(浙教版)金华市2019-2020学年九年级上期末数学测试卷(含答案)(2019级)

数学试卷

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）

1．﹣2016的相反数是（　　）

A．    B．    C．6102    D．2016 

2．四边形的内角和为（　　）

A．90°    B．180°    C．360°    D．720°

3．已知=，则的值是（　　）

A．    B．    C．    D．

4．将抛物线y=3x2向上平移1个单位，得到抛物线（　　）

A．y=3（x﹣1）2    B．y=3（x+1）2    C．y=3x2﹣1    D．y=3x2+1

5．在水平的讲台上放置圆柱形水杯和长方体形粉笔盒（如图），则它的主视图是（　　）

A．图①    B．图②    C．图③    D．图④

6．在Rt△ABC中，∠ACB=Rt∠，BC=1，AB=2，则sinA的值为（　　）

A．    B．    C．    D．

7．已知半径为3的圆⊙O外有一条直线l，已知⊙O与直线l相切，则圆心到直线l的距离为（　　）

A．1    B．2    C．3    D．4

8．在一个不透明的袋中装着3个红球和1个黄球，它们只有颜色上的区别，随机从袋中摸出2个小球，两球恰好是一个黄球和一个红球的概率为（　　）

A．    B．    C．    D．

9．如果正比例函数y=ax（a≠0）与反比例函数y=（b≠0 ）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（﹣3，﹣2），那么另一个交点的坐标为（　　）

A．（2，3）    B．（3，﹣2）    C．（﹣2，3）    D．（3，2）

10．如图1，E为矩形ABCD边AD上一点，点P从点B沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q从点B沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/s．若P，Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm2）．已知y与t的函数图象如图2，则下列结论错误的是（　　）

A．AE=6cm

B．sin∠EBC=

C．当0＜t≤10时，y=t2

D．当t=12s时，△PBQ是等腰三角形

二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）

11．函数中，自变量x的取值范围是　　　　　　．

12．因式分解：ab2﹣a=　　　　　　．

13．扇形的半径为30cm，圆心角为120°，用它做成一个圆锥的侧面，若不计接缝和损耗，则圆锥底面半径为　　　　　　．

14．用大小相同的小三角形摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第n个图案有小三角形的个数是　　　　　　．

15．对任意两实数a、b，定义运算“*”如下：．根据这个规则，则方程2*x=9的解为　　　　　　．

16．如图，梯形OABC中，BC∥AO，O（0，0），A（10，0），B（10，4），BC=2，G（t，0）是底边OA上的动点．

（1）tan∠OAC=　　　　　　．

（2）边AB关于直线CG的对称线段为MN，若MN与△OAC的其中一边平行时，则t=　　　　　　．

三、解答题（共8小题，满分66分）

17．计算：．

18．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AE∥BC，CE⊥AE，垂足为E．

（1）求证：△ABD≌△CAE；

（2）连接DE，线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系？请证明你的结论．

19．如图，某飞机于空中探测某座山的高度，在点A处飞机的飞行高度是AF=3700米，从飞机上观测山顶目标C的俯角是45°，飞机继续以相同的高度飞行300米到B处，此时观测目标C的俯角是50°，求这座山的高度CD．

（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.，tan50°≈1.20）．

20．如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠D=60°且AB=6，过O点作OE⊥AC，垂足为E．

（1）求OE的长；

（2）若OE的延长线交⊙O于点F，求弦AF、AC和弧CF围成的图形的面积S．

21．为了解某校学生的身高情况，随机抽取该校男生、女生进行抽样调查．已知抽取的样本中，男生、女生的人数相同，利用所得数据绘制如下统计图表：（A组：x＜155； B组：155≤x＜160； C组：160≤x＜165； D组165≤x＜170；E组：x≥170）

根据图表提供的信息，回答下列问题：

（1）样本中，男生的身高众数在　　　　　　组，中位数在　　　　　　 组．

（2）样本中，女生的身高在E组的人数有　　　　　　人．

（3）已知该校共有男生400人，女生380人，请估计身高在160≤x＜170之间的学生约有多少人？

22．阅读下列材料：小华遇到这样一个问题：

已知：如图1，在△ABC中，三边的长分别为AB=，AC=，BC=2，求∠A的正切值．

小华是这样解决问题的：

如图2所示，先在一个正方形网格（每个小正方形的边长均为1）中画出格点△ABC（△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），然后在这个正方形网格中再画一个和△ABC相似的格点△DEF，从而使问题得解．

