2020年高考真题数学(浙江卷)含答案

2020年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）

数 学

本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共4页，选择题部分1至2页；非选择题部分3至4页。满分150分。考试用时120分钟。 考生注意：

1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上。

2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。 参考公式：

如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A ，B 相互，那么()()()P AB P A P B = 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率

()C (1)

(0,1,2,,)k k n k

n n P k p p k n −=−=L 台体的体积公式11221

()3

V S S S S h =++

其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高

柱体的体积公式V Sh =

其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式1

3

V Sh =

其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 球的表面积公式

24S R =π 球的体积公式 343

V R =

π 其中R 表示球的半径

选择题部分（共40分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1．已知集合P ={|14}x x <<，Q={|23}x x <<，则P I Q = A ．{|12}x x <≤ B ．{|23}x x << C ．{|34}x x ≤<

D ．{|14}x x <<

2．已知a ∈R ，若a –1+(a –2)i(i 为虚数单位)是实数，则a =

A ．1

B ．–1

C ．2

D ．–2

3．若实数x ，y 满足约束条件310

30

x y x y −+≤⎧⎨+−≥⎩，则2z x y =+的取值范围是

A ．(,4]−∞

B ．[4,)+∞

C ．[5,)+∞

D ．(,)−∞+∞

4．函数y =x cos x +sin x 在区间[–π，π]上的图象可能是

5．某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积（单位：cm 3）是

A ．

73

B ．

143

C ．3

D ．6

6．已知空间中不过同一点的三条直线l ，m ，n ．“l ，m ，n 共面”是“l ，m ，n 两两相交”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

7．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差0d ≠，且1

1a d

≤．记12b S =，1222–n n n b S S ++=，n *∈N ，下列等式不可能．．．成立的是 A ．4262a a a =+

B ．4262b b b =+

C ．2

428a a a =

D ．2

428b b b =

8．已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|PA |–|PB |=2，且P 为函数234y x =−图象上的

点，则|OP |= A ．

222

B ．

410

5

C ．7

D ．10

9．已知a ，b ∈R 且ab ≠0，对于任意x ≥0均有(x –a )(x–b )(x–2a–b )≥0，则 A ．a <0

B ．a >0

C ．b <0

D ．b >0

10．设集合S ，T ，S ⊆N *，T ⊆N *，S ，T 中至少有2个元素，且S ，T 满足：①对于任意的x ，y ∈S ，若

x ≠y ，则xy ∈T ；②对于任意的x ，y ∈T ，若x x

∈S ．下列命题正确的是 A ．若S 有4个元素，则S ∪T 有7个元素 B ．若S 有4个元素，则S ∪T 有6个元素 C ．若S 有3个元素，则S ∪T 有5个元素 D ．若S 有3个元素，则S ∪T 有4个元素

非选择题部分（共110分）

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。 11．我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列(1)

{

}2

n n +就是二阶等差数列．数列*(1)

{

}()2

n n n +∈N 的前3项和是_______． 12．二项展开式23450123545(2)1x a a x a x a x a x a x ++++++=，则4a =_______，135a a a ++=________． 13．已知tan 2θ=，则cos 2θ=_______，π

tan()4

θ−=_______．

14．已知圆锥的侧面积（单位：cm 2）为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：

cm ）是_______．

15．已知直线(0)y kx b k =+>与圆221x y +=和圆22(4)1x y −+=均相切，则k =_______，b =_______． 16．盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球．从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取

出红球为止．设此过程中取到黄球的个数为ξ，则(0)P ξ==_______，()E ξ=_______．

17．已知平面单位向量1e ，2e 满足122|2|−≤e e ．设12=+a e e ，123=+b e e ，向量a ，b 的夹角为θ，则

2cos θ的最小值是_______．

三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18．（本题满分14分）

在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知2sin 30b A a −=．

（Ⅰ）求角B 的大小；

（Ⅱ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围． 19．（本题满分15分）

如图，在三棱台ABC —DEF 中，平面ACFD ⊥平面ABC ，∠ACB =∠ACD =45°，DC =2BC ． （Ⅰ）证明：EF ⊥DB ；

（Ⅱ）求直线DF 与平面DBC 所成角的正弦值．

20．（本题满分15分）

已知数列{a n }，{b n }，{c n }满足111112

1,,,n

n n n n n n b a b c c a a c c n b +++====−=

∈*N ． （Ⅰ）若{b n }为等比数列，公比0q >，且1236b b b +=，求q 的值及数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）若{b n }为等差数列，公差0d >，证明：*1231

