放缩法证明数列不等式

一、基础知识：

   1、放缩法证明数列不等式的理论依据——不等式的性质：

2、放缩的技巧与方法：

（1）常见的数列求和方法和通项公式特点：

① 等差数列求和公式：，（关于的一次函数或常值函数）

② 等比数列求和公式：，（关于的指数类函数）

③ 错位相减：通项公式为“等差等比”的形式

④ 裂项相消：通项公式可拆成两个相邻项的差，且原数列的每一项裂项之后正负能够相消，进而在求和后式子中仅剩有限项

（2）与求和相关的不等式的放缩技巧：

① 在数列中，“求和看通项”，所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手

② 在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向，这将决定对通项公式是放大还是缩小（应与所证的不等号同方向）

③ 在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向等比数列与可裂项相消的数列进行靠拢。

（3）放缩构造裂项相消数列与等比数列的技巧：

3、常见的放缩变形：

二、典型例题：

例1：已知数列的前项和为，若，且

（1）求证：数列是等差数列，并求出的通项公式

（2）设，数列的前项和为，求证： 

例2：设数列满足：，设为数列的前项和，已知， 

（1）求数列的通项公式

（2）求证：对任意的且，有

例3：已知正项数列的前项和为，且

（1）求证：数列是等差数列

（2）记数列，证明： 

例4：已知数列满足

（1）求证：数列是等比数列，并求出数列的通项公式

（2）设，求证： 

例5：已知数列的前项和，且

（1）求

（2）求数列的前项和

（3）设数列的前项和，且满足，求证： 

例6：已知数列满足

（1）试判断数列是否为等比数列，并说明理由

（2）设，数列的前项和为，求证：对任意的

例7：已知数列的各项均为正值，对，，且

（1）求数列的通项公式

（2）当且时，证明对，都有成立