的宽均不计），点M表示这所中学。点B在点M的北偏西30°的3km处，点A在点M的正西方向，点D在点M的南偏西60°的km处。

为使供水站铺设到另两处的管道长度之和最短，现有如下三种方案：

方案一：供水站建在点M处，请你求出铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小值；

方案二：供水站建在乙村（线段CD某处），甲村要求管道铺设到A处，请你在图①中，画出铺设到点A和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值；

方案三：供水站建在甲村（线段AB某处），请你在图②中，画出铺设到乙村某处和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值。

综上，你认为把供水站建在何处，所需铺设的管道最短？

2008年陕西省中考数学试题答案及评分标准

第I卷

一、选择题：

   1D  2A   3D   4C   5C  6D  7A   8A  9B  10C

二、填空题：

   11、47°     12、       13、     14、（2＋，）

   15、83       16、＝＋

三、解答题：

  17、解：原式＝…………………………（1分）

              ＝……………………（2分）

              ＝＝……………………（3分）

              ＝         ……………………（4分）

        当a＝－2，b＝时，

原式＝  ……………………（6分）

18、证明：∵AC∥DE， 

          ∴∠ACD＝∠D，∠BCA＝∠E   …………………（2分）

        又∵∠ACD＝∠B，

          ∴∠B＝∠D               ……………………（4分）

又∵AC＝CE，

∴△ABC≌△CDE        ……………………（6分）

19、解：（1）∵30÷＝90（名）

           ∴本次调查了90名学生。………………………………（2分）

           补全的条形统计图如下：

                                       ………………………………（4分）

   （2）∵2700×＝1500（名）

∴估计这所学校有1500名学生知道母亲的生日。…………………（6分）

   （3）略（语言表述积极进取，健康向上即可得分）。………………… （7分）

20、解：（1）皮尺、标杆。         ………………………………（1分）

       （2）测量示意图如图所示。………………………………（3分）

      （3）如图，测得标杆DE＝a，

树和标杆的影长分别为AC＝b，EF＝c   ……………………（5分）

           ∵△DEF∽△BAC

           ∴

           ∴

           ∴     ……………………………………（7分）

21、解：（1）P（翻到黄色杯子）＝  …………………………（3分）

       （2）将杯口朝上用“上”表示，杯口朝下用“下”表示，画树状图如下：

     由上面树状图可知：所有等可能出现的结果共有9种，其中恰好有一个杯口朝上的有6种， …………………………………………………………（7分）  

     ∴P（恰好有一个杯口朝上）＝   ………………………………（8分）

22、解：（1）y＝（15＋3）x＋（20＋4）（2000－x）＝－6x＋48000……………（3分）

       （2）由题意，可得：0.95x＋0.99（2000－x）＝1960

                     ∴   x＝500          …………………………（5分）

           当x＝500时，y＝－6×500＋48000＝45000

            ∴造这片林的总费用需45000元。 …………………………（8分）

23、（1）证明：∵∠ACB＝90°，

              ∴AD为直径。       …………………………（1分）

又∵AD是△ABC的角平分线，

∴，∴ 

∴AC＝AE         …………………………（3分）

  （2）解：∵AC=5，CB=12，

∴AB=

∵AE=AC=5，∴BE=AB-AE=13-5=8

∵AD是直径，∴∠AED=∠ACB=90°

∵∠B=∠B，∴△ABC∽△DBE………………………（6分）

∴，∴ DE＝

∴AD＝

∴△ACD外接圆的半径为   …………………（8分）

24、解：（1）设经过A、E、D三点的抛物线的表达式为y＝

            ∵A（1，），E（，2），D（2，）…………………（1分）

            ∴，   解之，得

∴过A、E、D三点的抛物线的表达式为y＝。………（4分）

（2）

E′

D′

A′

C′

B′

                                                     …………………（7分）

       （3）不能，理由如下：                 …………………（8分）

           设经过A′、E′、D′三点的抛物线的表达式为y＝

            ∵A′（3，），E′（，6），D′（6，）

            ∴，   解之，得

           ∵a＝－2，，     ∴a≠a′

∴经过A′、E′、D′三点的抛物线不能由（1）中的抛物线平移得到。…（8分）

25、解：方案一：由题意可得：MB⊥OB，

               ∴点M到甲村的最短距离为MB。…………………（1分）

∵点M到乙村的最短距离为MD，

∴将供水站建在点M处时，管道沿MD、MB线路铺设的长度之和最小，

即最小值为MB+MD=3+ （km）…………………（3分）

      方案二：如图①，作点M关于射线OE的对称点M′，则MM′＝2ME，

连接AM′交OE于点P，PE∥AM，PE＝。

∵AM＝2BM＝6，∴PE＝3          …………………（4分）

在Rt△DME中，

∵DE＝DM·sin60°＝×＝3，ME＝＝×，

∴PE＝DE，∴ P点与E点重合，即AM′过D点。…………（6分）

在线段CD上任取一点P′，连接P′A，P′M，P′M′，

则P′M＝P′M′。

∵A P′＋P′M′＞AM′，

∴把供水站建在乙村的D点处，管道沿DA、DM线路铺设的长度之和最小，

即最小值为AD＋DM＝AM′＝…………（7分）

方案三：作点M关于射线OF的对称点M′，作M′N⊥OE于N点，交OF于点G，

交AM于点H，连接GM，则GM＝GM′

∴M′N为点M′到OE的最短距离，即M′N＝GM＋GN

在Rt△M′HM中，∠MM′N＝30°，MM′＝6，

∴MH＝3，∴NE＝MH＝3

∵DE＝3，∴N、D两点重合，即M′N过D点。

在Rt△M′DM中，DM＝，∴M′D＝…………（10分）

在线段AB上任取一点G′，过G′作G′N′⊥OE于N′点，

连接G′M′，G′M，

显然G′M＋G′N′＝G′M′＋G′N′＞M′D

∴把供水站建在甲村的G处，管道沿GM、GD

线路铺设的长度之和最小，即最小值为

GM＋GD＝M′D＝。 …………（11分）

综上，∵3＋＜，

∴供水站建在M处，所需铺设的管道长度最短。   …………（12分）

本文录入校对：西安市第五十中学郭新运。  gxy999@gmail.com