极坐标与全参数方程题型及解题方法47396

1、极坐标系和直角坐标系有什么区别？学校老师课堂如何讲解极坐标参数方程的？

2、如何把极坐标系转化为直角坐标系？

答：将极坐标的极点O作为直角坐标系的原点，将极坐标的极轴作为直角坐标系x轴的正半轴。如果点P在直角坐标系下的坐标为（x，y），在极坐标系下的坐标为, 则有下列关系成立：

3、参数方程表示什么曲线？

4、圆(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程是什么？

5、极坐标系的定义是什么？

答：取一个定点O，称为极点，作一水平射线Ox，称为极轴，在Ox上规定单位长度，这样就组成了一个极坐标系设OP=，又∠xOP=.和的值确定了，则P点的位置就确定了。叫做P点的极半径，叫做P点的极角，叫做P点的极坐标（规定写在前，写在后）。显然，每一对实数决定平面上一个点的位置

6、参数方程的意义是什么？

Ⅱ 题型与方法归纳

1、题型与考点（1）

              （2）  

               (3)  

2、解题方法及步骤

（1）、参数方程与普通方程的互化

化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法；化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数，先确定一个关系（或，再代入普通方程，求得另一关系（或）.一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标）

例1、方程表示的曲线是（   ）

A. 双曲线     B.双曲线的上支      C.双曲线的下支    D.圆

解析：注意到t与互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含的项，即有，又注意到    ，可见与以上参数方程等价的普通方程为.显然它表示焦点在轴上，以原点为中心的双曲线的上支，选B

练习1、与普通方程等价的参数方程是（   ）（为能数）

解析：所谓与方程等价，是指若把参数方程化为普通方程后不但形式一致而且的变化范围也对应相同，按照这一标准逐一验证即可破解. 

对于A化为普通方程为；

对于B化为普通方程为；

对于C化为普通方程为;

对于D化为普通方程为.

而已知方程为显然与之等价的为B.

练习2、设P是椭圆上的一个动点，则的最大值是     ，最小值为          .

分析：注意到变量的几何意义，故研究二元函数的最值时，可转化为几何问题.若设，则方程表示一组直线，（对于取不同的值，方程表示不同的直线），显然既满足，又满足，故点是方程组的公共解，依题意得直线与椭圆总有公共点，从而转化为研究消无后的一元二次方程的判别式问题.

解析：令，对于既满足，又满足，故点是方程组的公共解，依题意得，由，解得：，所以的最大值为，最小值为.

（2）、极坐标与直角坐标的互化

    利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，这二者互化的前提条件是（1）极点与原点重合；（2）极轴与轴正方向重合；（3）取相同的单位长度.设点P的直角坐标为，它的极坐标为，则    ；若把直角坐标化为极坐标，求极角时，应注意判断点P所在的象限（即角的终边的位置），以便正确地求出角.

例2、极坐标方程表示的曲线是（   ）

     A. 圆        B. 椭圆        C. 双曲线的一支        D. 抛物线

分析：这类问题需要将极坐标方程转化为普通方程进行判断.

解析：由，化为直角坐标系方程为，化简得.显然该方程表示抛物线，故选D.

练习1、已知直线的极坐标方程为，则极点到该直线的距离是 

解析：极点的直角坐标为，对于方程，可得化为直角坐标方程为，因此点到直线的距离为 

练习2、极坐标方程转化成直角坐标方程为（    ）

A．   B．   C．   D． 

分析：极坐标化为直解坐标只须结合转化公式进行化解. 

解析：，因此选C.

练习3、点的直角坐标是，则点的极坐标为（    ）

A．   B．   C．   D． 

  解析：都是极坐标，因此选C.

（3）、参数方程与直角坐标方程互化

例题3：已知曲线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为．

   （1）将曲线的参数方程化为普通方程，将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；

   （2）曲线，是否相交，若相交请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由．

解：（1）由得

    ∴曲线的普通方程为

    ∵

    ∴

    ∵

    ∴，即

    ∴曲线的直角坐标方程为

    （2）∵圆的圆心为，圆的圆心为

    ∴

    ∴两圆相交

    设相交弦长为，因为两圆半径相等，所以公共弦平分线段

    ∴

    ∴

    ∴公共弦长为

练习1、坐标系与参数方程.

已知曲线C：为参数，0≤<2π)，

（Ⅰ）将曲线化为普通方程；

（Ⅱ）求出该曲线在以直角坐标系原点为极点，轴非负半轴为极轴的极坐标系下的极坐标方程．

解析：（Ⅰ）    

（Ⅱ）

（4）利用参数方程求值域

例题4、在曲线：上求一点，使它到直线：的距离最小，并求出该点坐标和最小距离。

解：直线C2化成普通方程是x+y-2-1=0

设所求的点为P（1+cos,sin) 

则C到直线C2的距离d= 

                    =|sin(+)+2| 

当时，即=时，d取最小值1 

此时，点P的坐标是（1-，-）

练习1、在平面直角坐标系xOy中，动圆（R）的圆心为，求的取值范

解：由题设得（为参数， R）              于是.         ，                     

所以.    