1,n c c c c n d

++++<+∈N L ． 21．（本题满分15分）

如图，已知椭圆2

21:12

x C y +=，抛物线22:2(0)C y px p =>，点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点

A 的直线l 交椭圆1C 于点

B ，交抛物线2

C 于点M （B ，M 不同于A ）． （Ⅰ）若1

16

p =

，求抛物线2C 的焦点坐标； （Ⅱ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．

22．（本题满分15分）

已知12a <≤，函数()e x

f x x a =−−，其中e=2.71828…是自然对数的底数．

（Ⅰ）证明：函数()y f x =在(0,)+∞上有唯一零点；

（Ⅱ）记x 0为函数()y f x =在(0,)+∞上的零点，证明：

（ⅰ）012(1)a x a −≤≤−； （ⅱ）00(e )(e 1)(1)x x f a a ≥−−．

参

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，共40分。

1．B 2．C 3．B 4．A 5．A 6．B

7．D

8．D

9．C

10．A

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

11．10

12．80,122 13．31,53

−

14．1

15．

323

,33

−

16．1,13

17．

28

29

三、解答题：本大题共5小题，共74分。

18．本题主要考查三角函数及其变换、正弦定理等基础知识，同时考查数算等素养。满分14分。

（Ⅰ）由正弦定理得2sin sin 3sin B A A =，故3sin 2

B =， 由题意得π3

B =

. （Ⅱ）由πA B C ++=得2π

3

C A =

−， 由ABC △是锐角三角形得ππ

(,)62

A ∈.

由2π13cos cos(

)cos sin 322

C A A A =−=−+得 311π1313

cos cos cos sin cos sin()(,]2226222

A B C A A A +++=

++=++∈. 故cos cos cos A B C ++的取值范围是313

(

,]22

+. 19．本题主要考查空间点、线、面位置关系，直线与平面所成的角等基础知识，同时考查直观想象和数

算等素养。满分15分。

（Ⅰ）如图，过点D 作DO AC ⊥，交直线AC 于点O ，连结OB .

由45ACD ∠=︒，DO AC ⊥得2CD CO =，

由平面ACFD ⊥平面ABC 得DO ⊥平面ABC ，所以DO BC ⊥. 由45ACB ∠=︒，12

22

BC CD CO ==得BO BC ⊥.

所以BC ⊥平面BDO ，故BC ⊥DB .

由三棱台ABC DEF −得BC EF ∥，所以EF DB ⊥. （Ⅱ）方法一：

过点O 作OH BD ⊥，交直线BD 于点H ，连结CH .

由三棱台ABC DEF −得DF CO ∥，所以直线DF 与平面DBC 所成角等于直线CO 与平面DBC 所成角. 由BC ⊥平面BDO 得OH BC ⊥，故OH ⊥平面BCD ，所以OCH ∠为直线CO 与平面DBC 所成角. 设22CD =.

由2,2DO OC BO BC ====，得2

6,33

BD OH ==， 所以3

sin 3

OH OCH OC ∠=

=

， 因此，直线DF 与平面DBC 所成角的正弦值为3

3. 方法二：

由三棱台ABC DEF −得DF CO ∥，所以直线DF 与平面DBC 所成角等于直线CO 与平面DBC 所成角，记为θ.

如图，以O 为原点，分别以射线OC ，OD 为y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O xyz −.

设22CD =.

由题意知各点坐标如下：

(0,0,0),(1,1,0),(0,2,0),(0,0,2)O B C D .

因此(0,2,0),(1,1,0),(0,2,2)OC BC CD ==−=−u u u r u u u r u u u r

. 设平面BCD 的法向量(,,z)x y =n .

