沪科版八年级上 第14章《全等三角形》单元测试卷(含解析)

（温馨提示：本卷满分150分，答题时间120分钟）

一、选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）

1．如图，△ACB ≌△A ′CB ′，∠BCB ′=30°，则∠ACA ′的度数为（　　）

　A

．

20°

B ．

30°

C ．

35°

D ．

40°

(第1题)

(第2题)

(第4题)

2．如图，△ABC ≌△DEF ，BE =4，AE =1，则DE 的长是（　　）　A ．

5B ．

4

C ．

3

D ．

2

3．用两个全等的三角形一定不能拼出的图形是（　　）　A ．

等腰三角形B ．

直角梯形

C ．

菱形

D ．

矩形

4．如图所示，△ABC ≌△AEF ，AB =AE ，∠B =∠E ，有以下结论：

①AC =AE ；②∠FAB =∠EAB ；③EF =BC ；④∠EAB =∠FAC ，其中正确的个数是（　　）　A ．

1个B ．

2个

C ．

3个

D ．

4个

5．我们把两个能够完全重合的图形称为全等图形，则下列命题中真命题是（　　）　A ．

有一条边长对应相等的两个矩形是全等图形　B 有一个内角对应相等的两个菱形是全等图形

．

　C ．

有两条对角线对应相等的两个矩形是全等图形　D ．

有两条对角线对应相等的两个菱形是全等图形6．如图，方格纸中有四个相同的正方形，则∠1+∠2+∠3为（　　）　A ．

90°B ．

120°

C ．

135°

D ．

150°

7．下列各组图形中，是全等形的是（　　）

　A

．

一个钝角相等的两个等腰三角形B

．两个含60°的直角三角形

　C ．边长为3和5的两个等腰三角形

D ．

腰对应相等的两个直角三角形

(第6题)

(第8题)

(第9题)

8．如图，已知AE =CF ，∠AFD =∠CEB ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF ≌△CBE 的是（　　）　A ．

∠A =∠C B ．

AD =CB

C ．

BE =DF

D ．

AD ∥BC

9．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC =∠BOC 的依据是（　　）　A ．SSS B ．ASA

　C ．

AAS D ．

角平分线上的点到角两边距离相等

10．如图，AE ⊥AB 且AE =AB ，BC ⊥CD 且BC =CD ，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S 是（　　）

　A

．

50

B ．

62

C ．

65

D ．

68

(第10题)

(第11题)

(第12题)

二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

11．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，AD 与BE 相交于点F ，若

BF =AC ，则∠ABC =　_____度．

12．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =10，BC =5，线段PQ =AB ，P ，Q 两点分别在AC 和过点A 且垂直于AC 的射线AO 上运动，当AP =　_________　时，△ABC 和△PQA 全等．

13．直角三角形全等的判定方法有　_________　．

14．如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线．已知AC =5，AD =4，则AB 的取值范围是　_________　．

三．解答题（共9小题，满分90分）15．如图，AB =AE ，∠1=∠2，∠C =∠D ．

求证：△ABC ≌△AED ．

16．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E．AD⊥CE于点D．求证：△BEC≌△CDA．

17．如图，已知点E，C在线段BF上，BE=CF，AB∥DE，∠ACB=∠F．求证：△ABC≌△DEF．

18．已知：如图，AB=AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足为E．求证：AD=AE．

19．如图，AC=AD，∠BAC=∠BAD，点E在AB上．

（1）你能找出　_________　对全等的三角形；

（2）请写出一对全等三角形，并证明．

20．如图，把一个直角三角形ACB（∠ACB=90°）绕着顶点B顺时针旋转60°，使得点C 旋转到AB边上的一点D，点A旋转到点E的位置．F，G分别是BD，BE上的点，BF=BG，延长CF与DG交于点H．

（1）求证：CF=DG；（2）求出∠FHG的度数．

21．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在边BC上，且∠GDF=∠ADF．

（1）求证：△ADE≌△BFE；

（2）连接EG，判断EG与DF的位置关系并说明理由．

22．在数学课上，林老师在黑板上画出如图所示的图形（其中点B、F、C、E在同一直线上），并写出四个条件：①AB=DE，②BF=EC，③∠B=∠E，④∠1=∠2．

请你从这四个条件中选出三个作为题设，另一个作为结论，

组成一个真命题，并给予证明．

题设：　_________　；结论：　_________　．（均填写序号）

证明：

23．如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，

∠B=∠E=30°．

（1）操作发现

如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：

①线段DE与AC的位置关系是　_________　；

②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是　________　．

（2）猜想论证

当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．（3）拓展探究

已知∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，BD=CD=4，DE∥AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA上存在点F，使S△DCF=S△BDE，请直接写出相应的BF的长．

