数学立体几何多选题试题含答案

一、立体几何多选题

1．如图，正方体中的正四面体的棱长为2，则下列说法正确的是（ ）

A．异面直线与所成的角是

B．平面

C．平面截正四面体所得截面面积为

D．正四面体的高等于正方体体对角线长的

【答案】ABD

【分析】

选项A，利用正方体的结构特征找到异面直线所成的角；选项B，根据正方体和正四面体的结构特征以及线面垂直的判定定理容易得证；选项C，由图得平面截正四面体所得截面面积为面积的四分之一；选项D，分别求出正方体的体对角线长和正四面体的高，然后判断数量关系即可得解.

【详解】

A：正方体中，易知，异面直线与所成的角即直线与所成的角，即，为等边三角形，，正确；

B：连接，平面，平面，即，又，，有平面，平面，所以，同理可证：，，所以平面，正确；

C：易知平面截正四面体所得截面面积为，错误；

D：易得正方体的体对角线长为，棱长为2的正四面体的高为，故正四面体的高等于正方体体对角线长的，正确.

故选：ABD.

【点睛】

关键点点睛：利用正方体的性质，找异面直线所成角的平面角求其大小，根据线面垂直的判定证明平面，由正四面体的性质，结合几何图形确定截面的面积，并求高，即可判断C、D的正误.

2．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长都等于，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（ ）

A．

B．在底面上的射影是线段的中点

C．与平面所成角大于

D．与所成角的余弦值为

【答案】AC

【分析】

对A，分别计算和，进行判断；对B，设中点为，连接，假设在底面上的射影是线段的中点，应得，计算，即可判断在底面上的射影不是线段的中点；对C，计算，根据勾股定理逆定理判断得，与平面所成角为，再计算；对D，计算以及，再利用向量的夹角公式代入计算夹角的余弦值.

【详解】

对A，由题意，，所以，，所以，

所以，故A正确；对B，设中点为，连接，，若在底面上的射影是线段的中点，则平面，则应，又因为，故B错误；对D，，

所以，，，故D不正确；对C，，在中，，所以，所以，所以与平面所成角为，又，即，故C正确；

故选：AC

【点睛】

方法点睛：用向量方法解决立体几何问题，需要树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算，要理解空间向量概念、性质、运算，注意和平面向量类比；同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，利用向量的夹角公式求解.

3．在直角梯形ABCD中，，，，E为DC中点，现将沿AE折起，得到一个四棱锥，则下列命题正确的有（ ）

A．在沿AE折起的过程中，四棱锥体积的最大值为

B．在沿AE折起的过程中，异面直线AD与BC所成的角恒为

C．在沿AE折起的过程中，二面角的大小为

D．在四棱锥中，当D在EC上的射影恰好为EC的中点F时，DB与平面ABCE所成的角的正切为

【答案】ABD

【分析】

对于A，四棱锥的底面面积是固定值，要使得体积最大，需要平面平面，此时，可求得可判断A；对于B，在沿AE折起的过程中，，所以异面直线AD与AE所成的角即为AD与BC所成角，由翻折前可知可判断B；对于C，利用线面垂直的判定定理，结合翻折前可知平面，又平面，所以平面平面，即二面角的在大小为判断C；对于D，利用线面垂直的判定定理可知平面，所以为直线DB与平面ABCE所成的角，在直角中，，可判断D正确；

【详解】

对于A，沿AE折起得到四棱锥，由四棱锥底面面积是固定值，要使得体积最大，需要四棱锥的高最大，即平面平面，此时，由已知得，则，故A正确；

对于B，在沿AE折起的过程中，，所以异面直线AD与AE所成的角即为AD与BC所成角，又，，E为DC中点，可知，即异面直线AD与BC所成的角恒为，故B正确；

对于C，由翻折前知，，且，则平面，又平面，所以平面平面，即二面角的大小为，故C错误；

对于D，如图连接，由C选项知，平面，又平面，则，又由已知得，且，则平面，所以为直线DB与平面ABCE所成的角，在直角中，，所以DB与平面ABCE所成的角的正切为，故D正确；

故选：ABD

【点睛】

关键点睛：本题考查立体几何综合问题，求体积，求线线角，线面角，面面角，解题的关键要熟悉几种角的定义，通过平移法找到线线角，通过证垂直找到线面角和面面角，再结合三角形求出角，考查了学生的逻辑推理能力，转化能力与运算求解能力，属于难题.

