2020高考数学复习专题34 极化恒等式(原卷版)

极化恒等式专题知识梳理

1.公式推导()()()()

222222222142a b a ab b ab a b a b a b a ab b ⎫+=++⎪⎡⎤⇒=+--⎬⎢⎥⎣⎦⎪-=-+⎭

在△ABC 中，D 是边BC 的中点，则22AB AC AD DB =-

.如图，由

()()

222222111222AB AC AB AC AB AC AD CB AD DB ⎡⎤⎡⎤⎛⎫ =+--=-=- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭ 得证.类比初中的“完全平方和”与“完全平方差公式”。

2.几何意义向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14

。考点探究

【例1】如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA →·CA →＝4，BF →·CF →＝－1

则BE →·CE →的值是____．

【例2】如图，在同一平面内，点A 位于两平行直线m ，n 的同侧，且A 到m ，n 的距离分别为1，3，点B ，

C 分别在m ，n 上，|AB →＋AC →|＝5，则AB →·AC →的最大值是___．

题组训练

1.如图，在平面四边形ABCD 中，O 为BD 的中点，且OA ＝3，OC ＝5，若AB →·AD →＝－7，则BC →·DC →的值是

____．

2.在△ABC 中，M 是边BC 的中点AM ＝3，BC ＝10，AB →·AC →＝____．

3.在△ABC 中，点E ，F 分别是线段AB ，AC 的中点，点P 在直线EF 上，若△ABC 的面积为2，则PB →·PC →＋

BC →2的最小值是____．

4.在△ABC 中，已知AB ＝1，AC ＝2，∠A ＝60°，若点P 满足AP →＝AB →＋λAC →，且BP →·CP →＝1，则实数λ的值为___

5.在半径为1的扇形AOB 中，

∠AOB ＝60°，C 为弧上的动点，AB 与OC 交于点P ，则OP →·BP →的最小值是____．6.已知AB 为圆O 的直径，M 为圆O 的弦CD 上一动点，8AB =，6CD =，则MA MB ⋅ 的取值范围是▲．

7.如图，在四边形ABCD 中，4AC = ，12BA BC ⋅= ，E 为AC 的中点.（1）若12cos 13ABC ∠=

，求ABC ∆的面积ABC S ∆；（2）若2BE ED = ，求DA DC ⋅ 的值.

8.如图，在ABC ∆中，已知4,6,60AB AC BAC ==∠=︒，点,D E 分别在边,AB AC 上，且2,3AB AD AC AE == ，若F 为DE 的中点，则BF DE 的值为________.

9.（2019·苏州模拟）如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，60BCD ∠=︒，CB CD ==.

若点M 为边BC 上的动点，则AM DM uuur uuu u r ⋅的最小值为▲．

10.在△ABC 中，已知AB =，3C π=，则CA CB 的最大值为.

11.在ABC ∆中，点,E F 分别是线段,AB AC 的中点，点P 在直线EF 上，若ABC ∆的面积为2，则2PB PC BC + 的最小值是_____________.