全称量词与存在量词教学设计

天津市第二十五中学  李智钢

一、内容和内容解析

1.内容

全称量词与存在量词、全称量词命题与存在量词命题否定．

本单元内容可分2课时完成：第1课时，全称量词和存在量词；第2课时，全称量词命题与存在量词命题的否定. 也可以先把“两种量词及含有其中一种量词的命题的否定”一气呵成地学完，再进行练习等深化理解．

2.内容解析

命题是可以判断真假的陈述句．在数学中，一些含有变量的陈述句，由于不知道变量代表什么数，无法判断真假，因此他们不是命题．但是如果在原语句的基础上，用一个短语对变量的取值范围进行限定，就可以使它们成为一个命题，我们把这样的短语成为量词．

大量而丰富的数学实例中可以发现有两类短语可以起到限定变量范围的作用：“所有的”“对任意一个”这类短语叫做全称量词，用符号“”表示．“存在一个”“至少有一个” 这类短语叫做存在量词，用符号“”表示．含有全称量词的命题叫做全称量词命题．全称量词命题“对任意一个，成立”，可用符号简记为“”．含有存在量的命题，叫做存在量词命题．存在量词命题“存在任意一个，成立”可用符号简记为“”．这样就得到了含有一个量词的两种命题的符号表示． 

在学习了命题之后，对命题的否定的研究同样重要，一个命题和它的否定只能是一真一假．判断含有一个量词的两种命题真假的一般方法为：如果对集合中每一个，都成立，那么“”为真命题；如果在集合中存在一个，使得不成立，那么“”为假命题；如果在集合中存在一个，使得成立，那么“”为真命题；如果对集合中每一个，都不成立，那么“”为假命题．

全称量词命题和存在量词命题的否定是本单元要继续研究的，它们的否定更能体现两种命题之间的关联性．全称量词命题“”是假命题，那么就说明存在反例，也就是说不成立，也就是说，“”与“”是一真一假的关系，从而验证了的否定是“”，即全称量词命题的否定是存在量词命题．同样地，如果判断一个存在量词命题“”是假命题，也就是说，不存在成立，说明对所有的不成立，即“”成立，进而说明了“”的否定是“”，即存在量词命题的否定是全称量词命题．

熟悉了全称量词命题和存在量词命题的形式，并能够判断其真假，这样就使命题形式更加丰富，能够更精准和更高效地表达数学问题和结论，使数学表达和交流更具严谨性和准确性．对全称量词命题和存在量词命题的否定，体现了它们之间的相互既对立又统一的关系，一方面“所有”的否定是“不是所有”，就是存在反例，另一方面“存在”的否定是不存在，就是“都不”，这两者之间的逻辑关系非常有助于处理很多数学问题，会对今后的学习起到重要的作用．

另外引入了新的数学符号“”“”“”，以及特定命题的数学符号表示：；；；.鼓励学生多使用符号语言，对数学内容进行表达，体会其简洁、准确的特点.从而培养学生能够准确地运用符号语言表达数学内容的良好习惯．

基于以上分析，确定本单元的教学重点：全称量词和存在量词的意义、使用存在量词对全称量词命题进行否定，使用全称量词对存在量词命题进行否定．

二、目标和目标解析

1.目标

（1）通过学过的数学实例，理解全称量词的意义，学会判断全称量词命题的真假；

（2）通过学过的数学实例，理解存在量词的意义，学会判断存在量词命题的真假；

（3）通过学过的数学实例，理解全称量词命题的否定是存在量词命题和存在量词命题的否定是全称量词命题的规律；

（4）初步使用量词、否定等符号进行数学表达、论证和交流，提升逻辑推理素养．

2.目标解析

达成上述目标的标志是：

（1）通过对一些含有变量的陈述句的梳理，能够认识全称量词和全称量词命题，能够掌握对全称量词命题的真假性的判断方法，即判断全称量词命题为真命题，需要对每一个变量，语句都成立；判断为假命题，只需要找到个使语句不成立的变量．

