一阶微分方程的解法探讨

中英文摘要    1

第一章 引言    2

第二章 可分离变量类型的一阶微分方程    2

    2.1 变量分离方程    2

    2.2 可化为变量分离方程类型    2

第三章 一阶线性微分方程    6

    3.1 一阶齐次方程    6

    3.2 一阶非齐次方程    6

    3.3 伯努利方程    7

    3.4 黎卡提方程    8

第四章 恰当微分方程    10

    4.1 恰当微分方程    10

    4.2 积分因子    11

第五章 高次微分方程    13

第六章  结论    14

致谢    15

参考文献    15

一阶微分方程的解法探讨

陈棋

（数学与应用数学系 指导教师：柳志千）

摘要：本文主要是给出了一阶微分方程的初等积分法.其中,常用的方程类型有三种：一、可分离变量类型的方程,包括可直接进行分离变量的方程、齐次方程及通过变量替换化成齐次方程的方程；二、介绍了一阶线性方程、伯努利方程以及黎卡提方程,其中对于一阶线性非齐次方程采用常数变易法、积分法和公式法这三种解法；三、恰当微分方程和积分因子,并简要的介绍了一阶高次微分方程.在此基础上,结合部分经典的例子来进行对一阶微分方程的解法进行探讨来加深对解法的认识.本文的主要目的是为了帮助初学者理清一阶常微分方程的初等积分法的解法思路,方便于教师的教学.

关键词：一阶微分方程；初等积分法；高次微分方程；积分因子

To explore the solution to the first-order differential equations

Chen Qi

(Mathematics and Applied Mathematics Department, Advisor: Liu Zhiqian)

Abstract: This article mainly gives the first-order differential equation of elementary integral method. Among them, there are three kinds of commonly used equation types: First, the types of equations of separable variables, including the separation of variables can be directly to the equation, homogeneous equation and the equation by variable substitution into homogeneous equation;Second, introduced the first order linear equation, Bernoulli equation and the Riccati equations, one for order nonhomogeneous linear equations with constant variation method, the integral method and formula method these three solutions;Third, exact differential equation and integral factor, and briefly introduces the first-order of high order differential equation. On this basis, combined with some classic examples of solutions of first order differential equation is discussed to deepen our understanding of solutions. The main purpose of this article is to help beginners to untangle the elementary integral method of first order ordinary differential equation solution concept, convenient in teachers' teaching. 

Key words:  First-order differential equation ; High order differential equation ; Constant variation method;Integrating factor 

一、引言

微分方程已越来越成为一门活跃的数学分支,在现实世界中扮演着重要的角色.而常微分方程是数学系学子必修的一门应用广泛的专业基础课,该课程在对思维能力的培养是十分有用的.同时,它对分析能力的促进有着非常关键的作用.通过对该课程的学习,我们知道微分方程的解法是多样的,它没有通用的解法,这给初学该课程的学生造成了一定的困难,不利于教学的实施,故探讨一阶微分方程的各种解法及其思想是十分必要的.

或两种一般形式的一阶微分方程是我们熟知的[1].通过对常微分课程的学习,我们知道解法的多样性导致了它的复杂性.本文主要探讨某些一阶微分方程类型的相应的求解方法.

二、可分离变量类型的一阶微分方程[2]

2.1 变量分离方程 

一个能改写成的形式的微分方程,我们就把这样的方程称为可变量分离的方程.对该方程的两边直接进行积分就是这类方程的最直接的解法[3].即：

                （为任意常数）

2.2 可化为变量方程方程类型[4]

(1) 齐次方程：可化为的形式的方程[5].注意到右端仅是关于的一元函数,引入,这首先简化了方程；其次, ,就化为关于的方程：

                                      （1）

即：

                                       （2）

我们可以看到,式子（2）是一个典型的类型2.1的方程.这样就求解了齐次方程问题.

(2)形如

的方程[6]也是一类可经过相应的变量替换转化为可变量分离方程.我们要注意的是这里所表示的均是常数.

对于上面这种形式的方程,我们的做法就主要是分三种情形来进行讨论：

1)（常数）情形.

那么,自然地化为如下：

则方程有通解：

其中为任意常数.

2)情形.

令这时有：

是变量分离方程.

3)情形

当不都是为零的时候,且满足分式是关于的一次多项式,我们的想法联立：

                                 （3）

求解,设解为这时我们就令：

                                          （4）

并代入方程组（3）.这时方程组就自然变成如下：

从而：

接下来,要做的工作只需对上述的方程求解并代回原变量就好.