4．如图，已知四棱锥所有棱长均为4，点M是侧棱上的一个动点（不与点重合），若过点M且垂直于的截面将该四棱锥分成两部分，则下列结论正确的是（ ）

A．截面的形状可能为三角形、四边形、五边形

B．截面和底面所成的锐二面角为

C．当时，截面的面积为

D．当时，记被截面分成的两个几何体的体积分别为，则

【答案】BCD

【分析】

点M是侧棱上的一个动点，根据其不同位置，对选项逐一进行判断即可.

【详解】

A选项中，如图，连接BD，当M是PC中点时，，

由题意知三角形PDC与三角形PBC都是边长为4的正三角形，所以,，又DM，BM在面MBD内，且相交，所以平面PBD，三角形MBD即为过点M且垂直于的截面，此时是三角形，点M向下移动时，，如图，仍是三角形；

若点M由中点位置向上移动，，在平面PDC内作，交PD于E，

在平面PBC内作交PB于F，平面MEF交平面PAD于EG，交PAB于FH，即交平面ABCD于GH，则五边形MEGHF即为过点M且垂直于的截面，此时是五边形；

故截面的形状可能为三角形、五边形，A错误；

B选项中，因为截面总与PC垂直，所以不同位置的截面均平行，截面与平面ABCD所成的锐角为定值，

不妨取M是中点，连接AC，BD，MB，MD，设AC，BD交点是N，连接PN，由题意知，四边形ABCD是边长为4的菱形，，因为MB=MD，所以，故是截面与平面ABCD所成的锐角，过点M作，垂足Q.在三角形PAC中，MN=2，NQ=，故在直角三角形MNQ中，，故，故B正确；

C选项中，当PM=1时，M是PC中点，如图，五边形MEGHF即为过点M且垂直于的截面，依题意，直角三角形PME中，，故E为PD的中点，同理，F是PB的中点，则EF是三角形PBD的中位线，，G，H分别在的中点上，证明如下，当G，H，也是中点时，，有，四边形EFHG是平行四边形.依题意，三角形PAC中，故，故，易见，正四棱锥中平面PAC，故，，因为 均在平面EFHG内，且相交，所以平面EFHG，故此时平面EFHG和平面MEF即同一平面.又平面PAC，有面平面PAC，，根据对称性有，四边形EFHG是矩形.

即五边形MEGHF即为过点M且垂直于的截面，平面图如下:

依题意，，，三角形高为，

面积是，四边形面积是，故截面面积是.

故C正确；

D选项中，若PM=2，看B选项中的图可知，，故剩余部分 ，所以，故D正确.

故选：BCD.

【点睛】

本题考查了棱锥的截面问题，考查了二面角、体积等计算问题，属于难题.

5．（多选题）在四面体中，以上说法正确的有（ ）

A．若，则可知

B．若为△的重心，则

C．若，，则

D．若四面体各棱长都为2，分别为的中点，则 

【答案】ABC

【分析】

作出四面体直观图，在每个三角形中利用向量的线性运算可得.

【详解】

对于 ，，， ， ，即，故正确；

对于，为△的重心，则，,

即，故正确；

对于，若，，则，

,

,

,

，，故正确； 

对于，

，故错误.

故选：ABC

【点睛】

用已知向量表示某一向量的三个关键点

(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．

(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．

(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．

6．M，N分别为菱形ABCD的边BC，CD的中点，将菱形沿对角线AC折起，使点D不在平面ABC内，则在翻折过程中，下列结论正确的有（ ）

A．平面ABD

B．异面直线AC与MN所成的角为定值

C．在二面角逐渐变小的过程中，三棱锥外接球的半径先变小后变大

D．若存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直，则的取值范围是

【答案】ABD

【分析】

利用线面平行的判定即可判断选项A；

利用线面垂直的判定求出异面直线AC与MN所成的角即可判断选项B；

借助极限状态，当平面与平面重合时，三棱锥外接球即是以外接圆圆心为球心，外接圆的半径为球的半径，当二面角逐渐变大时，利用空间想象能力进行分析即可判断选项C;

过作,垂足为,分为锐角、直角、钝角三种情况分别进行分析判断即可判断选项D.

