数列的通项公式(重要完整)

各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。本文总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。

一、定义法

直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．

例1．等差数列是递增数列，前n项和为，且成等比数列，．求数列的通项公式.

解：设数列公差为

∵成等比数列，∴，即

∵，          ∴………………………………①

∵          ∴…………②

由①②得：，           ∴】

点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。

二、公式法

若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式求解。

例2．已知数列的前项和满足．求数列的通项公式。

解：由

当时，有

……，

经验证也满足上式，所以

点评：利用公式求解时，要注意对n分类讨论，但若能合写时一定要合并．

三、由递推式求数列通项法

对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。

类型1 递推公式为

解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。

(2004全国卷I.22)已知数列中, ,其中……，求数列的通项公式。

例3. 已知数列满足，，求。

解：由条件知： 

分别令，代入上式得个等式累加之，即

所以      ，               

类型2 （1）递推公式为

解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。

(2004全国卷I.15)已知数列{an}，满足a1=1，an=a1+2a2+3a3+…+(n－1)an－1(n≥2)，则{an}的通项

例4. 已知数列满足，，求。

解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即

又，            

（2）．由和确定的递推数列的通项可如下求得：

所以，，，依次向前代入，得

，

简记为  ，这就是叠（迭）代法的基本模式。

（3）递推式： 

解法：只需构造数列，消去带来的差异．

例5．设数列：，求.

解：设，将代入递推式，得

…（１）则,又，故代入（１）得

说明：（1）若为的二次式，则可设;(2)本题也可由,（）两式相减得转化为求之.

例6．已知， ，求。

解： 

       。

类型3 递推公式为（其中p，q均为常数，）。

解法：转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。

(2006.重庆.14）数列中，若，则通项                

例7. 已知数列中，，，求.

解：设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令，则,且.所以是以为首项，2为公比的等比数列，则,     所以.

类型4 递推公式为（其中p，q均为常数，）。    （或,其中p，q,  r均为常数）

（2006全国I.22）（本小题满分12分）

设数列的前项的和， 

（Ⅰ）求首项与通项；     

解法：该类型较类型3要复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以，得： 

引入辅助数列（其中），得：再应用类型3的方法解决。

例8. 已知数列中，,，求。

解：在两边乘以得： 

令，则,应用例7解法得： 

所以

类型5 递推公式为（其中p，q均为常数）。

解法：先把原递推公式转化为

其中s，t满足，再应用前面类型3的方法求解。

（2006.福建.理.22）（本小题满分14分）

    已知数列满足

    （I）求数列的通项公式； 

例9. 已知数列中，, ,，求。

解：由可转化为

即或

这里不妨选用（当然也可选用，大家可以试一试），则是以首项为，公比为的等比数列,所以,应用类型1的方法，分别令，代入上式得个等式累加之，即

又，所以。

类型6 递推公式为与的关系式。(或)

解法：利用进行求解。

(2006.陕西.20)   (本小题满分12分)已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足

10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an   

例10.数列前n项和.（1）求与的关系；（2）求通项公式.

解：（1）由得：，于是

所以.

（2）应用类型4的方法，上式两边同乘以得： 

由.于是数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所以

类型7 双数列型

解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。

◆例11. 已知数列中，；数列中，。当时，,，求,.

解：因

所以

即…………………………………………（1）

又因为

所以……

.即………………………（2）

由（1）、（2）得：， 

四、待定系数法（构造法）

求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项公式，观察、分析、推理能力要求较高。通常可对递推式变换，转化成特殊数列（等差或等比数列）来求解，该方法体现了数学中化未知为已知的化归思想，运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法。

1、通过分解常数，可转化为特殊数列{a+k}的形式求解。一般地，形如a=p a+q（p≠1，pq≠0）型的递推式均可通过待定系数法对常数q分解法：设a+k=p（a+k）与原式比较系数可得pk－k=q，即k=，从而得等比数列{a+k}。