练习2、已知曲线的极坐标方程是，设直线的参数方程是（为参数）．

   （Ⅰ）将曲线的极坐标方程转化为直角坐标方程；

   （Ⅱ）设直线与轴的交点是，曲线上一动点，求的最大值.

解：（1）曲线的极坐标方程可化为： 

又    .

所以，曲线的直角坐标方程为：

.

   （2）将直线的参数方程化为直角坐标方程得：

    令   得 即点的坐标为

    又曲线为圆，圆的圆心坐标为，半径，

则

    ∴

（5）直线参数方程中的参数的几何意义

例5、已知直线经过点,倾斜角，

①写出直线的参数方程;

②设与圆相交与两点，求点到两点的距离之积.

 解  （1）直线的参数方程为，即．         

   （2）把直线代入，

得，，     

则点到两点的距离之积为．                               

练习1、求直线（）被曲线所截的弦长.

解：将方程，分别化为普通方程：

， 

（6）、参数方程与极坐标的简单应用

参数方程和极坐标的简单应用主要是：求几何图形的面积、曲线的轨迹方程或研究某些函数的最值问题.

例6、已知的三个顶点的极坐标分别为,判断三角形ABC的三角形的形状，并计算其面积. 

分析：判断△ABC的形状，就需要计算三角形的边长或角，在本题中计算边长较为容易，不妨先计算边长.

解析：如图，对于，

又，由余弦定理得：

，，，，，，所以AB边上的高,    

练习1、如图，点A在直线x=5上移动，等腰△OPA的顶角∠OPA为120°（O，P，A按顺时针方向排列），求点P的轨迹方程.

解析：取O为极点，正半轴为极轴，建立极坐标系，则直线的极坐标方程为，设A（，），P，因点A在直线上， 为等腰三角形，且，以及

，把<2>代入<1>，得点P的轨迹的极坐标方程为：    .

 Ⅲ趁热打铁

1．把方程化为以参数的参数方程是（    ）

A．   B．   C．   D． 

解析：D  ，取非零实数，而A，B，C中的的范围有各自的

2．曲线与坐标轴的交点是（    ）

A．   B．   C．   D． 

解析：B   当时，，而，即，得与轴的交点为；

当时，，而，即，得与轴的交点为

3．直线被圆截得的弦长为（    ）

A．         B．   C．       D． 

解析：B   ，把直线代入

得

，弦长为

4．若点在以点为焦点的抛物线上，

则等于（    ）

A．        B．   C．        D． 

解析：C   抛物线为，准线为，为到准线的距离，即为

5．已知曲线上的两点对应的参数分别为，，那么=_______________。

解析：   显然线段垂直于抛物线的对称轴。即轴， 

6．圆的参数方程为，则此圆的半径为_______________。

解析：   由得故半径为5

7．分别在下列两种情况下，把参数方程化为普通方程：

（1）为参数，为常数；（2）为参数，为常数；

解：（1）当时，，即；

           当时， 

           而，即

（2）当时，，，即；

当时，，，即；

当时，得，即

得

即。

8．过点作倾斜角为的直线与曲线交于点，

求的值及相应的的值

解：设直线为，代入曲线并整理得

则

所以当时，即，的最小值为，此时

9．参数方程表示什么曲线？

解：显然，则

即

得，即

Ⅳ 温故强化

1．下列在曲线上的点是（    ）

A．   B．   C．   D． 

解析：B   转化为普通方程：，当时， 

2．将参数方程化为普通方程为（    ）

A．   B．   C．   D． 

解析：C   转化为普通方程：，但是

3. 若A，B，则|AB|=___________， ___________。（其中O是极点）

解析：在极坐标系中画出点A、B，易得

4．直线被圆截得的弦长为______________

解析：   直线为，圆心到直线的距离，弦长的一半为，得弦长为

5. 直线（t为参数）上任一点P到的距离为__________

解析：所求距离为2|t|（把直线的参数方程化为标准形式）

6. 

的轨迹方程为____________。

解析：设

    由重心坐标公式，得： 

    消参，得点G的轨迹方程为

7. 若方程

解析：将方程两边同乘以，化为：

8. 求椭圆

解析：（先设出点P的坐标，建立有关距离的函数关系）

9．在椭圆上找一点，使这一点到直线的距离的最小值。

解析：设椭圆的参数方程为， 

          当时，，此时所求点为。

10．求直线和直线的交点的坐标，及点

与的距离。

解析：将代入得，

得，而，得