【详解】

对于选项A:因为M，N分别为菱形ABCD的边BC，CD的中点，所以为的中位线，所以,因为平面ABD,平面ABD，所以平面ABD,故选项A正确；

对于选项B：取的中点，连接,作图如下：

则,,由线面垂直的判定知，平面,所以,因为,所以,即异面直线AC与MN所成的角为定值，故选项B正确；

对于选项C:借助极限状态，当平面与平面重合时，三棱锥外接球即是以外接圆圆心为球心，外接圆的半径为球的半径，当二面角逐渐变大时，球心离开平面，但是球心在底面的投影仍然是外接圆圆心，故二面角逐渐变小的过程中，三棱锥外接球的半径不可能先变小后变大，

故选项C错误；

对于选项D:过作,垂足为,若为锐角，在线段BC上；若为直角，与重合；若为钝角，在线段BC的延长线上；

若存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直，因为，所以平面,由线面垂直的性质知,,

若为直角，与重合，所以,在中，因为,

所以不可能成立，即为直角不可能成立；

若为钝角，在线段BC的延长线上，则在原平面图菱形ABCD中，为锐角，由于立体图中,所以立体图中一定比原平面图中更小，所以为锐角，，故点在线段BC与在线段BC的延长线上矛盾，因此不可能为钝角；综上可知，的取值范围是.故选项D正确;

故选：ABD

【点睛】

本题考查异面垂直、线面平行与线面垂直的判定、多面体的外接球问题；考查空间想象能力和逻辑推理能力；借助极限状态和反证法思想的运用是求解本题的关键；属于综合型强、难度大型试题.

7．如图，矩形中，为的中点，将沿直线翻折成，连结，为的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是（ ）

A．存在某个位置，使得

B．翻折过程中，的长是定值

C．若，则

D．若，当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积是

【答案】BD

【分析】

对于选项A，取中点，取中点，连结，，通过假设，推出平面，得到，则，即可判断；

对于选项B，在判断A的图基础上，连结交于点，连结，易得，由余弦定理，求得为定值即可；

对于选项C，取中点，，，由线面平行的性质定理导出矛盾，即可判断；

对于选项D，易知当平面与平面垂直时，三棱锥的体积最大，说明此时中点为外接球球心即可.

【详解】

如图1，取中点，取中点，连结交于点，连结，，,

则易知，，，，，

由翻折可知，，，

对于选项A，易得，则、、、四点共面，由题可知，若，可得平面，故，则，不可能，故A错误； 

对于选项B，易得， 

在中，由余弦定理得，

整理得，

故为定值，故B正确；

如图2，取中点，取中点，连结，，，，

对于选项C，由得，若，易得平面，故有，从而，显然不可能，故C错误；

对于选项D，由题易知当平面与平面垂直时，三棱锥B1﹣AMD的体积最大，此时平面，则，由，易求得，，故，因此，为三棱锥的外接球球心，此外接球半径为，表面积为，故D正确.

故选：BD.

【点睛】

本题主要考查了立体几何中的翻折问题以及空间图形的位置关系，考查了空间想象能力，属于较难题.

8．如图所示，在棱长为的正方体中，过对角线的一个平面交棱于点，交棱于点，得四边形，在以下结论中，正确的是（ ）

A．四边形有可能是梯形

B．四边形在底面内的投影一定是正方形

C．四边形有可能垂直于平面

D．四边形面积的最小值为

【答案】BCD

【分析】

四边形有两组对边分别平行知是一个平行四边形四边形；在底面内的投影是四边形；当与两条棱上的交点是中点时，四边形 垂直于面 ；当，分别是两条棱的中点时，四边形的面积最小为.

【详解】

过作平面与正方体的截面为四边形，

如图所示，因为平面平面，且平面平面.

平面平面，因此，同理，

故四边形为平行四边形，因此A错误；

对于选项B，四边形在底面内的投影一定是正方形，因此B正确；

对于选项C，当点分别为的中点时，平面，又平面，则平面平面，因此C正确；

对于选项D，当点到线段的距离最小时，此时平行四边形的面积最小，此时点分别为的中点，此时最小值为，因此D正确.

故选：BCD

【点睛】关键点睛：解题的关键是理解想象出要画的平面是怎么样的平面，有哪些特殊的性质，考虑全面即可正确解题.