2011高三数学一轮精品复习学案：指数函数

【考纲知识梳理】

1．根式

（1）根式的概念                                      ，其中正数                    

          ，0                        ，负数                                 

两个重要公式

①；

②。

2．有理数指数幂

（1）幂的有关概念

①正整数指数幂:                         ;②零指数幂:                            ;③负整数指数幂:                        ④正分数指数幂:                      ;

⑤负分数指数幂:                          

⑥0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.

注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。

（2）有理数指数幂的性质

①aras=       (a>0,r、s∈Q);②(ar)s=        (a>0,r、s∈Q);③(ab)r=        (a>0,b>0,r∈Q);.

3．指数函数的图象与性质

2（1）计算：；

（2）化简：

（3）已知，求的值

二．例题解析

〖例1〗已知函数y=()|x+1|。（1）作出图象；（2）由图象指出其单调区间；

（3）由图象指出当x取什么值时函数有最值。

〖例2〗已知定义域为R的是奇函数。

（1）求的值；（2）判断函数的单调性;

（3）若对任意的，不等式恒成立，求k的取值范围.

〖例3〗如果函数f(x)=ax(ax-3a2-1)(a>0且a≠1)在区间上是增函数，求实数的取值范围

三 课后作业1．（2009四川卷文）函数的反函数是（     ）

   A.                  B. 

   C.                D. 

2．若函数f(x)=a-x-a(a>0且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是        .

3．设，且，则（   ）

（A）      （B）10       （C）20        （D）100

4若函数f（x）=3x+3-x与g（x）=3x-3-x的定义域均为R，则（     ）

A．f（x）与g（x）均为偶函数              B. f（x）为偶函数，g（x）为奇函数

C．f（x）与g（x）均为奇函数              D. f（x）为奇函数，g（x）为偶函数

5.f（x）的定义域为R，且f（x）＝,若方程f（x）＝x＋a有两不同实根，则a的取值范围为                           (      )

A．（－∞，1）   B．（－∞，1]      C．（0，1）         D．（－∞，＋∞）

6已知集合M={x|+ x ≤（），x∈R}，则函数值域是___

7设0≤x≤2，求函数y=的最大值和最小值．

8已知函数f（x）=a－（a∈R），求证：对任何a∈R，f（x）为增函数．

解答：由题意得f(x)= （ax）2-（3a2+1）ax，

令t= ax。f(t)=t2-(3a2+1)t(t>0).

当a>1时，t= ax在上为增函数，则此时t1,

而对于f(t)而言，对称轴t=>2,

故f(x)在上不可能为增函数；

当0此时0则f(t)在上必为减函数，故1.

∴a或a,∴。

四、指数函数的综合应用

〖例1〗22． （本小题满分14分）已知定义域为的函数是奇函数。

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）判断函数的单调性;

（Ⅲ）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围．

22．Ⅰ）因为是奇函数，所以=0，

即………………………..3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

设则

因为函数y=2在R上是增函数且∴>0

又>0 ∴>0即

∴在上为减函数。             ……………8分

（Ⅲ）因是奇函数，从而不等式：   

等价于，………….10分

因为减函数，由上式推得：．即对一切有：，            ………………….12分

从而判别式……….14分

【感悟高考真题】

【答案】C

【解析】由，又因原函数的值域是，

∴其反函数是

【解析】: 设函数且和函数,则函数f(x)=a-x-a(a>0且a1)有两个零点, 就是函数且与函数有两个交点,由图象可知当时两函数只有一个交点,不符合,当时,因为函数的图象过点(0,1),而直线所过的点一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数a的取值范围是

答案:       

解析：选A.又

4.（2010广东理数）3．

解析：3．D．．

【考点精题精练】

一、选择题

1．化简［］的结果为（B）

A．5       B．  C．－     D．－5

2．将化为分数指数幂的形式为（A）

A． B．  C．  D．

3．下列等式一定成立的是（D）

A．=a       B．=0

C．（a3）2=a9          D．

4．下列命题中，正确命题的个数为（B）

①=a　②若a∈R，则（a2－a+1）0=1　③ ④

A．0       B．1     C．2      D．3

5．若a2x=－1，则等于（A）

A．2－1       B．2－2

C．2+1       D．+1

6．使代数式（|x|－1）有意义的x的取值范围为（D）

A．|x|≥1        B．－1C．|x|>1        D．x≠±1

7．如果函数y=ax（a>0，a≠1）的图象与函数y=bx（b>0，b≠1）的图象关于y轴对称，则有                                                                    （C）

A．a>b    B．a8．集合M={x|≥0}，N={x|3（3x－1|（2x+1）≥1}，则集合M、N的关系是（B）

A．M=N         B．MN

C．MN         D．MN

9．下列说法中，正确的是                                          （B）

①任取x∈R都有3x>2x　②当a>1时，任取x∈R都有ax>a－x　③y=（）－x是增函数　 ④y=2|x|的最小值为1　⑤在同一坐标系中，y=2x与y=2－x的图象对称于y轴

A．①②④        B．④⑤

C．②③④        D．①⑤

10．下列函数中，值域是（0，+∞）的共有                   （①）

①y=　    ②y=（）x　

③y=   　④y=3

A．1个   B．2个   C．3个      D．4个

11．已知函数f（x）=a1－x（a>0，a≠1），当x>1时恒有f（x）<1，则f（x）在R上是（B）

A．增函数       B．减函数

C．非单调函数   D．以上答案均不对

12．(河南省许昌平顶山·2010届高三调研）

二、填空题

13．若10x=3,10y=4，则102x-y=_______．

14．设α、β为方程2x2+3x+1=0的两个根，则（）α+β=________8______．

15．在同一坐标系下，函数y=ax，y=bx，y=cx，y=d x的图象如下图，则a、b、c、d、1之间从小到大的顺序是_____ b，a，1，d，c _____．

16．［，2］___．

三、解答题

17．

解答：设2x=t，∵０≤x≤2，∴1≤t≤4

原式化为：y=（t－a）2+1

当a≤1时，

ymin=；

当1＜a≤时，

ymin=1，  ymax=；

当＜a＜4时，

ymin=1， ymax=

当a≥4时，

ymin=．

18．

解答：设x1＜x2

f（x2）－f（x1）=

∵x1＜x2

∴>0

又

∴>0

故对任何a∈R，f（x）为增函数．