2016年全国高中数合竞赛湖北省预赛试题

一、填空题（本大题共10小题，每小题9分，共90分．）

1．（高一二年级）已知函数f (x)满足：f (1) =2，对定义域内任意x都成立.那么，f (2016)＝（           ）

2．（高一年级）不等式≥的解集为．

（高二年级3）已知△ABC 是等边三角形，椭圆Γ的一个焦点为A，另一个焦点F 在线段BC上，如果椭圆Γ恰好经过B,C两点，则它的离心率为

3．（高一3二2年级）从五个正整数a, b, c, d, e中任取四个求和，得到的和值构成集合{44, 45, 46, 47}则a +b+c +d +e =

4．（高一年级）求值：=

（高二年级）已知实数满足，则的取值范围是

5．（高一年级）△ABC 中，角A,B,C的对边长分别为a,b,c，D是BC的中点，若a =4，AD =c -b，则△ABC 的面积的最大值为．

（高二年级）袋子中有5 个白球、4 个红球和3 个黄球，从中任意取出4 个球，各种颜色的球都有的概率为

6．（高一年级）如果存在实数a，使得关于x的不等式acosx +bcos2x >1无实数解，则实数b 的最大值为

（高二年级）以正十三边形的顶点为顶点的形状不同的三角形共有个.（说明：全等的三角形视为形状相同.）

7．（高一二年级）已知质数p,q满足q5-2p2=1，则p +q =

8．（高一年级）已知实数x, y满足：那么，xy=

（高二年级）已知四面体的一条棱长为6，其余棱长均为5，则这个四面体的外接球的半径为

9．（高一二年级）已知MN 是边长为的等边△ABC 的外接圆的一条动弦，MN ＝4，P 为△ABC 的边上的动点，则的最大值为

10．（高一二年级）设[a]表示不大于a的最大整数，则方程的最大正整数解为．

二、解答题（本题满分60 分，每小题20 分。）

11．（高一年级）已知△ABC的三边长a,b,c（a ≤b ≤c）均为整数，且满足：（1）a,b,c构成等比数列；（2）a,b,c中至少有一个等于100.求符合要求的三元数组(a,b,c)的个数.

（高二年级）已知，且，求实数的取值范围．

12．（高一年级）已知二次函数f (x) =ax 2+bx +c满足条件：（1）-4a ≤b <-2a；（2）当| x |≤1时，| f (x) |≤1.证明：当| x |≤2时，

13．（高一13二12年级）已知定义在R 上的函数f (x)满足：，且对任意实数x, y，恒有f (x) f (y) =f (x +y) +f (x -y) ①若数列{ an}满足3 an=3 f (n) f (n-1)，n∈N*.（1）求数列{ an } 的通项公式；

（2）令，* n∈N，S n是数列{ b n} 的前n 项和，求证：S n<1.

13．（高二年级）过抛物线y2=2px(p>0)外一点P向抛物线作两条切线，切点为M、N，F为抛物线的焦点.证明：（1）PF2=MF NF；（2）∠PMF=∠FPN。