《固体物理学》部分习题解答

1.3  证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方 。

解 由倒格子定义      

 体心立方格子原胞基矢

倒格子基矢

同理    

可见由为基矢构成的格子为面心立方格子

面心立方格子原胞基矢

倒格子基矢   

同理             

可见由为基矢构成的格子为体心立方格子

1.4 证明倒格子原胞的体积为，其中为正格子原胞体积

证   倒格子基矢

倒格子体积

1.5证明：倒格子矢量垂直于密勒指数为的晶面系。

证： 

 容易证明

与晶面系正交。

1.6如果基矢构成简单正交系

证明晶面族的面间距为

说明面指数简单的晶面，其面密度较大，容易解理

证  简单正交系  

倒格子基矢    

倒格子矢量

晶面族的面间距

面指数越简单的晶面，其晶面的间距越大

晶面上格点的密度越大，这样的晶面越容易解理

1.9  指出立方晶格(111)面与(100)面，(111)面与(110)面的交线的晶向

A与O重合。B点位矢

（111）与（100）面的交线的晶向—— 晶向指数

(111)面与(110)面的交线的AB

—— 将AB平移，A与原点O重合，B点位矢

(111)面与(110)面的交线的晶向

――晶向指数

2.1．证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数为.

    证  设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键，取任一负离子作参考离子（这样马德隆常数中的正负号可以这样取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号），用r表示相邻离子间的距离，于是有

前边的因子2是因为存在着两个相等距离的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面，故对一边求和后要乘2，马德隆常数为

当X=1时，有     

2.3  若一晶体的相互作用能可以表示为

求 1）平衡间距  2）结合能W（单个原子的）  3）体弹性模量  4）若取 ，计算值。

解  1）晶体内能

       平衡条件      

2)  单个原子的结合能

3)  体弹性模量

晶体的体积—— A为常数，N为原胞数目

晶体内能

体弹性模量

由平衡条件

体弹性模量   

（）   

4）          

2.6．用林纳德—琼斯(Lennard—Jones)势计算Ne在bcc（球心立方）和fcc（面心立方）结构中的结合能之比值．

解  

2.7．对于，从气体的测量得到Lennard—Jones势参数为计算结合成面心立方固体分子氢时的结合能（以KJ/mol单位），每个氢分子可当做球形来处理．结合能的实验值为0.751kJ／mo1，试与计算值比较．

解  以为基团，组成fcc结构的晶体，如略去动能，分子间按Lennard—Jones势相互作用，则晶体的总相互作用能为：

因此，计算得到的晶体的结合能为2.55KJ／mol，远大于实验观察值0.75lKJ／mo1．

对于的晶体，量子修正是很重要的，我们计算中没有考虑零点能的量子修正，这正是造成理论和实验值之间巨大差别的原因．

3.1．已知一维单原子链，其中第个格波，在第个格点引起的位移为，，为任意个相位因子，并已知在较高温度下每个格波的平均能量为，具体计算每个原子的平方平均位移。

 解   任意一个原子的位移是所有格波引起的位移的叠加，即

    （1）

由于数目非常大为数量级，而且取正或取负几率相等，因此上式得第2项与第一项相比是一小量，可以忽略不计。所以

由于是时间的周期性函数，其长时间平均等于一个周期内的时间平均值为

        （2）

已知较高温度下的每个格波的能量为kT，的动能时间平均值为

其中L是原子链的长度，使质量密度，为周期。

所以   （3）

因此将此式代入（2）式有

所以每个原子的平均位移为  

3.2  讨论N个原胞的一维双原子链(相邻原子间距为a)，其2N个格波解，当M=m时与一维单原子链结果一一对应 

解  质量为M的原子位于  2n-1， 2n+1， 2n+3 ……。        

质量为m的原子位于  2n，    2n+2，  2n+4 ……。 

牛顿运动方程

—— 体系有N个原胞，有2N个的方程

方程的解

A , B有 非零解

—— 两种不同的格波的色散关系

对应一个q有两支格波：一支声学波和一支光学波 

—— 总的格波数目为2N 

M=m    

长波极限情况下     

与一维单原子晶格格波的色散关系一致

3.3．考虑一双原子链的晶格振动，链上最近邻原子间力常数交错的等于c和10 c．令两种原子质量相同，且最近邻间距为．求在和处的．大略地画出色散关系．本题模拟双原子分子晶体，如。

＜解＞    a/2               C           10c

，

将代入上式有

是U，v的线性齐次方程组，存在非零解的条件为

   =0，解出

当K=0时，                  当K=时

与的关系如下图所示．这是一个双原子(例如)晶体

3.6计算一维单原子链的频率分布函数 

解  设单原子链长度

波矢取值      每个波矢的宽度

状态密度            dq间隔内的状态数

—— 对应取值相同，间隔内的状态数目

一维单原子链色散关系   

令   

两边微分得到  

代入

一维单原子链的频率分布函数

3.7．设三维晶格的光学振动在q=0附近的长波极限有

求证：频率分布函数为;

.                