（1）如图2，△DEF中与∠A相等的角为　　　　　　，∠A的正切值为　　　　　　．

（2）参考小华的方法请解决问题：若△LMN的三边分别为LM=2，MN=2，LN=2，求∠N的正切值．

23．某公司装修需用A型板材240块，B型板材180块，A型板材规格是60cm×30cm，B型板材规格是40cm×30cm．现只能购得规格是150cm×30cm的标准板材．一张标准板材尽可能多地裁出A型、B型板材，共有下列三种裁法：（如图是裁法一的裁剪示意图）

（2）若裁完剩余的部分可以拼接成A型或B型板材使用，则至少需要几张标准板材？

（3）若裁完剩余的部分不能拼接成A型或B型板材使用，已知用170张标准板材，可以完成装修任务．请通过计算写出两种剪裁方案（要求：①其中一种方案三种剪裁方法都使用，另一种方案只用到两种剪裁方法；②每种方案需写出使用各种裁剪方法裁剪标准板的张数）．

24．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，矩OABC的位置如图所示，点A，C的坐标分别为（10，0），（0，8），点P是y轴上的一个动点，将△OAP沿AP翻折得到：△O′AP，直线BC与直线O′P交于点E，与直线O′A交于点F．

（1）当O′落在直线BC上时，求折痕AP的长．

（2）当点P在y轴正半轴上时，若△PCE与△POA相似，求直线AP的解析式；

（3）在点P的运动过程中，是否存在某一时刻，使得？若存在，求点P坐标；若不存在，请说明理由．

浙江省金华市婺城区九年级上学期期末数学试卷

参与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）

1．﹣2016的相反数是（　　）

A．    B．    C．6102    D．2016

【考点】相反数．

【分析】根据相反数的定义回答即可．

【解答】解：﹣2016的相反数是2016．

故选；D．

【点评】本题主要考查的是相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．

2．四边形的内角和为（　　）

A．90°    B．180°    C．360°    D．720°

【考点】多边形内角与外角．

【分析】根据多边形内角和公式：（n﹣2）•180°（n≥3）且n为整数）进行计算即可．

【解答】解：四边形的内角和为180°（4﹣2）=360°，

故选：C．

【点评】此题主要考查了多边形内角，关键是掌握多边形内角和计算公式．

3．已知=，则的值是（　　）

A．    B．    C．    D．

【考点】比例的性质．

【分析】根据合比性质，可得的值，再根据反比性质，可得答案．

【解答】解：由合比性质，得=，

由反比性质，得

=，

故选：A．

【点评】本题考查了比例的性质，利用了和比性质：=⇒=，又利用了反比性质：=⇒=．

4．将抛物线y=3x2向上平移1个单位，得到抛物线（　　）

A．y=3（x﹣1）2    B．y=3（x+1）2    C．y=3x2﹣1    D．y=3x2+1

【考点】二次函数图象与几何变换．

【分析】因为函数y=3x2的图象沿y轴向上平移1个单位长度，所以根据左加右减，上加下减的规律，直接在函数上加1可得新函数y=3x2+1．

【解答】解：∵函数y=3x2的图象沿y轴向上平移1个单位长度．

∴y=3x2+1．

故选：D．

【点评】主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．

5．在水平的讲台上放置圆柱形水杯和长方体形粉笔盒（如图），则它的主视图是（　　）

A．图①    B．图②    C．图③    D．图④

【考点】简单组合体的三视图．

【分析】先细心观察原立体图形中圆柱和正方体的位置关系，找到从正面看所得到的图形即可．

【解答】解：圆柱的主视图是矩形，正方体的主视图是正方形，所以它们的主视图是图②．

故选B．

【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．

6．在Rt△ABC中，∠ACB=Rt∠，BC=1，AB=2，则sinA的值为（　　）

A．    B．    C．    D．

【考点】锐角三角函数的定义．

【分析】根据正弦的定义进行计算即可．

【解答】解：∵∠ACB=Rt∠，BC=1，AB=2，

∴sinA==，

故选：A．

【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．

7．已知半径为3的圆⊙O外有一条直线l，已知⊙O与直线l相切，则圆心到直线l的距离为（　　）

A．1    B．2    C．3    D．4

【考点】直线与圆的位置关系．

【分析】连接OP，根据切线的性质得出OP⊥AB，根据垂线段最短得出OP的长最短，得出选项即可．

【解答】解：连接OP，

∵直线AB切⊙O于P，

∴OP⊥AB，