如果方程中可不必要去求方程组（3）,我们可直接取变量替换即可.

可分离变量类型的方程是一阶微分方程中最基本的方程[7],这样的思想在上述的讨论中显而易见.我们在用初等积分法求解的时候,主要的思路是通过去寻找恰当的变量替换转化成我们所熟悉的方程类型.

例1   求方程的通解.

解：原方程可以变形为：

当时,分离变量并进行积分,得：

即因此

即：

这里所出现的,它是任意常数,但于是得该方程的解为：

又因也是方程的解,并且它可以看成是方程的解的表达式中得到的.故该方程的通解为

例2求解微分方程  

解：将原方程整理后,得：

可以看出,这是一个关于的一阶线性齐次微分方程.这时,我们作变量替换,令,我们知道有这样的式子成立.现将该式子代入整理后的方程,则该方程就变成如下形式：

分离变量得：

积分后,得通解为：

即当时,

在这里是一任意常数.

可以注意到方程还有另一个解,即

最后,通解中替换.得通解为：

它是在轴的整个负半轴上定义的.

例3求方程

的通解.

解：对于该方程,联立：

解得方程组有解令

将其代入原方程,即可以得到这是一个关于新变量的齐次方程,为：

可以看出,上式是关于的齐次方程.接着,我们作变量替换可得：

分离变量后积分得：

最后将变量逐个还原,整理得通解：

                （为任意常数）

    评注：本题是上述的最后一种类型.对它求解,是通过坐标平移先转化成齐次方程求解.

三、一阶线性微分方程

一阶线性方程[8]：形如的微分方程.它分为两类：当时,称作齐次方程； 当时,称作是非齐次方程.

3.1 线性齐次方程

对于一阶齐次线性方程的解法,其中一种最常用的解法是运用类型一中齐次方程的解法；而另一思路是恒等变形化成一函数的导函数.得其解为.

3.2 线性非齐次方程

本文主要介绍三种方法.

1.常数变易法：解决方程的最常用的方法.思路是先用变量分离法求相应的齐次方程的通解,从上文知方程的解为,然后,我们将解中的换成关于的待定函数.令

           （5）

微分可得到：

              （6）

式（5）,（6）代入,得：

即：

积分之后得到：

                       （为任意常数）       

代入式（5）,得解为：

2.积分因子法：将乘以积分因子.那么原来的式子可改写成积分得通解：

3.公式法：此方法过于固定,适用场合有限.根据非齐次方程的通解公式为：

.

3.3 伯努利方程[9] [10]

形如：

            （是一常数） （7）

且函数都是关于自变量连续的.

此类方程是通过变量替换求解的.对于,以乘式子（7）的两边,得：

用变量作替换,有：

                                    （8）

将式（8）代（7）,得：

为类型3.2方程.通解为：

其中上式的是任意常数.

3.4 黎卡提方程[11]

黎卡提方程是形如

的微分方程. 一般情况,该方程没有初等解法.

特殊类型的一阶可求解的黎卡提方程主要有下面情况：

（1）如果都是常数时,此类方程是类型2.1.

（2）如果时,此类方程是类型3.2.

（3）如果时,此类方程是3.3.

（4）如果黎卡提方程为

时,那么,可利用变量替换从而将上述方程转化为可变量分离的方程

（5）若是黎卡提方程的一个特解,则在求解离开方程的过程,就可作变换将代入原方程后,可得:

因为是它的一个特解,从而消去相关项可得：

这是一个伯努利方程,可以利用类型3.3进行求解.

    （6）若方程为

其中都是常数.满足：

当且时,且

时,黎卡提方程就可通过作变量替换,进而转化成我们熟悉的可分离变量的方程.

例4求微分方程方程

的通解.

解：方程是类型3.2的形,其中.因此,首先方程两边同乘以,即：

由成立和条件,故原方程与方程

是等价的.由上式中的导数为零,于是可知有结论.综上可得,此方程的通解为：

其中为一任意常数

    评注：本题给出了求一阶线性非齐次方程的积分因子法.本题同样可看成可分离变量微分方程类型. 

例5求微分方程

的通解.

解：首先,将原方程乘以式子.就可以得到：

接着,作的变量替换.由于则：

由类型3.2公式法得：

从而原方程的通解为：

其中为一任意常数.

