坐标变换的矩阵实现

2.1 矩阵及矩阵的运算

由个数排列形成的一个矩形数阵，称为行列矩阵。

如,其中称为矩阵元素。若两个矩阵、的行数和列数都相同，并且对应元素相等，则两个矩阵相等，记为。

矩阵的加(减)法

两个矩阵、，它们的行数和列数分别相等，把它们的对应元素相加减，得到一个新矩阵,则称为与之和（差），记为。

矩阵加法适合交换律：

矩阵加法适合结合律：

 数乘矩阵

用数和矩阵相乘，则将中的每一个元素都乘以，称为与之积，记为或。

数乘矩阵适合结合律：

数乘矩阵适合分配率：

 矩阵乘法

 两个矩阵、，它们相乘得到一个新矩阵，记为。

矩阵和的乘积的第i行和第j列的元素等于第一个矩阵的第i行与第二个矩阵的第j列的对应元素乘积之和。即

注意：只有第一个矩阵的列数和第二个矩阵的行数相等时，才能相乘。

矩阵乘法适合结合律：

矩阵乘法适合分配率：

矩阵乘法不适合交换律：

2.2坐标变换

空间中不同坐标系下，同一点有不同的坐标，同一矢量有不同的分量。由于运算时要在同一坐标系下进行，为此，要考察两个坐标系之间的相互关系，就要用坐标变换的方式。

2.2.1底失的变换

给出两个直角坐标系，，其中称为旧坐标系，称为新坐标系。下面研究和两个坐标系之间的关系。

首先把新坐标系的底失看成在旧坐标系里的一个径失。则新坐标系的底失在旧坐标系里的表达式可写成：

这就是变换到的底失变换公式。

反之，又可推导出由新坐标系到旧坐标系的底失变换公式。

由上面两式不难看出，将九个系数按其原来位置排列成方阵：

表示了底失变换关系，称为由的底失系数变换矩阵。用矩阵乘法的形式表示为：

2.2.2矢量的坐标变换

设一矢量在坐标系和里的分量依次是和，则：

又

将底失变换公式带入上式可得：

通过比较可以看出：

写成矩阵形式为

2.2.3 点的坐标变换

设空间任一点P在里，在里的坐标是，则P点在和里的径失依次为

的原点在里的坐标为，则点在里的径失：

在里的矢量

那么，由上面两式可以看出，矢量在和里的分量分别为、、和、、。它们的关系由矢量坐标变换公式可得：

展开上式可得从旧坐标系变换到新坐标系时点的坐标变换公式：

其中：是坐标系的原点O在下的坐标，写成矩阵形式为：