即OP的长是圆心到直线的最短距离，

∴OP=3，

故选C．

【点评】本题考查了点到直线的距离，切线的性质，直线和圆的位置关系的应用，解此题的关键是找出OP的位置，难度适中．

8．在一个不透明的袋中装着3个红球和1个黄球，它们只有颜色上的区别，随机从袋中摸出2个小球，两球恰好是一个黄球和一个红球的概率为（　　）

A．    B．    C．    D．

【考点】列表法与树状图法．

【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两球恰好是一个黄球和一个红球的情况，再利用概率公式即可求得答案．

【解答】解：画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，两球恰好是一个黄球和一个红球的有6种情况，

∴两球恰好是一个黄球和一个红球的为：=．

故选A．

【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

9．如果正比例函数y=ax（a≠0）与反比例函数y=（b≠0 ）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（﹣3，﹣2），那么另一个交点的坐标为（　　）

A．（2，3）    B．（3，﹣2）    C．（﹣2，3）    D．（3，2）

【考点】反比例函数图象的对称性．

【专题】常规题型．

【分析】利用待定系数法求出两函数解析式，然后联立两解析式，解方程组即可得到另一交点的坐标；

或根据两交点关于原点对称求解．

【解答】解：由题设知，﹣2=a•（﹣3），（﹣3）•（﹣2）=b，

解得a=，b=6，

联立方程组得，

解得，，

所以另一个交点的坐标为（3，2）．

或：利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性，可知两个交点关于原点对称，因此另一个交点的坐标为（3，2）．

故选：D．

【点评】本题考查了反比例函数图象的对称性，联立两函数解析式求交点坐标是常用的方法，也是基本的方法，需熟练掌握，另外，利用对称性求解更简单，且不容易出错．

10．如图1，E为矩形ABCD边AD上一点，点P从点B沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q从点B沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/s．若P，Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm2）．已知y与t的函数图象如图2，则下列结论错误的是（　　）

A．AE=6cm

B．sin∠EBC=

C．当0＜t≤10时，y=t2

D．当t=12s时，△PBQ是等腰三角形

【考点】动点问题的函数图象．

【专题】压轴题．

【分析】由图2可知，在点（10，40）至点（14，40）区间，△BPQ的面积不变，因此可推论BC=BE，由此分析动点P的运动过程如下：

（1）在BE段，BP=BQ；持续时间10s，则BE=BC=10；y是t的二次函数；

（2）在ED段，y=40是定值，持续时间4s，则ED=4；

（3）在DC段，y持续减小直至为0，y是t的一次函数．

【解答】解：（1）结论A正确．理由如下：

分析函数图象可知，BC=10cm，ED=4cm，故AE=AD﹣ED=BC﹣ED=10﹣4=6cm；

（2）结论B正确．理由如下：

如答图1所示，连接EC，过点E作EF⊥BC于点F，

由函数图象可知，BC=BE=10cm，S△BEC=40=BC•EF=×10×EF，∴EF=8，

∴sin∠EBC===；

（3）结论C正确．理由如下：

如答图2所示，过点P作PG⊥BQ于点G，

∵BQ=BP=t，

∴y=S△BPQ=BQ•PG=BQ•BP•sin∠EBC=t•t•=t2．

（4）结论D错误．理由如下：

当t=12s时，点Q与点C重合，点P运动到ED的中点，设为N，如答图3所示，连接NB，NC．

此时AN=8，ND=2，由勾股定理求得：NB=，NC=，

∵BC=10，

∴△BCN不是等腰三角形，即此时△PBQ不是等腰三角形．

【点评】本题考查动点问题的函数图象，需要结合几何图形与函数图象，认真分析动点的运动过程．突破点在于正确判断出BC=BE=10cm．

二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）

11．函数中，自变量x的取值范围是　x≠1　．

【考点】函数自变量的取值范围；分式有意义的条件．

【分析】分式的意义可知分母：就可以求出x的范围．

【解答】解：根据题意得：x﹣1≠0，

解得：x≠1．

故答案为：x≠1．

【点评】主要考查了函数自变量的取值范围的确定和分式的意义．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：

