含参不等式恒成立问题例析

廖东明    

含参不等式恒成立问题是高考的热点问题，此类问题灵活多变，综合性强，不少学生望而生畏．理解问题的本质，掌握解决的方法，多练习几道此类试题，就能增强解决此类问题的信心．

一、已知参数范围求自变量的求值范围

例1  对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．

分析：参数是一次的，变量的最高次数为二次，采用变更主元法，构造关于的一次函数建构不等式组获解．另外，参数可以分离，也可以利用分离参数法求解．

解法1  构造函数，则问题转化为对任意恒成立．若，则，不符合题意．所以，则问题等价于，即，解得或，所以．

解法2  不等式即对任意恒成立．显然．若，则即对任意恒成立，所以．若，则即对任意恒成立，所以．综上可知，实数的取值范围是．

点评：变更主元法只适用于参数是一次的，且给定了参数的取值范围求变量的取值范围类型．而参数分离法（当参数可分离时）则更具有普遍性，转化为或的形式，进而根据或

来获解．在本例中，若，则解答中将变为，将变为，再完成后续的修改工作，得到的取值范围是．

【牛刀小试】设不等式对满足的一切的值恒成立，求实数的取值范围．（答案：）

二、已知自变量的范围求参数的取值范围

1．参数可分离型

例2  已知定义在上的减函数，使对一切恒成立，求实数的取值范围．

分析：本题是函数不等式恒成立问题，可先根据函数的单调性去掉函数的对应法则转化为自变量的大小关系，再考虑定义域，转化为建构一个不等式组对恒成立问题．

解：原问题等价于不等式组即对一切恒成立，所以，解得．

点评：已知不等式在未知数的某一范围内恒成立求参数的取值范围问题，通常采用分离参数法（参数可分离时），把求参数的取值范围问题转化为求函数的最值问题（当最值不存在时，转化为求函数的上确界或下确界问题）．

【牛刀小试】设，若不等式对恒成立，求实数的取值范围．

（答案：．提示：对恒成立，因为函数在上单调递减，在上单调递增，，，，所以，所以，所以，解得或．）

2．参数不可分离型

例3   已知不等式，对于一切实数恒成立，求实数的取值范围．

分析：本题参数不可分离，审视所给的不等式特点，对二次项的系数分类讨论，利用二次函数的图象和性质求解．

解：（1）当时，有或． 时，不等式为，解集为而不为，所以． 时，不等式为，对一切实数恒成立，所以满足．

（2）当时，由不等式恒成立得，即

，解得．综上可知，实数的取值范围是．

点评：对于参数不能分离型，需根据题目的特点采用相应的方法，如利用二次函数的图象和性质，或挖掘几何意义用数形结合的方法求解．

【牛刀小试】若不等式对一切恒成立，则的取值范围为（    ）

A．      B．       C． 

D． 

（答案：C．解：若不采用分离参数法，构造函数．因为对一切恒成立，所以必然是，所以函数的对称轴位于轴的右方．故原问题等价于或，解得或，选C．采用分离参数法，则，解得或．）