第111117号新课标七年级数学竞赛培训第六讲 计算——工具与算法的变迁

    研究数学、学习数学总离不开计算，随着时代的变迁，计算工具在不断地改变，从中国古老的算盘、纸笔运算发展到利用计算器、计算机运算．

    初中代数中运算贯穿于始终，运算能力是运算技能与逻辑能力的结合，它体现在对算理算律的理解与使用，综合运算的能力及选择简捷合理的运算路径上，这要求我们要善于观察问题的结构特点，灵活选用算法和技巧，有理数的计算常用的方法与技巧有：

  1．巧用运算律；

  2．用字母代数；

  3．分解相约；

  4．裂项相消；

  5．利用公式等．

【例1】 现有四个有理数3，4，一6，l0，将这4个数(每个数用且只用一次)进行加、减、乘、除四则运算，使其结果等于24，其三种本质不同的运算式有：

(1)                   ；(2)                   ；(3)                  ．

    (浙江省杭州市中考题)

    思路点拨  从24最简单的不同表达式人手，逆推，拼凑．

  注：  今天，计算机泛应用于社会生活各个方面，计算机技术在数学上的应用，不但使许多繁难计算变得简单程序化，而且还日益改变着我们的观念与思维．

    著名的计算机专家沃斯说过：“程序=算法十数据结构”．

    有理数的计算与算术的计算有很大的不同，主要体现在：

    (1)有理数的计算每一步要确定符号；

   （2）有理数计算常常是符号演算；

(3)运算的观念得以改变，如两个有理数相加，其和不一定大于任一加数；两个有理数相减，其差不一定小于被减数．

【例2】  如果4个不同的正整数满足，那么，等于(    )．

    A．10    B．2l    C．24    D．26    E．28

    (新加坡数学竞赛题)

思路点拨  解题的关键是把4表示成4个不同整数的形式．

【例3】  计算：

(1)； (“祖冲之杯”邀请赛试题)

(2)19492—19502+19512—19522+…+19972—19982+19992

    (北京市竞赛题)

(3)5+52+53+…十52002．

    思路点拨  对于(1)，首先计算每个分母值，则易掩盖问题的实质，不妨先从考察一般情形人手；(2)式使人易联想到平方差公式，对于(3)，由于相邻的后一项与前一项的比都是5，可从用字母表示和式着手．

  【例4】(1)若按奇偶分类，则22004+32004+72004+92004是      数；

    (2)设，， ，则的大小关系是       (用“>”号连接)；

    (3)求证：32002+42002是5的倍数．

    思路点拨  乘方运算是一种特殊的乘法运算，解与乘方运算相关问题常用到以下知识：①乘方意义；②乘方法则；③；④与的奇偶性相同；⑤在中(，r为非负整数，，0≤r<4)，当r=0时，的个位数字与n4的个位数字相同；当时，?的个位数字与的个位数字相同．

注：在求和中错位相减、倒序相加是计算中常用的技巧．

【例5】有人编了一个程序：从1开始，交替地做加法或乘法（第一次可以是加法，也可以是乘法），每次加法，将上次运算结果加2或加3；每次乘法，将上次运算结果乘2或乘3，例如，30可以这样得到： 

（1）证明：可以得到22；

（2）证明；可以得到．

学力训练

1．（1）计算：211×（-455）+365×455-211×545+545×365+          ；

  （2）若，，，则的大小关系是      （用“＜”号连接＝．

2．计算：

（1）          ；

（2）=         ；

（3）=         ；

（4）         ．

3．在下式的每个方框内各填入一个四则运算符号（不再添加括号），使得等式成立：

6   3   2   12=24

4．1999加上它的得到一个数，再加上所得的数的又得到一个数，再加上这次得数的又得到一个数，……，依次类推，一直加到上一次得数的，那么最后得到的数是        ．

