湘教版数学七年级下册_《二元一次方程组的应用》典型例题

例1  小明家去年结余5000元，估计今年可结余9500元，并且今年收入比去年高15％，支出比去年低10％，求去年的收入与支出各是多少？

例2  要配制成浓度为30％的烧碱溶液50千克，需要浓度为10％和60％的两种烧碱溶液多少千克？

例3  一辆汽车在相距70千米的甲、乙两地往返行驶，由于行驶中有一坡度均匀的小山，该汽车由甲地到乙地需用2小时30分，而从乙地回到甲地需用2小时18分.若汽车在平地上的速度为30千米/时，上坡的速度为20千米/时，下坡的速度为40千米/时，求从甲地到乙地的行程中，平路、上坡路、下坡路各多少千米？

例4  某中学初三（1）班计划用66元钱同时购买单价分别为3元、2元、1元的甲、乙、丙三种纪念品，奖励参加艺术节活动的同学，已知购买乙种纪念品的件数比购买甲种纪念品的件数多2件，而购买甲种纪念品的件数不少于10件，且购买甲种纪念品的费用不超过总费用的一半.若购买甲、乙、丙三种纪念品恰好用了66元钱，那么可有几种购买方案？每种方案中，购买的甲、乙、丙三种纪念品各是多少件？

例5　某工程队计划在695米线路上分别装米和米长两种规格的水管共100根，问这两种水管各需多少根？

例6　若甲、乙两库共存粮95吨，现从甲库运出存粮的，从乙库运出存粮的40%，那么乙库所余粮食是甲库的2倍，问甲、乙两库原各存多少吨粮食？

例7  甲、乙两人从相距36千米的两地相向而行.如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发后经2.5小时相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发后经3小时相遇；求甲、乙两人的速度.

例8  通讯员在规定的时间内由A地前往B地.如果他每小时走35公里，那么他就要迟到2小时；如果他每小时走50公里，那么他就可以比规定时间早到1小时，求A、B两地间的距离.

例9  某车间加工螺钉和螺母，当螺钉和螺母恰好配套（一个螺钉配一个螺母）时就可以运进库房.若一名工人每天平均可以加工螺钉120个或螺母96个，该车间共有工人81名.问应怎样分配人力，才能使每天生产出来的零件及时包装运进库房？

例10  要修一段420千米长的公路.甲工程队先干2天乙工程队加入，两队再合干2天完成任务；如果乙队先干2天，甲、乙两队再合干3天完成任务，问甲、乙两个工程队每天各能修路多少千米？

例11　甲乙两物体分别以均匀的速度在周长为600米的圆形轨道上运动，甲的速度较快，当两物体反向运动时，每15秒钟相遇一次，当两物体同向运动时，每1分钟相遇一次，求各物体的速度？

参

例1  分析 若设去年收收x元，支出y元，则可由去年结余5000元，今年结余9500元这两个条件列出两个方程.

解 设去年收入x元，支出y元，根据题意，得

解得

答：去年小明家收入20000元，支出15000元.

例2  分析 本题中要抓住两个数量关系，一是两种烧碱溶液重量和为50千克，二是10％和60％的烧碱溶液中纯烧碱的量的和等于50千克30％的烧碱溶液中的纯烧碱量.

解 设需要浓度为10％的烧碱溶液x千克，浓度为60％的烧碱溶液y千克，根据题意，得 

解得 

答：需要浓度为10％的烧碱溶液30千克，浓度为60％的烧碱溶液20千克.

例3  解 设甲地到乙地的上坡路为x千米，下坡路为y千米，则平路为千米，

根据题意，得

解得  则

答：从甲地到乙地上坡路12千米，下坡路4千米，平路54千米.

例4  分析 可设购买甲、乙、丙三种纪念品的件数分别为x、y、z.在题目中有两个相等关系：“购买乙种纪念品的件数比购买甲种纪念品的件数多2件”，“购买甲、乙、丙三种纪念品恰好用了66元钱”.根据这两个相等关系可以列出两个关于x、y、z的方程.但这里有三个未知数，只列出了两个方程是无法求出它们的解的，注意到题目中还有两个条件：“购买甲种纪念品的件数不少于10件”，“购买甲种纪念品的费用不超过总费用的一半”.有了这两个条件，就确定了x的取值范围，而x必为正整数，因此可求出x的值，从而求出另外两个求知数.