（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；

（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；

（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．

12．因式分解：ab2﹣a=　a（b+8）（b﹣8）　．

【考点】提公因式法与公式法的综合运用．

【分析】先提取公因式a，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案，注意分解要彻底．

【解答】解：ab2﹣a=a（b2﹣）=a（b+8）（b﹣8）．

故答案为：a（b+8）（b﹣8）．

【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式的知识．注意因式分解的步骤：先提公因式，再利用公式法分解，注意分解要彻底．

13．扇形的半径为30cm，圆心角为120°，用它做成一个圆锥的侧面，若不计接缝和损耗，则圆锥底面半径为　10cm　．

【考点】圆锥的计算．

【分析】由于弧长=圆锥底面周长==20π，故由底面周长公式可求得圆锥底面的半径．

【解答】解：由题意知：圆锥底面周长==20πcm，

圆锥底面的半径=20π÷2π=10cm．

故答案为：10cm．

【点评】此题主要考查了圆锥的计算，用到的知识点为：弧长=圆锥底面周长；底面半径=底面周长÷2π．

14．用大小相同的小三角形摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第n个图案有小三角形的个数是　3n+4　．

【考点】规律型：图形的变化类．

【分析】观察图形可知，第1个图形共有三角形5+2个；第2个图形共有三角形5+3×2﹣1个；第3个图形共有三角形5+3×3﹣1个；第4个图形共有三角形5+3×4﹣1个；…；则第n个图形共有三角形5+3n﹣1=3n+4个；

