平面向量教案

一、向量的相关定义

1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量。一般用或表示。

2.有向线段：带有方向的线段叫有向线段。有向线段包括起点、方向、长度。所以向量可以用有向线段来表示。

3.模的定义：向量的长度叫向量的模，记作.

4.零向量：长度为零的向量。零向量的方向是任意的。零向量和任意一个向量的方向平行。

5.单位向量：长度为1个单位长度的向量。 

6.相等向量：长度相等方向相同的向量叫做相等向量。

7.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。

8.平行向量（共线向量）：方向相等或相反的向量，叫平行向量。由于平行向量可以自由平移到一条直线上，所以平行向量又叫共线向量。共线向量不一定在一条直线上。

二、向量的运算

1.运算法则

例1.如图所示，D是△ABC的边AB的中点，则向量＝

A.         B.

C.           D

例2.如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则(　　)

A.    

B. 

C.

D.

例3.若a＋b＋c＝0，则a、b、c                                  (　　)

A.都是非零向量时也可能无法构成一个三角形

B.一定不可能构成三角形

C.都是非零向量时能构成三角形

D.一定可构成三角形

练习：

1.已知O为△ABC内一点，且则△AOC与△ABC的面积之比是(　　) 

A.1∶2　　　　　　　　B.1∶3        C.2∶3                 D.1∶1

2.已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足

则点P与△ABC的关系为                                                 (　　)

A.P在△ABC内部             B.P在△ABC外部

C.P在AB边所在直线上        D.P是AC边的一个三等分点

2.向量的数乘

1）定义：求实数与向量的乘积的运算叫向量的数乘，记作。

2）向量的数乘结果还是一个向量。

当时，与的方向相同，且；

当时，与的方向相反，且。

3）结论

①向量共线定理:如果向量为非零的向量，那么向量与向量共线有且只有一个实数，使得；

②三点共线

③向量表示与向量方向相同的单位向量。

例1.设a、b是不共线的两个非零向量,

(1)若=a-3b,求证:A、B、C三点共线;

(2)若8a+kb与ka+2b共线,求实数k的值.

解:(1)证明:∵(3a+b)-(2a-b)=a+2b.

而=(a-3b)-(3a+b)=-2a-4b=-2

∴与共线,且有公共端点B,

∴A、B、C三点共线.[.Com]

(2)∵8a+kb与ka+2b共线,

存在实数λ使得8a+kb=λ(ka+2b) (8-λk)a+(k-2λ)b=0,

∵a与b是不共线的两个非零向量,

∴⇒8＝2λ2⇒λ＝±2，

∴k＝2λ＝±4.

3.向量的数量积

1）向量的夹角： 

2)投影：在上的“投影”的概念：叫做向量在上的“投影”， 向量在向量上的投影，它表示向量在向量上的投影对应的有向线段的数量。它是一个实数，可以是正数，可以是负数，也可以是零。

3）平面向量的数量积（内积）

平面向量的数量积（内积）的定义：已知两个非零的向量与，它们的夹角是，则数量||||叫与的数量积，记作·，即有·=||||。

例1.已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________．

三、向量的坐标

1、平面向量基本定理  

如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使得，不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

2、平面向量的坐标表示

在直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量作为基底。由平面

向量的基本定理知，该平面内的任意一个向量可表示成，由于与数对是一一对应的，因此把叫做向量的坐标，记作，其中叫作在轴上的坐标，叫作在轴上的坐标，规定

（1）相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量。

（2）向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位

置有关系。

3.平面向量的坐标运算

(1)设=,=，则=.

(2)设=,=，则=.  

(3)设， ,则.

(4)设=，则=.

（5）设=则

（6）设=,=， 

（7）

4.两向量的位置关系

1）设=,=， 

2）设=,=，则||（斜乘相减等于零）

3）共线： 

热点题型

一、向量的共线问题

例1.已知 ，当k为何值时， 与 平行？平地时它们是同向还是反向？

例2.若平行四边形ABCD中，点A(1，-2),点B(2,3),点C（-1，-3），求点D的坐标

二、向量的夹角、垂直问题

例1.已知|a|＝2，|b|＝，a与b的夹角为45°，要使λb－a与a垂直，则λ＝________.

例2.已知都是非零向量，且与垂直，与垂直，求向量的夹角

三、有关向量模的计算

例1.已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________．

四、与三角函数的综合应用

例1. 已知，求的最大值

例2.已知，且

（1）用k表示数量积

（2）求的最小值，并求出此时与的夹角