由0,0,BC CD ⎧⋅=⎪

⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n 即0220x y y z −+=⎧⎨−+=⎩

，可取(1,1,1)=n .

所以|3

sin |cos ,|3

|||OC OC OC θ⋅===⋅u u u r u u u r u u u

r n |n n |. 因此，直线DF 与平面DBC 所成角的正弦值为

33

. 20．本题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，同时考查数算和逻辑推理等素养。满分15分。

（Ⅰ）由1236b b b +=得216q q +=，解得12

q =． 由14n n c c +=得14n n c −=．

由1

14n n n a a −+−=得12

142

1443

n n n a a −−+=++++=L ．

（Ⅱ）由12n n n n b c c b ++=

得12111

111

()n n n n n b b c d c b b d b b +++==−， 所以1231

11(1)n n d c c c c d b ++++++=

−L ， 由11b =，0d >得10n b +>，因此*1231

1,n c c c c n d

++++<+

∈N L ． 21．本题主要考查抛物线的几何性质，直线与椭圆、抛物线的位置关系等基础知识，同时考查数学抽象、数

算与逻辑推理等素养。满分15分。 （Ⅰ）由1

16

p =

得2C 的焦点坐标是1(,0)32．

（Ⅱ）由题意可设直线:(0,0)l x my t m t =+≠≠，点00(,)A x y ．

将直线l 的方程代入椭圆2

21:12x C y +=得222(2)220m y mty t +++−=，

所以点M 的纵坐标22

M mt

y m =−+．

将直线l 的方程代入抛物线22:2C y px =得2220y pmy pt −−=，

所以02M y y pt =−，解得202(2)

p m y m

+=，

因此22

02

2(2)p m x m +=．

由22

0012

x y +=得2421224()2()160m m p m m =+++≥，

所以当2m =，10

5

t =

时，p 取到最大值1040．

22．本题主要考查函数的单调性、零点，导数的运算及其应用，同时考查数学抽象、逻辑推理与数算等

素养。满分15分。

（Ⅰ）因为(0)10f a =−<，22(2)e 2e 40f a =−−≥−>，所以()y f x =在(0,)+∞上存在零点． 因为()e 1x f x '=−，所以当0x >时，()0f x '>，故函数()f x 在[0,)+∞上单调递增， 所以函数以()y f x =在(0,)+∞上有唯一零点．

（Ⅱ）（ⅰ）令2

1()e 1(0)2

x

g x x x x =−

−−≥，()e 1()1x g'x x f x a =−−=+−， 由（Ⅰ）知函数()g'x 在[0,)+∞上单调递增，故当0x >时，()(0)0g'x g'>=， 所以函数()g x 在[0,)+∞单调递增，故()(0)0g x g ≥=． 由(2(1))0g a −≥得2(1)

0(2(1))e

2(1)0()a f a a a f x −−=−−−≥=，

因为()f x 在[0,)+∞单调递增，故02(1)a x −≥． 令2()e 1(01)x h x x x x =−−−≤≤，()e 21x h'x x =−−，

令1()e 21(01)x h x x x =−−≤≤，1()e 2x

h'x =−，所以

x 0

(0,ln 2)

ln 2 (ln 2,1) 1 1()h'x

1− −

+

e 2− 1()h x 0

] Z

e 3−

故当01x <<时，1()0h x <，即()0h'x <，所以()h x 在[0,1]单调递减， 因此当01x ≤≤时，()(0)0h x h ≤=． 由(1)0h a −≤得1

0(1)e

10()a f a a a f x −−=−−−≤=，

因为()f x 在[0,)+∞单调递增，故01a x −≤． 综上，012(1)a x a −≤≤−．

（ⅱ）令()e (e 1)1x u x x =−−−，()e (e 1)x u'x =−−，所以当1x >时，()0u'x >， 故函数()u x 在区间[1,)+∞上单调递增，因此()(1)0u x u ≥=．

由00e x x a =+可得022

000000(e )()(e 1)(e 2)(e 1)x a a x f x f x a x a x ax =+=−+−≥−，

由01x a ≥−得00(e )(e 1)(1)x x f a a ≥−−．