解  

依据，并带入上边结果有

所以

3.8．有N个相同原子组成的面积为S的二维晶格，在德拜近似下计算比热，并论述在低温极限比热正比于。

证明：在到间的振动模式对应于平面中半径到间圆环的面积，且则

3.9．写出量子谐振子系统的自由能，证明在经典极限下，自由能为

证明:量子谐振子的自由能为

经典极限意味着（温度较高）

应用

所以

因此

其中

3.10． 设晶体中每个振子的零点振动能为，使用德拜模型求晶体的零点振动能。

证明:根据量子力学零点能是谐振子所固有的，与温度无关，故T=0K时振动能就是各振动模零点能之和。和代入积分有，由于

一股晶体德拜温度为~，可见零点振动能是相当大的，其量值可与温升数百度所需热能相比拟．

3.11．一维复式格子

求（1），光学波，声学波。

（2），相应声子能量是多少电子伏。

（3），在300k时的平均声子数。

（4），与相对应的电磁波波长在什么波段。

解 （1），

（2）

（3）

（4）

4.1．根据状态简并微扰结果，求出与及相应的波函数及。说明它们都代表驻波，并比较两个电子云分布（即）说明能隙的来源(假设=)。

解  令，，简并微扰波函数为

          取 

带入上式，其中   

V(x)<0,,从上式得到B= -A,于是

=

取，  

=

    由教材可知，及均为驻波．  在驻波状态下，电子的平均速度为零．产生驻波因为电子波矢时，电子波的波长，恰好满足布拉格发射条件，这时电子波发生全反射，并与反射波形成驻波由于两驻波的电子分布不同，所以对应不同代入能量。

4.2．写出一维近自由电子近似，第n个能带(n=1，2，3)中，简约波数的0级波函数。

解：

第一能带：

第二能带：

第三能带：

4.3． 电子在周期场中的势能．

     0                    ，    

其中a＝4b，是常数．

(1)试画出此势能曲线，求其平均值.

(2)用近自由电子近似模型求出晶体的第一个及第二个带隙宽度．

解：(I)题设势能曲线如下图所示．

(2)势能的平均值：由图可见，是个以为周期的周期函数，所以

题设，故积分上限应为，但由于在区间内，故只需在区间内积分．这时，，于是 

。

（3），势能在[-2b,2b]区间是个偶函数，可以展开成傅立叶级数

利用积分公式得

第二个禁带宽度代入上式

再次利用积分公式有

4.4用紧束缚近似求出面心立方晶格和体心立方晶格s态原子能级相对应的能带函数

解  面心立方晶格

—— s态原子能级相对应的能带函数

s原子态波函数具有球对称性

—— 任选取一个格点为原点

—— 最近邻格点有12个

12个最邻近格点的位置

—— 类似的表示共有12项

—— 归并化简后得到面心立方s态原子能级相对应的能带

对于体心立方格子          

――任选取一个格点为原点 

—— 有8个最邻近格点

—— 最近邻格点的位置

—— 类似的表示共有

归并化简后得到体心立方s态原子能级相对应的能带

4.7．有一一维单原子链，间距为a，总长度为Na。

（1）用紧束缚近似求出原子s态能级对应的能带E(k)函数。

（2）求出其能态密度函数的表达式。

（3）如果每个原子s态只有一个电子，求等于T=0K的费米能级及处的能态密度。

解：

(2) ,

(3), 

4.8  (1)证明一个自由简单晶格在第一布里渊区顶角上的一个自由电子动能比该区一边中点大2倍．(2)对于一个简单立力晶格在第一布里渊区顶角上的一个自由电子动能比该区面心上大多少？(3)(2)的结果对于二价金属的电导率可能会产生什么影响7