【解答】方法一：

解：观察图形可知，第1个图形共有三角形5+2个；

第2个图形共有三角形5+3×2﹣1个；

第3个图形共有三角形5+3×3﹣1个；

第4个图形共有三角形5+3×4﹣1个；

…；

则第n个图形共有三角形5+3n﹣1=3n+4个；故答案为：3n+4

方法二：

当n=1时，s=7，当n=2时，s=10，当n=3时，s=13，

经观察，此数列为一阶等差，

∴设s=kn+b，

，

∴，

∴s=3n+4．

【点评】此题考查了规律型：图形的变化类，解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．

15．对任意两实数a、b，定义运算“*”如下：．根据这个规则，则方程2*x=9的解为　x=﹣3或　．

【考点】一元二次方程的应用．

【专题】新定义．

【分析】根据题意可得2*x=9要分两种情况讨论：①当x≤2时②当x＞2时，分别代入数计算可得到x的值，要根据条件进行取舍．

【解答】解：由题意得：

当x≤2时，2*x=x2=9，

解得：x1=3（不合题意舍去），x2=﹣3，

则x=﹣3，

当x＞2时：2*x=x2+x=9，

解得：x1=，x2=（不合题意舍去），

则x=，

故答案为：x=﹣3或．

【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是看懂公式所表示的意义，根据公式列出一元二次方程．

16．如图，梯形OABC中，BC∥AO，O（0，0），A（10，0），B（10，4），BC=2，G（t，0）是底边OA上的动点．

（1）tan∠OAC=　　．

（2）边AB关于直线CG的对称线段为MN，若MN与△OAC的其中一边平行时，则t=　4或4或10﹣2　．

【考点】梯形；坐标与图形性质；轴对称的性质．

【分析】（1）根据∠OAC=∠ACB求出tan∠ACB即可．

（2）分①A′B′∥OA②A′B′∥AC③A′B′∥OC三种情形讨论即可．

【解答】解：（1）∵BC∥AO，

∴∠OAC=∠ACB，

∵AB=4，BC=2，

∴tan∠OAC=tan∠ACB===．

故答案为．

（2）情形①图1中，当A′B′∥OA时，作CD⊥OA垂足为D，

∵∠BCB′=90°，CG平分∠BCB′，

∴∠GCD=∠NCB′=45°

∴△CGD是等腰直角三角形，

∴DG=CD=4，t=OG=OD﹣GD=8﹣4=4．

情形②图2中，A′B′∥AC，

∵OC=4，AC=2，AO=10，

∴AO2=OC2+AC2，

∴∠OCA=90°，

∵A′B′∥AC，∠A′B′C=90°，

∴点B′在线段OC上，

∵CG平分∠BCB′，BC∥OA，

∴∠BCG=∠OGC=∠OCG，

∴OG=OC==4，

∴t=4．

情形③图3中，A′B′∥OC时，

∵CG平分∠BCB′，BC∥OA，

∴∠ACG=∠B′CE=′BCE=′AGC，

∴AG=AC==2，

∴t=CG=AO﹣AG=10﹣2．

故答案为4或4或10﹣2．

【点评】本题考查平面直角坐标系、对称的性质、勾股定理等知识，正确画出图象是解题的关键，学会分类讨论，注意不能漏解．

三、解答题（共8小题，满分66分）

17．计算：．

【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．

【专题】计算题．

【分析】原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用负指数幂法则计算，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．

【解答】解：原式=1+2+2×﹣

=1+2+﹣

=3．

【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

18．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AE∥BC，CE⊥AE，垂足为E．

（1）求证：△ABD≌△CAE；

（2）连接DE，线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系？请证明你的结论．

【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质．

【专题】证明题．

【分析】（1）运用AAS证明△ABD≌△CAE；

（2）易证四边形ADCE是矩形，所以AC=DE=AB，也可证四边形ABDE是平行四边形得到AB=DE．

【解答】证明：（1）∵AB=AC，

∴∠B=∠ACD，

∵AE∥BC，

∴∠EAC=∠ACD，

∴∠B=∠EAC，

∵AD是BC边上的中线，

∴AD⊥BC，

∵CE⊥AE，

∴∠ADC=∠CEA=90°

在△ABD和△CAE中

∴△ABD≌△CAE（AAS）；

（2）AB=DE，AB∥DE，如右图所示，

∵AD⊥BC，AE∥BC，

∴AD⊥AE，

又∵CE⊥AE，

∴四边形ADCE是矩形，

∴AC=DE，

∵AB=AC，

∴AB=DE．

∵AB=AC，

∴BD=DC，

∵四边形ADCE是矩形，

∴AE∥CD，AE=DC，

∴AE∥BD，AE=BD，

∴四边形ABDE是平行四边形，

∴AB∥DE且AB=DE．

【点评】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，矩形的判定与性质以及平行四边形的判定与性质，难度不大，比较灵活．

19．如图，某飞机于空中探测某座山的高度，在点A处飞机的飞行高度是AF=3700米，从飞机上观测山顶目标C的俯角是45°，飞机继续以相同的高度飞行300米到B处，此时观测目标C的俯角是50°，求这座山的高度CD．

（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.，tan50°≈1.20）．

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．

【专题】应用题．

【分析】设EC=x，则在RT△BCE中，可表示出BE，在Rt△ACE中，可表示出AE，继而根据AB+BE=AE，可得出方程，解出即可得出答案．

【解答】解：设EC=x，

在Rt△BCE中，tan∠EBC=，

则BE==x，

在Rt△ACE中，tan∠EAC=，

则AE==x，

∵AB+BE=AE，

∴300+x=x，

解得：x=1800，

这座山的高度CD=DE﹣EC=3700﹣1800=1900（米）．

答：这座山的高度是1900米．

【点评】此题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是两次利用三角函数的知识，求出BE及AE的表达式，属于基础题，要能将实际问题转化为数学计算．

20．如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠D=60°且AB=6，过O点作OE⊥AC，垂足为E．

（1）求OE的长；

（2）若OE的延长线交⊙O于点F，求弦AF、AC和弧CF围成的图形的面积S．

【考点】扇形面积的计算；含30度角的直角三角形；垂径定理；圆周角定理．

【分析】（1）根据∠D=60°，可得出∠B=60°，继而求出BC，判断出OE是△ABC的中位线，就可得出OE的长；

（2）连接OC，将阴影部分的面积转化为扇形FOC的面积．

【解答】解：（1）∵∠D=60°，

∴∠B=60°（圆周角定理），

又∵AB=6，

∴BC=3，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∵OE⊥AC，

∴OE∥BC，

又∵点O是AB中点，

∴OE是△ABC的中位线，

∴OE=BC=；

（2）连接OC，

则易得△COE≌△AFE，

故阴影部分的面积=扇形FOC的面积，

S扇形FOC==π．

即可得阴影部分的面积为π．

【点评】本题考查了扇形的面积计算、含30°角的直角三角形的计算及圆周角定理及垂径定理的知识，综合考察的知识点比较多，难点在第二问，注意将不规则图形转化为规则图形．

