2016年山东单招数学模拟试题：反函数

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1：函数 的反函数是（  ）

A、 。

B、 。

C、 。

D、 。

2：已知函数 的反函数为 ，则

A、 

B、 

C、 

D、 

3：函数f（x）＝3+sinx，x∈[0，1）的反函数的定义域是

A、[0，1）

B、[1，3+sin1）

C、[0，4）

D、[0，+ ）

4：设函数 存在反函数 ,且函数 的图象过点(1,2),则函数 的图象一定过点（     ）

A、 

B、(2,1)

C、(2,3)

D、(1,1)

5：若 是方程 的解， 是   的解，则 的值为（）

A、 

B、 

C、 

D、 

6：若函数y＝ （x≤－1），则f － 1（2）＝         。

7：函数 的反函数为_______.

8：函数 与 的图像关于直线 对称，则       .

9：若函数与的图像关于直线对称，则             

10：设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值等于    。

11：已知函数（其中且）

（I）求函数f(x)的反函数

（II）设，求函数g(x)最小值及相应的x值；

（III）若不等式对于区间上的每一个x值都成立，求实数m的取值范围。

12：已知函数f(x)＝() x， 

函数y＝f － 1(x)是函数y＝f(x)的反函数。 

(1)若函数y＝f － 1(mx 2＋mx＋1)的定义域为R，求实数m的取值范围； 

(2)当x∈[－1,1]时，求函数y＝[f(x)] 2－2af(x)＋3的最小值g(a)； 

(3)是否存在实数m＞n＞3，使得g(x)的定义域为[n，m]，值域为[n 2，m 2]？若存在，求出m、n的值；若不存在，请说明理由

13：（本题满分14分）本题有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分1分. 

设常数 ，函数 

（1）若 =4，求函数 的反函数 ； 

（2）根据 的不同取值，讨论函数 的奇偶性，并说明理由.

14： 

15：已知函数 ， ， 。 

（1）若 ，试判断并用定义证明函数 的单调性； 

（2）当 时，求证函数 存在反函数。

答案部分

1、D

试题分析：求反函数，除了求解析式以外，还要求出定义域，即原函数的值域。由 得 ，又 ，所以 ，另外当 时， ， ，因此所求反函数为D、 

考点：求反函数。 

2、C

略 

3、B

试题分析：根据题意，由于互为反函数的定义域和值域恰好相反，那么所求的反函数的定义域就是原函数的值域，即函数f（x）＝3+sinx，x∈[0，1），f(x) x∈[3，3+sin1],故答案为B. 

考点：反函数 

点评：本题主要考查反函数的性质，考查了互为反函数的两个函数的定义域和值域正好相反。属于基础题。 

4、A

略 

5、C

解：因为利用同底数的指数函数与对数函数化为反函数，那么可知关于直线y=x对称，那么可知 =3，选C 

6、 － 

试题分析：令f － 1（2）＝t，则f(t)=2,且t≤－1，∴ ，∴t=－ ，即f － 1（2）＝－ 

考点：本题考查了反函数的概念 

点评：掌握反函数的求法是解决此类问题的关键，属基础题 

7、 

试题分析：由题意得 ， ，所以反函数为 . 

考点：反函数. 

8、 4 

试题分析：由已知可知g（x）与f(x)是互为反函数，设g（3）=b，则1+log 2b=3，解得b=4，所以g（3）=4. 

考点：反函数的图象及其性质. 

9、【】

本题考查函数的对称性

设是的图像上的任意一点；

点关于直线的对称点为，此点必在曲线上，即

由得，所以

即

10、

试题分析：点在曲线上，点在曲线上，而曲线与曲线互为反函数，图象关于直线对称，所以的最小值等于曲线上的点到直线的距离的最小值乘以2即可，设，所以点到直线的距离所以的最小值等于.

考点：本小题主要考查互为反函数的两个函数的判定和反函数的性质的应用，考查学生对问题的转化能力和运算求解能力.

点评：解决本小题的关键是分析出两个函数互为反函数，图象关于对称.

11、（I）函数的反函数

（II）时，g(x)有最小值          

（III）实数m的取值范围是 

（I）

函数的值域为

由，得

因此，函数的反函数

（II）

当且仅当

即时，g(x)有最小值          

（III）由

得

设，则

根据题意，对区间中的一切t值，恒成立

则得

即实数m的取值范围是  

12、 (1)∵f － 1(x) 

＝logx(x＞0)， 

∴f － 1(mx 2＋mx＋1) 

＝log(mx 2＋mx＋1)，由题知，mx 2＋mx＋1＞0恒成立， 

∴①当m＝0时，1＞0满足题意； 

②当m≠0时， 

应有 

⇒0＜m＜4， 

∴实数m的取值范围为 

0≤m＜4. 

(2)∵x∈[－1,1]， 

∴() x∈[，3]， 

y＝[f(x)] 2－2af(x)＋3 

＝[() x] 2－2a() x＋3 

＝[() x－a] 2＋3－a 2， 

当a＜时， 

y min＝g(a)＝－； 

当≤a≤3时， 

y min＝g(a)＝3－a 2； 

当a＞3时，y min＝g(a) 

＝12－6a. 

∴g(a) 

＝ 

(3)∵m＞n＞3，且g(x)＝12－6x在(3，＋∞)上是减函数。 

又g(x)的定义域为[n，m]，值域为[n 2，m 2]。 

∴ 

②－①得：6(m－n)＝(m＋n)(m－n) 

∵m＞n＞3，∴m＋n＝6.但这与“m＞n＞3”矛盾。 

∴满足题意的m、n不存在。 

略 

13、 （1） ， ；（2） 时 为奇函数，当 时 为偶函数，当 且 时 为非奇非偶函数。 

试题分析：（1）求反函数，就是把函数式 作为关于 的方程，解出 ，得 ，再把此式中的 互换，即得反函数的解析式，还要注意的是一般要求出原函数的值域，即为反函数的定义域；（2）讨论函数的奇偶性，我们可以根据奇偶性的定义求解，在 ， 这两种情况下，由奇偶性的定义可知函数 具有奇偶性，在 时，函数的定义域是 ，不关于原点对称，因此函数既不是奇函数也不是偶函数。 

试题解析：（1）由 ，解得 ，从而 ， 

∴ ， 

∵ 且 

∴①当 时， ， 

∴对任意的 都有 ，∴ 为偶函数 

②当 时， ， ， 

∴对任意的 且 都有 ，∴ 为奇函数 

③当 且 时，定义域为 ， 

∴定义域不关于原定对称，∴ 为非奇非偶函数 

【考点】反函数，函数奇偶性。 

14、 (Ⅰ)    (Ⅱ)   

15、 （1）增函数；（2）参考解析 

试题分析：（1）当 时， ， .通过函数的单调性的定义可证得函数 ， 单调递增. 

（2）由 ，所以将x的区间分为两类即 和 .所以函数 .由（1）可得函数 是递增函数.应用单调性的定义同样可得函数 是递增.根据反函数的定义可得函数存在反函数. 

试题解析：(1)判断：若 ，函数 在 上是增函数. 

证明：当 时， ， 

在 上是增函数.2分 

在区间 上任取 ，设 ， 

所以 ，即 在 上是增函数.6分 

(2)因为 ，所以 8分 

当 时， 在 上是增函数，9分 

证明：当 时， 在 上是增函数（过程略）11分 

在在 上也是增函数，当 时， 上是增函数12分 

所以任意一个 ，均能找到唯一的 和它对应， 

所以 时， 存在反函数14分 

考点：1.函数的单调性.2.函数单调性的定义.3.反函数的概念.