《函数的单调性与导数》公开课教学设计

（泉州市级公开周）

    导数与函数的单调性是导数应用中最基本、最重要的知识点，导数的所有应用都离不开单调性，而单调性的基础是解不等式，这类题型是历年高考的热点，也是难点，针对这类基础薄弱的学生，起点不宜太高，只能从最基础的部分拾起，以题目贯穿内容，逐级而上. 

教学方法：

    提示练习探讨法

高考解读

一、复习引入

1.回顾基本函数的导数公式

2.回顾导数运算法则

3.函数的导数与单调性的关系

函数y=f(x)在某个区间内可导,

(1)若f '(x)>0,则f(x)在这个区间内　单调递增    ;

(2)若f '(x)<0,则f(x)在这个区间内　单调递减    ;

(3)若f '(x)=0,则f(x)在这个区间内是　常数函数    .

问题：为什么有这种关系？

（由导数的几何意义来解释）

如图，导数表示函数在点处的切线的斜率．

在处，，切线是“左下右上”式的，这时，函数在附近单调递增；

在处，，切线是“左上右下”式的，这时，函数在附近单调递减．

结论：函数的单调性与导数的关系

在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；

如果，那么函数在这个区间内单调递减;

说明：特别地，如果，那么函数在这个区间内是常函数．

4.用充分必要条件诠释导数与函数单调性的关系

(1)( 或 )是在（a ,b）内单调递增（或递减）的充分不必要条件

(2)（或）是在（a,b）内单调递增(或递减)的必要不充分条件

（不恒成立）.

二、新课讲授

B. 典例分析

问题一：不含参数的函数的单调性

典例1    (2018河北唐山质检)求函数f(x)=的单调区间.

选题意图：熟练基本函数导数公式，巩固导数运算法则，掌握分式不等式的解法，掌握导数与函数单调性的密切关系

导数法求函数单调区间的一般步骤

[提醒](1)求函数的单调区间时,一定要先确定函数的定义域,否则极易

出错.如本例易忽视定义域为(0,+∞)而导致解题错误.

(2)个别导数为0的点不影响函数在该区间上的单调性,如函数f(x)=x3, 

f '(x)=3x2≥0(x≠0时, f '(x)=0),但f(x)=x3在R上是增函数.

触手小试:

1.函数y=f(x)的导函数y=f '(x)的图象如图所示,则下面判断正确的是(　　)

A.在区间(-3,1)上f(x)是增函数B.在区间(1,3)上f(x)是减函数

C.在区间(4,5)上f(x)是增函数D.在区间(3,5)上f(x)是增函数

选题意图：导数与函数单调性的关系体现在图形上，信息在图形上寻找.

        (渗透数形结合的思想)

2.函数f(x)=cos x-x在(0,π)上的单调性是 (　　)

A.先增后减　    B.先减后增　    C.单调递增　    D.单调递减

选题意图：巩固基本函数导数公式，三角函数图象及性质.

3.函数f(x)=x3-3x+1的单调增区间是 (　　)

A.(-1,1)　    B.(-∞,1)C.(-1,+∞)　    D.(-∞,-1),(1,+∞)

选题意图：掌握常用函数导数公式，巩固一元二次不等式的解法.

4.函数y=x2-ln x的单调递减区间为　　　    .

选题意图：巩固导数运算法则，掌握分式不等式的解法.

课堂变式练习

1.函数y=的单调增区间为 (　　)

A.(0,+∞)　    B. C.(-∞,-1)　    D.  

2.已知定义在区间(-π,π)上的函数f(x)=xsin x+cos x,则f(x)的单调递增

区间是　　　　　　　    .

问题二：含参数的函数的单调性

典例2（2017新课标Ⅰ改编）已知函数f(x)=(a>0),试讨论f(x)的单调性.

选题意图：巩固基本函数导数公式和导数运算法则，理解参数的取值对函数单调区间的影响，进而掌握对参数进行分类讨论的要点,贯穿分类讨论的思想.

课堂变式练习

已知函数,试讨论f(x)的单调性.

三、归纳小结

1.求解函数单调区间的步骤：

（1）确定函数的定义域；

（2）求导数；

（3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间；

（4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间．

2.涉及含参数的单调性或单调区间的问题，首先弄清楚参数对导数f '(x)在某一区间的符号是否影响，若有影响，必须分类讨论.

四、布置作业：

全品P13-14

已知函数,试讨论f(x)的单调性.

(答案)

归纳：

课后思考:若函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+∞)上单调递增,则k的取值范围是　        .

选题意图：渗透分类讨论思想，巩固导数运算法则，熟悉解含参数的分式不等式进行分类时的解法要点，这类题是重点，也是难点，牵涉到数学基础知识，学生常常是弄不清怎么分类，找不到分界点，甚至在分类后解不等式组时还出现失误，各不等式组解出后下结论时是交集还是并集也糊涂。若先分离变量，转化成恒成立问题显得简单些.

经典赏析

2018泉州单科质检理科数学试题

易错警示

解决含参数的函数的单调性问题应注意两点

1.研究含参数的函数的单调性问题,要依据参数对不等式解集的影响,进行分类讨论.讨论时还应注意题干中限定的参数在范围.

2.划分函数的单调区间时,要在函数定义域内讨论,还要确定导数为0的点和函数的间断点.

五、反思

课前反思：

导数与函数的单调性是高考涉及到的重点题型，从以往的经验来看，简单的求单调区间，学生还能得分，碰到含有参数的问题时就出现差错，差错主要出在不知道讨论，怎么讨论及所讨论参数的分界点把握不准，主要问题出在为什么要讨论没搞清楚，这类题目一般综合性较强，涉及的知识面广，对学生考察的要求较高，历年来都是失分点，安排下一课时专门探讨导数、函数单调性中求参数问题。本节选取的触手小试的题都属基本题型，可能还有一部分学生不能正确解答，这将导致上课节凑减慢，完不成本节任务，若出现这种状况，那就将巩固题(变式训练)作为课后练习使用，或下一课时作为检验掌握与否的题型使用。

课后反思：

  公开课,改变了一下,用PPT(平时用的白板),不能很好地板书,成了不足的地方。没有很好对学生的解题过程和方法进行点评，没起到“画龙点睛”的作用。本来准备了一道: 已知定义在区间(-π,π)上的函数f(x)=xsin x+cos x,则f(x)的单调递增区间是　　　　　　　    .但没能很好把握时间，而放弃了，说明了对这堂课准备不足，缺乏对学生很好的了解。