参与试题解析

一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）

题号123456710答案B A B B D C D B A A 解析：

1．解：∵△ACB≌△A′CB′

∴∠ACB=∠A′CB′

即∠ACA′+∠A′CB=∠B′CB+∠A′CB，

∴∠ACA′=∠B′CB，

又∠B′CB=30°

∴∠ACA′=30°．

故选B．

2．解：∵△ABC≌△DEF

∴DE=AB

∵BE=4，AE=1

∴DE=AB=BE+AE=4+1=5

故选A．

3．解：用两个全等的直角三角形就能拼出等腰三角形，A可以；

如图两个全等的正三角形就可以拼出菱形，C可以；

两个全等的直角三角形时就可以拼出矩形，D可以；

不管用什么形状的两个全等的三角形不管怎样也拼不出直角梯形．

故选B．

4．解：∵△ABC≌△AEF，AB=AE，∠B=∠E

∴EF=BC，∠EAF=∠BAC

∴∠EAB+∠BAF=∠FAC+∠BAF

即∠EAB=∠FAC

AC与AE不是对应边，不能求出二者相等，也不能求出∠FAB=∠EAB

∴①、②错误，③、④正确

故选B．

5．解：A、有一条边长对应相等的两个矩形是全等图形，命题不正确，故本选项错误；

B、有一个内角对应相等的两个菱形是全等图形，命题不正确，故本选项错误；

C、有两条对角线对应相等的两个矩形是全等图形，命题不正确，故本选项错误；

D、两条对角线对应相等的两个菱形是全等图形，是真命题，故本选项正确．

故选D．

6．

解：∵，

∴△ACB≌△BDE，

∠1所在的三角形与∠3所在的三角形全等，

∴∠1+∠3=90°，

又∠2=45°，

∴∠1+∠2+∠3=135°．

故选：C．

7．解：A、不能确定边长相等，故本选项错误；

B、不能确定边长相等，故本选项错误；

C、边长为3和5的两个等腰三角形不能确定那个边为腰，故本选项错误；

D、腰对应相等的两个直角三角形一定是全等三角形，故本选项正确．

故选D．

8．解：∵AE=CF，

∴AE+EF=CF+EF，

∴AF=CE，

A、∵在△ADF和△CBE中

∴△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项错误；

B、根据AD=CB，AF=CE，∠AFD=∠CEB不能推出△ADF≌△CBE，错误，故本选

项正确；

C、∵在△ADF和△CBE中

∴△ADF≌△CBE（SAS），正确，故本选项错误；

D、∵AD∥BC，

∴∠A=∠C，

∵在△ADF和△CBE中

∴△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项错误；

故选B．

9．解：连接NC，MC，

在△ONC和△OMC中

，

∴△ONC≌△OMC（SSS），

∴∠AOC=∠BOC，

故选A．

10．解：∵AE⊥AB且AE=AB，EF⊥FH，BG⊥FH⇒∠EAB=∠EFA=∠BGA=90°，∠EAF+∠BAG=90°，∠ABG+∠BAG=90°⇒∠EAF=∠ABG，

∴AE=AB，∠EFA=∠AGB，∠EAF=∠ABG⇒△EFA≌△ABG

∴AF=BG，AG=EF．

同理证得△BGC≌△DHC得GC=DH，CH=BG．

故FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16

故S=（6+4）×16﹣3×4﹣6×3=50．

故选A．

二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）11．　45　

解：∵AD⊥BC于D，BE⊥AC于E

∴∠EAF+∠AFE=90°，∠DBF+∠BFD=90°，

又∵∠BFD=∠AFE（对顶角相等）

∴∠EAF=∠DBF，

在Rt△ADC和Rt△BDF中，

，

∴△ADC≌△BDF（AAS），

∴BD=AD，

即∠ABC=∠BAD=45°．

故答案为：45

12．　5或10　

解：当AP=5或10时，△ABC和△PQA全等，

理由是：∵∠C=90°，AO⊥AC，

∴∠C=∠QAP=90°，

①当AP=5=BC时，

在Rt△ACB和Rt△QAP中

∴Rt△ACB≌Rt△QAP（HL），

②当AP=10=AC时，

在Rt△ACB和Rt△PAQ中

∴Rt△ACB≌Rt△PAQ（HL），故答案为：5或10．

13．　HL，AAS，SAS，ASA．SSS．　．

解：直角三角形全等的判定除了HL外，其它四种方法也适用，所以直角三角形全等的判定方法有HL，AAS，SAS，ASA．SSS．故填：HL，AAS，SAS，ASA．SSS．