解 （1）二维简单正方晶格的晶格常数为a，倒格子晶格基矢

第一布里渊区如图所示

所以

(3)如果二价金属具有简单立方品格结构，布里渊区如图7—2所示．根据自由电子理论，自由电子的能量为，FerM面应为球面．由(2)可知，内切于4点的内切球的体积，于是在K空间中，内切球内能容纳的电子数为   其中

二价金属每个原子可以提供2个自由电子，内切球内只能装下每原子1.047个电子，余下的0.953个电子可填入其它状态中．如果布里渊区边界上存在大的能量间隙，则余下的电子只能填满第一区内余下的所有状态(包括B点)．这样，晶体将只有绝缘体性质．然而由(b)可知，B点的能员比A点高很多，从能量上看，这种电子排列是不利的．事实上，对于二价金属，布里渊区边界上的能隙很小，对于三维晶体，可出现一区、二区能带重迭．这样，处于第一区角顶附近的高能态的电子可以“流向”第二区中的能量较低的状态，并形成横跨一、二区的球形Ferm面．因此，一区中有空态存在，而二区中有电子存在，从而具有导电功能．实际上，多数的二价金届具有六角密堆和面心立方结构，能带出现重达，所以可以导电．

4.9  半金属交叠的能带

其中为能带1的带顶，为能带2的带底

由于能带的交叠，能带1中的部分电子转移到能带2中，而在能带1中形成空穴，

讨论T=0K的费密能级

能带1的能态密度

—— 同理能带2的能态密度

如果不发生能带重合，电子刚好填满一个能带

由于能带交叠，能带1中的电子填充到能带2中，满足

4.12．设有二维正方晶格，晶体势为

用近自由电子近似的微扰论，近似求出布里渊区顶角处的能隙．

解：以表示位置矢量的单位矢量，以表示倒易矢量的单位矢量，则有，

晶体势能

。这样基本方程

求布里渊区角顶，即处的能隙，可利用双项平面波近似

来处理。

当时依次有

而其他的，

，所以在双项平面波近似下上式中只有

，因为

2)简单立方晶格的晶格常数为a，倒格子基矢为

第一布里渊区如图7—2所示．

5.1设一维晶体的电子能带可以写成

其中a为晶格常数，计算

1）能带的宽度

2）电子在波矢k的状态时的速度

3）能带底部和能带顶部电子的有效质量

解   1) 能带的宽度的计算

能带底部           

能带顶部          

能带宽度

2）电子在波矢k的状态时的速度

电子的速度

3) 能带底部和能带顶部电子的有效质量

电子的有效质量

能带底部  有效质量

能带顶部 有效质量

5.5设电子等能面为椭球

外加磁场B相对于椭球主轴方向余弦为

1）写出电子的准经典运动方程

2）证明电子绕磁场回转频率为。其中

解  恒定磁场中电子运动的基本方程

电子的速度 

电子能量   

电子的速度

磁感应强度    

电子运动方程  

应用关系      

—— 电子运动方程

令

有非零解，系数行列式为零

无意义

旋转频率

其中

6.2在低温下金属钾的摩尔热容量的实验结果可写成

如果一个摩尔的金属钾有个电子，求钾的费米温度

解  一摩尔的电子对热容的贡献

 与实验结果比较

费米温度6.3  若将银看成具有球形费米面的单价金属，计算以下各量    1)  费密能量和费密温度

2） 费米球半径

3） 费米速度

4） 费米球面的横截面积

5） 在室温以及低温时电子的平均自由程

解  1）费密能量      

费密温度

  2)  费密球半径

3)  费密速度     

4)  费密球面的横截面积  ――是与z轴间夹角

5)  在室温以及低温时电子的平均自由程

电导率      

驰豫时间

平均自由程  

0 K到室温之间的费密半径变化很小

平均自由程 将  代入

6.4  设N个电子组成简并电子气，体积为V，证明T=0K时

     1） 每个电子的平均能量 

     2） 自由电子气的压强满足

解  自由电子的能态密度

T=0 K，费米分布函数

电子总数

电子平均能量      

将电子气看作是理想气体，压强

7.1．InSb电子有效质量，介电常数，晶格常数。试计算；(1)施主的电离能；(2)基态的轨道半径；(3)施主均匀分布，相邻杂质原子的轨道之间发生交叠时，掺有的施主杂质浓度应高于多少？

解：（1）由于施主电离能是氢原子电离能的

（2），

（3），如果施主的电子与类氢基态轨道发生重叠，则均匀分布于中施主杂质浓度就一定满足