5．根据图所示的程序计算，若输入的x值为，则输出的结果为（   ）．

A ．      B．      C．    D． 

    (北京市海淀区中考题)

6．已知，，，则abc=（    ）．

A． 一1    B．3    C．  一3    D．1

( “希望杯”邀请赛试题)

7．如果有理数满足关系aA．必为正数    B．必为负数    C．可正可负    D．可能为0

8．将322、414、910、810，由大到小的排序是(    )．

A．322、910、810、414    B．322、910、414、810

C．  910、810、414、322  D． 322、414、910、810      (美国犹他州竞赛题)

9．阅读下列一段话，并解决后面的问题：    

    观察下面一列数：l，2，4，8，…，我们发现，这一列数从第2项起，每一项与它前一项的比都等于2．

    一般地，如果一列数从第二项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，这一列数就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比．

(1)等比数列5，一15，45，…的第4项是         ；

(2)如果一列数是等比数列，且公比为，那么根据上述的规定，有，，，…，所以，，，…， =               (用与的代数式表示)．

(3)一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项．

(广西省中考题)

10．(1)已知都不等于零，且的最大值是，最小值为n，求的值．

  (2)求证：5353一3333是10的倍数．

11．计算

（1）              ；

（2）=              ；

（3）=              ；

（4）=

12．（1）所得积的末位数字是              ；

    (江苏省竞赛题)

  (2)若l3+23+33+…+153＝14400，则23+43+63+…+303＝              ．

13．若是互不相等的整数()，且abcd＝121，则=           ． 

14．你能比较20012002与20022001的大小吗?

为了解决这个问题，我们先写出它的一般形式，即比较nn+1与(n+1)n的大小(n是自然数)，然后，我们从分析n＝l，n=2，n＝3……中发现规律，经归纳，猜想得出结论。

(1)通过计算，比较下列各组中两数的大小(在空格中填写“>”、“=”、“<”号)．

    ①12   23； ②23    32；③34    43；④45    54； ⑤56   65；……

(2)从第(1)题的结果经过归纳，可以猜想出nn+1和(n+1)n的大小关系是             ．

(3)根据上面归纳猜想得到的一般结论，试比较下列两个数的大小20012002    20022001． 

(江苏省常州市中考题)

15．如果，则的值为(    )．

    A．一1    B．1    C．土1    D．不确定

    (2003年河北省竞赛题)

16．如果ac<0，那么下面的不等式，，，，中必定成立的有(    )．

A．1个    B．2个    C．3个    D．4个

17．设，，则=(    )．

A．    B．   C．   D．

    ( “五羊杯”竞赛题)

 A．    B．    C．    D． 

    (江苏省竞赛题)

19．图中显示的填数“魔方”只填了一部分，将下列9个数：，，1，2，4，8，16，32，填入方格中，使得所有行、列及对角线上各数相乘的积相等，求的值．

    (上海市竞赛题) 

20．设三个互不相等的有理数，既可分别表示为1，a+b，a的形式，又可分别表示为0，，b的形式，求a2002+b2001的值．

21．(1)三个2，不用运算符号，写出尽可能大的数；

    (2)三个4，不用运算符号，写出尽可能大的数；

    (3)用相同的3个数字(1～9)，不用运算符号，写出最大的数．

22．如图，是一个计算装置示意图，是数据输入口，C是计算输出口，计算过程是由分别输入自然数m和n，经计算后得自然数K由C输出，此种计算装置完成的计算满足以下三个性质：

  (1)若分别输入l，则输出结果为1;

  (2)若输入任何固定的自然数不变，输入自然数增大1，则输出结果比原来增大2；

  (3)若输入l，输人自然数增大1，则输出结果为原来的2倍．

    试问：(1)若输入l，输入自然数n，输出结果为多少?

(2)若输入l，输入自然数m，输出结果为多少?

(3)若输入自然数m，输入自然数n，输出的结果为多少?

                 (2002年扬州中学招生试题)

参