21．为了解某校学生的身高情况，随机抽取该校男生、女生进行抽样调查．已知抽取的样本中，男生、女生的人数相同，利用所得数据绘制如下统计图表：（A组：x＜155； B组：155≤x＜160； C组：160≤x＜165； D组165≤x＜170；E组：x≥170）

根据图表提供的信息，回答下列问题：

（1）样本中，男生的身高众数在　B　组，中位数在　C　 组．

（2）样本中，女生的身高在E组的人数有　2　人．

（3）已知该校共有男生400人，女生380人，请估计身高在160≤x＜170之间的学生约有多少人？

【考点】频数（率）分布直方图；用样本估计总体；扇形统计图；中位数；众数．

【分析】（1）根据众数和中位数的概念进行解答；

（2）根据男生和女生的人数相等求出女生人数，求出女生的身高在E组的人数的百分比，计算即可；

（3）求出身高在160≤x＜170之间女生人数和男生人数即可．

【解答】解：（1）男生身高在B组的人数最多，

所以男生的身高众数在B组，

男生人数为4+12+10+8+6=40，

∴中位数是第20和21个数的平均数，所以中位数在C组；

（2）女生的身高在E组的人数为40×（1﹣17.5%﹣37.5%﹣25%﹣15%）=2人；

（3）400×+380×40%=332人，

答：身高在160≤x＜170之间的学生约有332人．

【点评】本题考查的是频数分布直方图，掌握用样本估计总体的方法、正确读懂扇形图的信息、理解中位数和众数的概念是解题的关键．

22．阅读下列材料：小华遇到这样一个问题：

已知：如图1，在△ABC中，三边的长分别为AB=，AC=，BC=2，求∠A的正切值．

小华是这样解决问题的：

如图2所示，先在一个正方形网格（每个小正方形的边长均为1）中画出格点△ABC（△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），然后在这个正方形网格中再画一个和△ABC相似的格点△DEF，从而使问题得解．

（1）如图2，△DEF中与∠A相等的角为　∠D　，∠A的正切值为　　．

（2）参考小华的方法请解决问题：若△LMN的三边分别为LM=2，MN=2，LN=2，求∠N的正切值．

【考点】作图—相似变换．

【分析】（1）先证明△DEF∽△ACB得∠D=∠A，根据tan∠A=tan∠D即可解决．

（2）构造一个△RKT∽△MLN得∠T=∠N，根据tan∠N=tan∠T即可解决．

【解答】解：（1）由图2 可知DE=2，EF=2，DF=2，AB=，AC=，BC=2，

∵，

∴△DEF∽△ACB，

∴∠D=∠A，

∴tan∠A=tan∠D=，

故答案分别为∠D，

（2）在图3中，作一个△RKT，使得PK=，RT=，KT=5，

∵LM=2，NM=2，LN=2，

∴=，

∴△RKT∽△MLN，

∴∠T=∠N，

∴tan∠N=tan∠T=．

【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、勾股定理、三角函数的定义等知识，学会用转化的数学思想解决问题，构造一个三角形和已知三角形相似是解题的关键．

23．某公司装修需用A型板材240块，B型板材180块，A型板材规格是60cm×30cm，B型板材规格是40cm×30cm．现只能购得规格是150cm×30cm的标准板材．一张标准板材尽可能多地裁出A型、B型板材，共有下列三种裁法：（如图是裁法一的裁剪示意图）

（2）若裁完剩余的部分可以拼接成A型或B型板材使用，则至少需要几张标准板材？

（3）若裁完剩余的部分不能拼接成A型或B型板材使用，已知用170张标准板材，可以完成装修任务．请通过计算写出两种剪裁方案（要求：①其中一种方案三种剪裁方法都使用，另一种方案只用到两种剪裁方法；②每种方案需写出使用各种裁剪方法裁剪标准板的张数）．