例12、数列{a}满足a=1，a=a+1（n≥2），求数列{a}的通项公式。

解：由a=a+1（n≥2）得a－2=（a－2），而a－2=1－2=－1，

∴数列{ a－2}是以为公比，－1为首项的等比数列

∴a－2=－（）      ∴a=2－（）

说明：通过对常数1的分解，进行适当组合，可得等比数列{ a－2}，从而达到解决问题的目的。

例13、数列{a}满足a=1，,求数列{a}的通项公式。

解：由得

设a，比较系数得解得

∴{}是以为公比，以为首项的等比数列

∴  

例14．已知数列满足，且，求．

解：设，则， 是

以为首项,以3为公比的等比数列

点评：求递推式形如（p、q为常数）的数列通项，可用迭代法或待定系数法构造新数列来求得,也可用“归纳—猜想—证明”法来求，这也是近年高考考得很多的一种题型．

例15．已知数列满足， ，求．

解：将两边同除，得

设，则．令

．条件可化成，数列是以为首项，

为公比的等比数列．．因,

．

点评：递推式为（p、q为常数）时，可同除，得

，令从而化归为（p、q为常数）型．

2、通过分解系数，可转化为特殊数列的形式求解。这种方法适用于型的递推式，通过对系数p的分解，可得等比数列：设，比较系数得，可解得。

（2006.福建.文.22）（本小题满分14分）已知数列满足

    （I）证明：数列是等比数列；        （II）求数列的通项公式；

例16、数列满足=0，求数列{a}的通项公式。

分析：递推式中含相邻三项，因而考虑每相邻两项的组合，即把中间一项的系数分解成1和2，适当组合，可发现一个等比数列。

解：由得

即，且∴

是以2为公比，3为首项的等比数列 

  ∴

利用逐差法可得

   = =

   = =        ∴

例17、数列中，，求数列的通项公式。

解：由得设

比较系数得，解得或

若取，则有

∴是以为公比，以为首项的等比数列

∴

由逐差法可得

=

==

说明：若本题中取，则有即得

为常数列, 故可转化为例13。

例18．已知数列满足, ,求．

解：设

或

则条件可以化为是以首项为，公比为的等比数列,所以．问题转化为利用累加法求数列的通项的问题，解得．

点评：递推式为（p、q为常数）时，可以设，其待定常数s、t由,求出，从而化归为上述已知题型．

五、特征根法

◆1、设已知数列的项满足,其中求这个数列的通项公式。作出一个方程则当时，为常数列，即，其中是以为公比的等比数列，即.

◆例19．已知数列满足：求

解：作方程       当时， 

数列是以为公比的等比数列.

于是

2、对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）；当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）。

例20：已知数列满足，求数列的通项公式。

解法一（待定系数——迭加法）

由，得

，且。

则数列是以为首项，为公比的等比数列，于是

。把代入，得

，

，

，

。

把以上各式相加，得

。

。

解法二（特征根法）：数列：，的特征方程是：。    ,

。

又由，于是

    故

3、如果数列满足下列条件：已知的值且对于，都有（其中p、q、r、h均为常数，且），那么，可作特征方程,当特征方程有且仅有一根时,则是等差数列;当特征方程有两个相异的根、时，则是等比数列。

(2006.重庆.文.22)．（本小题满分12分）

数列求数列的通项公式. 

解：由已知，得，其特征方程为，解之，得

， 

， 

。

例21、已知数列满足性质：对于且求的通项公式.   

解: 数列的特征方程为变形得其根为故特征方程有两个相异的根，使用定理2的第（2）部分，则有

   ∴    

∴   即

例22．已知数列满足：对于都有

（1）若求（2）若求（3）若求

◆（4）当取哪些值时，无穷数列不存在？

解：作特征方程变形得

特征方程有两个相同的特征根依定理2的第（1）部分解答.

(1)∵对于都有

(2)∵

∴

令，得.故数列从第5项开始都不存在，

当≤4，时，.

(3)∵∴        ∴

令则∴对于

∴

(4)、显然当时，数列从第2项开始便不存在.由本题的第（1）小题的解答过程知，

时，数列是存在的，当时，则有

令得且≥2.

∴当（其中且N≥2）时，数列从第项开始便不存在.

于是知：当在集合或且≥2}上取值时，无穷数列都不存在.

说明：形如:递推式，考虑函数倒数关系有

令则可归为型。(取倒数法)

例23： 

解：取倒数： 

是等差数列， 

六、构造法

    构造法就是在解决某些数学问题的过程中，通过对条件与结论的充分剖析，有时会联想出一种适当的辅助模型，如某种数量关系，某个直观图形，或者某一反例，以此促成命题转换，产生新的解题方法，这种思维方法的特点就是“构造”.若已知条件给的是数列的递推公式要求出该数列的通项公式，此类题通常较难，但使用构造法往往给人耳目一新的感觉.

1、构造等差数列或等比数列

由于等差数列与等比数列的通项公式显然，对于一些递推数列问题，若能构造等差数列或等比数列，无疑是一种行之有效的构造方法.

例24：  设各项均为正数的数列的前n项和为，对于任意正整数n，都有等式：成立，求的通项an.

解： ，

 ∴

，∵，∴. 

即是以2为公差的等差数列，且.

∴

例25：  数列中前n项的和，求数列的通项公式.

解：∵当n≥2时，

     令，则，且

是以为公比的等比数列，    ∴.

2、构造差式与和式

解题的基本思路就是构造出某个数列的相邻两项之差，然后采用迭加的方法就可

求得这一数列的通项公式.

例26： 设是首项为1的正项数列，且，（n∈N*），

求数列的通项公式an.

解：由题设得.

∵，，∴.

∴

例27： 数列中，，且，（n∈N*），求通项公式.

解： 

∴（n∈N*）

3、构造商式与积式

构造数列相邻两项的商式，然后连乘也是求数列通项公式的一种简单方法.

例28： 数列中，，前n项的和，求.

解：  ，

∴

∴

4、构造对数式或倒数式

有些数列若通过取对数，取倒数代数变形方法，可由复杂变为简单，使问题得以解决.

例29： 设正项数列满足，（n≥2）.求数列的通项公式.

解：两边取对数得：，，设，

则      是以2为公比的等比数列，.

，，，       ∴

例30： 已知数列中，，n≥2时，求通项公式.

解：∵，两边取倒数得.

    可化为等差数列关系式.

    ∴

总结方法比做题更重要!方法产生于具体数学内容的学习过程中. 

归纳总结：若数列满足为常数），则令来构造等比数列，并利用对应项相等求的值，求通项公式。