解  设购买的甲、乙、丙三种纪念品的件数分别为x、y、z，根据题意，有

 则

∵ ，且，∴ ，又∵ x为整数，∴ 或.

（1）当时，

（2）当时，

答：可有两种购买方案：第一种方案：购买甲种纪念品10件、乙种12件、丙种12件；第二种方案：购买甲种纪念品11件、乙种13件、丙种7件.

例5  分析  本题中有两个未知数——规格为米长水管的根数与规格为米长水管的根数.题目中恰有两个相等关系：

（1） 米长的水管根数十米长水管根数=100根

（2） 米长水管总米数十米长水管的总米数=线路的总米数

解  设米长规格的水管需根，米长规格的水管根，

根据题意，得

解这个方程组，得

答：需规格为米长的水管35根，需规格为米长的水管65根.

说明：在实际生活中，我们常常遇到象例1这样的问题，我给出的解法是列出二元一次方程组求解.同学们想一想，还有没有其他的方法？能不能列出一元一次方程来解呢？如果能，比较两者的不同，看一看哪种方法简单？然后自己归纳出列二元一次方程组解应用题的步骤.

例6   分析 本题有两个未知数——甲仓库原存粮与乙库原存粮；有两个相等关系：

（1）甲仓库原存粮吨数＋乙仓库原存粮吨数=95吨

（2）乙仓库剩余粮食吨数=2倍甲库剩余粮食吨数

解  设甲仓库原存粮食吨，乙仓库原存粮食y吨，

根据题意，得

解这个方程组，得  

答：甲仓库原存粮食45吨，乙仓库原存粮食50吨.

例7  分析  这里有两个未知数——甲、乙两人的速度.有两个相等关系：

（1）甲先走2小时的行程+甲乙在2.5小时内走的行程=36千米

（2）甲乙3小时走的行程+乙在2小时内走的行程=36千米

解  设甲的速度为千米/小时，乙的速度为y千米/小时，

根据题意，得

解方程组，得 

答：甲的速度为6千米/小时，乙的速度为3.6千米/小时.

例8  分析  这里有两个未知数——规定时间和A、B两地间距离.有两个相等关系：

（1）员速度以35公里/小时走完全程用的时间－2小时=规定时间

（2）通讯员速度为50公里/小时走完全程用的时间+1小时=规定时间

解  设A、B两地间的距离为公里，规定时间为y小时.

根据题意，得

解方程组，得 

答：A、B两地间的距离为350公里.

例9  分析  这里有两个未知数——生产螺钉的人数和生产螺母的人数.有两个相等关系：

（1）生产螺钉的人数＋生产螺母的人数=总人数（81名）

（2）每天生产的螺钉数=每天生产的螺母数

解  设生产螺钉的工人有名，生产螺母的工人有y名，

根据题意，得

解方程组，得 

答：生产螺钉的工人有36名，有45名工人生产螺母，才能使每天生产出来的零件及时包装运进库房.

例10  分析  这里有两个未知数——甲工程队每天修路的千米数和乙工程队每天修路的千米数；有两个相等关系：

（1）甲2天修路的长＋甲、乙合修2天的公路长=公路总长

（2）乙2天修路的长＋甲、乙合修3天的公路长=公路总长

解  设甲每天修公路千米，乙每天修公路y千米，

根据题意，得 

解方程组，得 

答：甲每天修公路90千米，乙每天修公路30千米.

例11  分析  题中有两个未知数，即甲乙两物体速度，题中“每15秒相遇一次”就是15秒两物体经过路程之和是600米，“每分钟相遇一次”就是60秒甲物体要比乙物体多运动一周，故有两个等量关系.

解  设甲物体速度为x米／秒，乙物体为y米／秒.

根据题意得解得

解得

答：甲乙两物体速度为25米／秒，15米／秒.

说明：解此题关键是找出甲、乙两物体同向、反向运动路程之间的相等关系，必要时可画出两物体运动的轨迹示意图，帮助找相等关系.