（2）通过对一些含有变量的陈述句的梳理，能够认识存在量词和存在量词命题，能够掌握对存在量词命题的真假性判断的方法，即判断存在量词命题为真命题，只需要找到一个或证明存在使语句成立的变量；判断为假命题，需要证明对每一个变量，语句都不成立．

（3）通过引入对一个数学命题进行否定，可以得到一个新的命题，称为原命题的否定，举例体会一个命题和它的否定只能一真一假的规律.通过对数学中一些简单的含有一个量词的全称量词命题和存在量词命题进行否定，分析得到新命题的特点，引导学生归纳出全称量词命题和存在量词命题的否定的一般形式，体会如何正确的使用存在量词对全称量词命题进行否定，以及如何正确使用全称量词对存在量词命题进行否定．加深全称量词命题的否定是存在量词命题和存在量词命题的否定是全称量词命题的规律理解．

（4）通过一些熟知的数学事实，改写成含有一个量词的命题，并对其进行否定或者加以证明，体会符号语言表达数学内容的准确性、简洁性，引导学生在今后的数学学习中，自觉地运用符号语言表达数学内容，交流数学对象．

三、教学问题诊断分析

学生初中学习过一些含有全称量词和存在量词的命题，例如“平面内垂直于同一条直线的两条直线平行”，等，通过本节课可以将其归纳并用确定的符号表示出来．学生学习的难点在于判断一个命题是否为含有量词的命题，所以在教学过程中需要注意帮助学生提炼语句中的量词，并更多地把自然语句转化成标准的全称量词命题和存在量词命题形式的语句．由于在之前的学习过程中学习过的数学定理、规律、公式基本上都对所有变量都成立的命题，所以学生理解全称量词命题并判断真假并不困难，相对而言，存在量词命题是对部分变量甚至是唯一变量成立的，不常以结论形式出现，在学生之前的学习过程中出现得相对较少，学生掌握起来稍有难度，学生对命题中不同的存在量词的识别上以及对存在量词命题的真假性判断中都有可能出现理解的障碍，所以在存在量词命题的教学中可以更多的举例分析，帮助学生找到量词，并锻炼学生将自然语言语句向逻辑语言语句转化的能力．存在性问题是一类重要的数学问题，通过本节中对存在量词命题的学习和研究，学生能够更好的理解和掌握存在性问题的处理方法．

对两种命题的否定，应多从逻辑上进行引导，可以借助真假性加以引导判断，这样更容易接受，否定全称量词命题，将否定放到语句的哪个位置，学生是需要思考和判断的．学生很容易出现的错误就是把作为全称量词命题的否定形式．例如，命题“所有的矩形都是平行四边形”容易错误的否定为“所有的矩形都不是平行四边形”，那么在教学过程中就需要借助举例子并判断真假来说明，如果全称量词命题是假命题，那么说明存在一个反例，强调“并非都是”是否定全称量词命题的关键点．最终通过逻辑推理，确定它的否定形式应是将全称量词转化为存在量词，并将后面的语句进行否定，即“”，也就是说，“都是”的反面不是“都不是”，而是“存在不是的”．同样，对于存在量词命题的否定也需要深刻理解，学生经常会忽视量词的转換而仅仅去否定语句，如果不能充分引导，那么就无法培养好学生的逻辑思维和转化思想．通过举例子帮助学生思考辨析“存在量词”在语句中的作用，要否定“存在成立的”，就需要说明是“不存在成立的”，也就是“都不成立”，需要让学生充分理解这个逻辑上的转换．这样在学生对于这两种命题的否定充分理解之后，让学生能够通过归纳总结出含有一个量词的命题的否定需要“改量词，否结论”，逻辑推理和等价转化上也同时能得到提高．

本节课的教学难点是判断全称量词命题和存在量词命题的真假，正确地写出含有一个量词的全称量词命题和存在量词命题的否定．

四、教学过程设计

1.5.1  全称量词与存在量词

（一）概念的引入

问题1：阅读教科书第26页“思考”，关于思考中的4个语句哪些是命题？说明理由？

师生活动：学生判断（1）~（4）是否为命题，教师根据学生情况，可以选择以下问题进行追问．

追问：含有变量的语句一定是命题吗?（1）（2）不是命题的原因？（3）（4）是命题的原因？

师生活动：学生思考追问中的问题、讨论交流．

设计意图：通过师生对话交流，复习初中所学命题的概念．使学生初步认识到在数学中，含有变量的陈述句不一定都能够判断真假，从而不一定都是命题．命题中的变量是否具备明确的限定范围是决定其是否能成为命题的关键． 