【考点】二元一次方程组的应用．

【分析】（1）按裁法二裁剪时，2块A型板材块的长为120cm，150﹣120=30，所以无法裁出B型板，按裁法三裁剪时，3块B型板材块的长为120cm，120＜150，而4块B型板材块的长为160cm＞150所以无法裁出4块B型板；

（2）根据裁法一和裁法二及裁法三的剩余量分析得出至少需要2张板材；

（3）设裁法一用x张，裁法二用y张，则裁法三用（170﹣x﹣y）张，列出方程组解答即可．

【解答】解：（1）按裁法二裁剪时，2块A型板材块的长为120cm，150﹣120=30，所以无法裁出B型板，

按裁法三裁剪时，3块B型板材块的长为120cm，120＜150，

而4块块B型板材块的长为160cm＞150cm，所以无法裁出4块B型板；

则m=0，n=3；

（2）裁法一的剩余量是150﹣60﹣40﹣40=10

裁法二的剩余量是150﹣60﹣60=30；

裁法三的剩余量是150﹣40﹣40﹣40=30；

拼接成A型可用裁法二和裁法三共2张，拼接成B型可用裁法一和裁法二共2张，

故可得至少需2张板材；

（3）方案一：三种裁法都用，

设裁法一用x张，裁法二用y张，则裁法三用（170﹣x﹣y）张，列出方程组

解得：

答：裁法一用60张，裁法二用90张，裁法三用20张，共用170张；

方案二：用裁法一用x张，裁法二用y张，列出方程组

解得：

答：裁法一用90张，裁法二用75张，共用165张

【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，在做题时要明缺所裁出A型板材和B型板材的总张数不能超过170张．

24．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，矩OABC的位置如图所示，点A，C的坐标分别为（10，0），（0，8），点P是y轴上的一个动点，将△OAP沿AP翻折得到：△O′AP，直线BC与直线O′P交于点E，与直线O′A交于点F．

（1）当O′落在直线BC上时，求折痕AP的长．

（2）当点P在y轴正半轴上时，若△PCE与△POA相似，求直线AP的解析式；

（3）在点P的运动过程中，是否存在某一时刻，使得？若存在，求点P坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】相似形综合题．

【分析】（1）先在RT△ABO′求出BO′，设PO=PO′=x，在RT△PCO′中利用勾股定理解决即可．

（2）当∠CPE=∠APO时得∠CPE=∠APO=∠APO′=60°求出OP=OA即可．当∠CPE=∠OAP时，∠CEP=∠APO=∠APO′，此时AP∥EC，显然不可能．

（3）分四种情形讨论，在RT△PCE中利用E2=PC2+CE2列出方程求解．

【解答】解：（1）图1，当O′落在直线BC上时，在RT△ABO′中，∵AO′=10，AB=8，

∴BO′===6，

∵△APO′是由△AOP翻折，

∴可以设PO=PO′=x，

在RT△PCO′中，∵PO′2=PC2+CO′2，

∴x2=（8﹣x）2+42，

∴x=5，

∴AP===5，

（2）当∠CPE=∠APO时，

∵∠CPE=∠APO=∠APO′=60°，

∴OP=OA=，

设直线AP为y=kx+b，由题意解得，

∴直线AP为y=﹣x+．

当∠CPE=∠OAP时，∠CEP=∠APO=∠APO′，此时AP∥EC，显然不可能．

（3）情形1如图2中，∵CE=BC=2，

∴BE=8，AE==8，EO′==2，

设OP=x，在RT△PCE中，∵PE2=PC2+CE2，

∴（x﹣2）2=（8﹣x）2+22，

∴x=，此时P[0，]，

情形2如图3中，同理O′E=2，

设OP=x，在RT△PCE中，∵PE2=PC2+CE2，

∴（x+2）2=（8﹣x）2+22，

∴x=，此时P[0，]，

情形3如图4中，AE===4，

EO′==6，

设OP=x，在RT△PCE中，∵PE2=PC2+CE2，

∴（6﹣x）2=（x﹣8）2+22，

∴x=，此时P[0，]，

情形4如图5中，设OP=x，在RT△PCE中，∵PE2=PC2+CE2，

∴（6﹣x）2=（x+8）2+22，

∴x=，此时P[0，]．

【点评】本题考查矩形的性质、勾股定理等知识，用到转化的思想，分类讨论的方法，灵活运用勾股定理是解题的关键，分类讨论时考虑问题要全面．