    评注：当方程不是可直接求解的类型时,利用适当的变量替换可以转化成类型3.2方程.本题用公式法,简化了繁琐的求解过程.

例6  求黎卡提方程

的通解.

解：与上述类型3.4的（6）相比可得：

故此方程满足（6）的条件.令

代入方程整理后可得：

这是一个关于变量的齐次方程.选择恰当的齐次方程的解法进行求出它的解,得通解为：

这里的是一任意常数.

    评注：本题是一黎卡提方程的特例,可用类型3.4的（6）求解,关键在于寻找恰当的变量替换.

四、恰当微分方程

4.1 恰当微分方程

一阶微分方程其中在某矩形区域内, 和一阶偏导数关于是连续的.如果左边可为：    

故该方程的通解是： 是任意常数.

4.2 积分因子

微分方程本身不是恰当的,但也有形式的方程,有时候只需乘上一个适当的因子,即

就能成为一个恰当微分方程.而在这个过程中,我们把像这样功能的因子称为的一个积分因子.

在对积分因子的求解时,我们常感觉到无从下手.基于此,本文主要介绍四种常用的求积分因子的方法：

1．观察法.这是需要平时积累的,要靠已有的经验的方法.在解一阶微分方程的过程中,我们最常采用的积分因子有以下几种形式,分别为：

2.公式法. 求积分因子的其中一种方法.原理是利用积分因子满足的微分方程来求得.积分因子满足：

3.分组组合法. 一个微分方程如果可作下面组合：

并且满足式子：

只需找寻满足式子成立的适当的可微函数和.那么,可知原方程的积分因子为.

    4.待定系数法.对于方程的系数是对称的多项式时,常可用此法求积分因子.我们可假设方程有像,为这样形式的积分因子.接着,以恰当微分方程所要满足的充要条件和积分因子的含义作为依据.要想求出待定常数和,只需对得到的系数进行相应的比较.

例7  求方程的通解.

解：展开为：

合并后可得：

即方程为：

对方程两端作积分.从而可求得通解为：    

   例8  求方程的通解.

     解：将方程改写成：

再对此方程进行整理可得

取积分因子.得：

即通解为

（为任一常数）

注意方程还有解.

例9  求方程的通解.

解：由于

所以,原方程不是恰当微分方程.将原方程的各项进行重新组合后可得：

对于项有积分因子或者,而对于这项的积分因子可看出只与变量有关.因此,在本题中,可以取作为积分因子.有：

接着,可以进行对两端积分.经过积分可得到此方程的通解为：

此外,应该注意在这个方程中还存在解为.通过比较可知它并不在通解中.                      

五、高次微分方程

   前面我们讨论了三大类一阶微分方程的类型,都是常见的.它们几乎都存在着共同的特征,即不涉及到如果是高次的情况.下面,我们就来讨论这一情况.

一阶常系数高次微分方程即具有[8]

      （是常数）

这样的形式.

     当方程为是一阶线性齐次方程.变形为,即,可用类型3.1的方法求解.解为：（为任意常数）.

    类比次数为时,有解为（为一待定常数）.则应该满足特征方程

成立.我们只需求出该次方程的值,即可得方程的解.

若是重根时,有解为（为一任意常数）；

若都是单根时,有解为（为一任意常数）.

例10  求微分方程

的通解.

解：即解,则.根为则解为：

（为一任意常数）.

     例11  求微分方程 

的通解.

解：即解则根为

解为：

         （为一任意常数）

六、结论

 本文中,主要探讨了一阶微分方程的类型的解法.尤其是对可用初等积分法[[11]的三大类微分方程类型进行求解以及简要探讨了高次微分方程的解法原理,并结合相应的例题对解法进行深层次的理解.本文分析、讨论了一阶微分方程的解法中,我们可以清晰地看到：面对具体的微分方程的求解问题时,我们首先应该了解方程的特点进而拓宽自己的思路,同一个方程有不同的求解方法,要灵活的运用合适的方法来逐步的推进,并最终解决问题. 一方面,本文对一阶微分方程的解法探讨将在一定程度上有助于初学者理清一阶常微分的解法间的联系与区别,达到更容易的学好常微分这门课,从而促使教师教学的顺利开展.

致谢

本论文是在指导老师柳志千的悉心指导下完成的.在此,谨向柳志千老师表示崇高的敬意和衷心的感谢!

参考文献

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