14．　3＜AB＜13　．

解：延长AD到E，使DE=AD，连接CE，

则AE=2AD=2×4=8，

∵AD是BC边上的中线，

∴BD=CD，

∵在△ABD和△ECD中，

，

∴△ABD≌△ECD（SAS），

∴CE=AB，

又∵AC=5，

∴5+8=13，8﹣5=3，

∴3＜CE＜13，

即AB的取值范围是：3＜AB＜13．

故答案为：3＜AB＜13．

　三．解答题（共9小题，满分90分）

15．证明：∵∠1=∠2，

∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC，

即∠BAC=∠EAD，

∵在△ABC和△AED中，

，

∴△ABC≌△AED（AAS）．

16．证明：∵BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，

∴∠BEC=∠CDA=90°，

在Rt△BEC中，∠BCE+∠CBE=90°，

在Rt△BCA中，∠BCE+∠ACD=90°，

∴∠CBE=∠ACD，

在△BEC和△CDA中，∠BEC=∠CDA，∠CBE=∠ACD，BC=AC，∴△BEC≌△CDA．

17．证明：∵AB∥DE，

∴∠B=∠DEF．

∵BE=CF，

∴BC=EF．

∵∠ACB=∠F，

∴，

∴△ABC≌△DEF（ASA）．

18．证明：∵AB=AC，点D是BC的中点，

∴∠ADB=90°，∵AE⊥EB，

∴∠E=∠ADB=90°，

∵AB平分∠DAE，

∴∠1=∠2；

在△ADB和△AEB中，

∴△ADB≌△AEB（AAS），

∴AD=AE．

19．解：（1）△ABC≌△ABD（SAS），△BCE≌△BED，△ACE≌△AED，故有3对．

（2）△ABC≌△ABD，

证明：在△ABC和△ABD中，

，

∴△ABC≌△ABD（SAS）．

20．（1）证明：∵在△CBF和△DBG中，

，

∴△CBF≌△DBG（SAS），

∴CF=DG；

（2）解：∵△CBF≌△DBG，∴∠BCF=∠BDG，

又∵∠CFB=∠DFH，

∴∠DHF=∠CBF=60°，

∴∠FHG=180°﹣∠DHF=180°﹣60°=120°．

21．（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADE=∠BFE，

∵E为AB的中点，∴AE=BE，

在△AED和△BFE中，

，

∴△AED≌△BFE（AAS）；

（2）解：EG与DF的位置关系是EG⊥DF，

理由为：连接EG，

∵∠GDF=∠ADE，∠ADE=∠BFE，

∴∠GDF=∠BFE，

由（1）△AED≌△BFE得：DE=EF，即GE为DF上的中线，∴GE垂直平分DF．

22．情况一：题设：①②③；结论：④．

证明：∵BF=EC，

∴BF+CF=EC+CF，

即BC=EF．

在△ABC和△DEF中，

∴△ABC≌△DEF（SAS），

∴∠1=∠2；

情况二：题设：①③④；结论：②．

证明：在△ABC和△DEF中，

∵，

∴△ABC≌△DEF（AAS），

∴BC=EF，

∴BC﹣FC=EF﹣FC，

即BF=EC；

情况三：题设：②③④；结论：①．

证明：∵BF=EC，

∴BF+CF=EC+CF，

即BC=EF，

在△ABC和△DEF中，

，

∴△ABC≌△DEF（ASA），

∴AB=DE．

23．解：（1）①∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上，

∴AC=CD，

∵∠BAC=90°﹣∠B=90°﹣30°=60°，

∴△ACD是等边三角形，

∴∠ACD=60°，

又∵∠CDE=∠BAC=60°，

∴∠ACD=∠CDE，

∴DE∥AC；

②∵∠B=30°，∠C=90°，

∴CD=AC=AB，

∴BD=AD=AC，

根据等边三角形的性质，△ACD的边AC、AD上的高相等，

∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S1=S2；

故答案为：DE∥AC；S1=S2；

（2）如图，∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到，

∴BC=CE，AC=CD，

∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°﹣90°=90°，

∴∠ACN=∠DCM，

∵在△ACN和△DCM中，

，

∴△ACN≌△DCM（AAS），

∴AN=DM，

∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S1=S2；

（3）如图，过点D作DF1∥BE，易求四边形BEDF1是菱形，

所以BE=DF1，且BE、DF1上的高相等，此时S△DCF=S△BDE，

过点D作DF2⊥BD，

∵∠ABC=60°，

∴∠F1DF2=∠ABC=60°，

∴△DF1F2是等边三角形，

∴DF1=DF2，

∵BD=CD，∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，∴∠DBC=∠DCB=×60°=30°，

∴∠CDF1=180°﹣30°=150°，

∠CDF2=360°﹣150°﹣60°=150°，

∴∠CDF1=∠CDF2，

∵在△CDF1和△CDF2中，

，

∴△CDF1≌△CDF2（SAS），

∴点F2也是所求的点，

∵∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，DE∥AB，

∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=×60°=30°，

又∵BD=4，

∴BE=×4÷cos30°=2÷=，

∴BF1=，BF2=BF1+F1F2=+=，故BF的长为或．