（二）概念的形成

问题2：在教科书第26页“思考”中的4个语句，比较（1）和（3），（2）和（4），它们之间有什么关系？

师生活动：学生判断（1）~（4）是否为命题，教师根据学生情况，可以选择以下问题进行追问．

追问：（1）比较（1）和（3），它们之间有什么关系？又有什么区别？

（2）比较（2）和（4），它们之间有什么关系？又有什么区别？

师生活动：学生思考追问中的问题、讨论交流．

教师引导学生梳理讨论交流的结果，语句（1）（2）中含有变量，由于不知道变量代表什么数，无法判断它们的真假，所以它们不是命题．语句（3）在（1）的基础上，用短语“所有的”对变量进行限定；语句（4）在（2）的基础上，用短语“任意一个”对变量进行限定，从而使（3）（4）成为可以判断真假的语句，因此语句（3）（4）是命题．

设计意图：通过对比两组含有变量的语句能否判断真假，突出了两个短语“所有的”“任意一个”的作用，激发学生对这类短语的兴趣，由此引出全称量词的概念、符号以及全称量词命题的概念．

短语“所有的”“任意一个”在逻辑上通常叫做全称量词，并用符号“”表示，常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等，含有全称量词的命题叫做全称量词命题．

（三）概念的深化

问题3：你能再举出几个全称量词命题的例子吗？通过这些例子能否写出全称量词命题的一般形式？

师生活动：学生思考，举例，讨论交流．

教师选取学生的举例板书，引导学生梳理、完善讨论交流的结果，并运用符号语言简洁、准确地表达出全称量词命题的一般形式．

设计意图：教师引导学生通过多举一些数学例子加深对全称量词命题的认识，通过引入符号表述全称量词命题，使学生体会到用符号语言表达数学内容的准确性、简洁性．

（四）概念的巩固应用

例1  判断下列全称量词命题的真假：

（1）所有的素数都是奇数；

（2）；

（3）对任意一个无理数x，x2也是无理数．

师生活动：学生判断，教师给出解答示范，然后根据学生情况逐次提出以下问题进行追问．

追问：（1）如何判断一个全称量词命题为真命题？

 （2）如何说明一个全称量词命题为假命题？

师生活动：学生思考，讨论交流．

教师引导学生梳理讨论交流的结果，自主归纳总结出要判断全称量词命题“”是真命题，需要对集合中每一个元素，证明成立；如果在集合中找到一个元素，使不成立，那么这个全称量词命题就是假命题．

设计意图：通过三个数学实例介绍全称量词命题真假的判断法方法，使学生理解全称量词的意义，会判断全称量词命题的真假．

（五）概念的形成

问题5：阅读教科书第27页“思考”，关于思考中的4个语句，哪些是命题？为什么？

师生活动：学生判断（1）~（4）是否为命题，教师根据学生情况，可以选择以下问题进行追问．

追问：（1）比较（1）和（3），它们之间有什么关系？又有什么区别？

（2）比较（2）和（4），它们之间有什么关系？又有什么区别？

师生活动：学生思考追问中的问题、讨论交流．

教师引导学生梳理讨论交流的结果，语句（1）（2）中含有变量，由于不知道变量代表什么数，无法判断它们的真假，所以它们不是命题．语句（3）在（1）的基础上，用短语“存在一个”对变量进行限定；语句（4）在（2）的基础上，用短语“至少有一个”对变量进行限定，从而使（3）（4）成为可以判断真假的语句，因此语句（3）（4）是命题．

设计意图：通过对比两组含有变量的语句能否判断真假，突出了两个短语“存在一个”“至少有一个”的作用，激发学生对这类短语的兴趣，由此引出存在量词的概念、符号以及存在量词命题的概念．

 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑上通常叫做存在量词，并用符号“”表示，常见的全称量词还有“有些”“有一个”“对某些”“有的”等，含有存在量词的命题叫做存在量词命题．

（六）概念的深化

问题6：你能再举出几个存在量词命题的例子吗？通过这些例子能否写出存在量词命题的一般形式？

师生活动：学生思考，举例，讨论交流．

教师选取学生的举例板书，引导学生梳理、完善讨论交流的结果，并运用符号语言简洁、准确地表达出存在量词命题的一般形式．

设计意图：教师引导学生通过多举一些数学例子加深对存在量词命题的认识，通过引入符号表述全称量词命题，使学生体会到用符号语言表达数学内容的准确性、简洁性．

（七）概念的巩固应用

问题7：请同学们思考：对给定的存在量词命题，如何判断它的真假呢？

    例2  判断下列存在量词命题的真假：

   （1）有一个实数，使；

   （2）平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线；

   （3）有些平行四边形是菱形．

师生活动：学生判断，教师给出解答示范，然后根据学生情况逐次提出以下问题进行追问．

追问：（1）如何判断一个存在量词命题为真命题？

     （2）如何说明一个存在量词命题为假命题？

师生活动：学生思考，讨论交流．

教师引导学生梳理讨论交流的结果，自主归纳总结出要判断存在量词命题是真命题，只需要在集合中找到一个元素，使成立即可；如果在集合中，使成立的元素不存在，那么这个存在量词命题就是假命题．

设计意图：通过三个数学实例介绍存在量词命题真假的判断法方法，使学生理解存在量词的意义，会判断存在量词命题的真假．

1.5.2全称量词命题和存在量词命题的否定

（一）概念的引入

问题1：一般地，对一个命题进行否定就会得到一个新的命题，这一新命题称为原命题的否定．你能快速准确地对生活中或数学中的一些词语进行否定吗？

生活中   数学中（文字表述） 

 对（ 错 ）  有（ 无 ）   集  合 属于（不属于）包含（不包含）

 是（否或非） 真（ 假 ）   等  式 相等（不相等） 

 曲（ 直 ） 善（ 恶 ）  不等式 大于（不大于或小于等于） 

 成（ 败 ） 美（ 丑 ）  方  程 有解（无解） 

几  何 点在原点（点不在原点） 

数学中（符号表示） 

 集  合  ∈（  ）   (    ）   不等式  ＞ （  ≤  ）

等  式  ＝（ ≠ ）    几  何  (0,0)（(x,0),(0,y),( x, y))

师生活动：学生思考，口头回答，教师纠正．

追问：（1）生后中词语的否定是什么意思？

（2）大于的否定是小于吗？（3）全都如何进行否定？

师生活动：学生思考，交流讨论，通过对生活中及数学中若干词语的否定，体会否定的含义．    

设计意图：教师与学生共同归纳总结：由生活中词语的否定有“取反”的意思，过渡到数学中词语的否定往往可以添加“不”或者“无”等常用否定词．体会否定与“取反”的联系．感受数学来源于生活高于生活，感受数学符号作为数学语言在表达上的简洁。

问题2：举例说明一个命题和它的否定之间是怎样的真假关系呢？

例如 命题p 命题的否定p  

56是7的倍数 ；  56不是7的倍数 ； 

   是集合A={1,2}的真子集；   不是集合A={1,2}的真子集；

师生活动：学生思考，举出数学实例，交流讨论．    

追问： 如何对命题否定？命题和命题的否定有怎样的真假关系？

师生活动：教师与学生共同归纳总结：一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假．

设计意图： 从学生熟悉的简单命题出发，进一步体会添加常见的否定词“不”字的作用．归纳总结命题和命题的否定的真假相反关系．

问题3：你能否从集合运算的角度或物理电路的角度再解释一下否定的含义呢？

师生活动：学生回忆已学的集合运算的知识，以及物理电路的知识，对命题与命题否定真假关系的“对立性”含义加以解释．    

设计意图： 从学生熟悉的知识出发，借助前面集合知识，物理学科电路知识进行分析深刻理解命题和命题的否定的真假相反关系．

（二）概念的形成

问题4：对于命题p:“所有的学生都戴眼镜”有两种否定方式：

生甲：“并非所有的学生都戴眼镜”

生乙：“所有的学生都不戴眼镜”你觉得哪种否定说法正确？为什么？

师生活动：学生思考，交流讨论，作出判断说明理由.

追问：能否从命题与命题的否定的真假关系角度思考，给出正确的判断？

师生活动：学生分析命题及两种命题的否定的真假，结合二者真假关系，给出正确的判断.

设计意图： 从学生熟悉的情境出发，引入全称量词命题的否定问题．通过命题及命题的否定的真假关系帮助同学们认识到正确的否定方式．为后续探究全称量词命题否定的符号表示做铺垫． 

问题5：阅读教科书第29页“探究”，写出全称量词命题的否定，总结它们与原命题在形式上有什么变化？．

师生活动：学生尝试写出命题（1）~（3）的否定，教师根据学生情况，可以选择以下问题进行追问．

追问：（1）如何否定？“能否换一种说法”，“也就是说”

（2）全称量词命题的否定是什么命题？从形式角度上看命题和它的否定有哪些

改变？

师生活动：学生回答，教师订正，并给出全称量词命题的否定形式．

设计意图：从学生熟悉的具体命题出发，通过分析全称量词命题如何否定，引入全称量词命题的否定形式．

例3  写出下列全称量词命题的否定：

（1）所有能被3整除的整数都是奇数；

（2）每一个四边形的四个顶点在同一个圆上；

（3）对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3.

师生活动：学生回答，教师给出解答示范．

设计意图：让学生通过探究栏目得到的结论，正确地使用存在量词对全称量词命题进行否定．

问题6：阅读教科书第30页“探究”，写出存在量词命题的否定，总结它们与原命题在形式上有什么变化？

师生活动：学生尝试写出命题（1）~（3）的否定，教师根据学生情况，可以选择以下问题进行追问．

追问：（1）如何否定？“能否换一种说法”，“也就是说”

（2）全称量词命题的否定是什么命题？从形式角度上看命题和它的否定有哪些

改变？

师生活动：学生回答，教师订正，并给出全称量词命题的否定形式．

设计意图：让学生通过探究栏目得到的结论，正确地使用全称量词对存在量词命题进行否定．

例4  写出下列存在量词命题的否定：

（1）x∈R，x+2≤0；

（2）有的三角形是等边三角形；

（3）有一个偶数是素数．

师生活动：学生回答，教师给出解答示范．

设计意图：让学生通过探究栏目得到的结论，正确地使用全称量词对存在量词命题进行否定．

（四）概念的巩固应用

例5  写出下列命题的否定，并判断真假：

（1）任意两个等边三角形都相似； 

（2）x∈R，x2－x＋1=0.

师生活动：学生分析题意，给出解题思路．教师根据学生情况，可以就以下问题进行追问．然后在学生回答的基础上进行板书示范．

追问：（1）三角形相似的判定定理是？如何判段存在量词命题为假命题？

（2）解一元二次方程的实根方法？如何证明全称量词命题为真命题？

设计意图：在推理之前，明确证明思路，分清条件和结论很重要；这个题目的推理过程略有难度，需要教师的引导和书写规范的证明过程．

（五）单元小结、布置作业

教师引导学生回顾本单元所学知识，并引导学生回答下面的问题：

（1）请用结构框图表示本节所学的知识．

（2）如何否定含有一个量词的全称量词命题和存在量词命题？你能举例说明吗？

设计意图：梳理、总结、归纳提炼本单元的核心内容和方法．

布置作业：教科书习题1.5第1，2，3，4题．

五、目标检测设计

教材p35复习参考题1，复习巩固7．

7.写出下列命题的否定，并判断它们的真假：

（1） a∈R，一元二次方程x2-ax-1=0有实根；

（2） 每个正方形都是平行四边形；

（3） ；

（4） 存在一个四边形ABCD，其内角和不等于．

设计意图：考查学生是否会对含有一个量词的命题进行否定，以及是否会判断全称量词命题、存在量词命题的真假．