浙江省杭州市2020-2021学年高一下学期期末教学质量检测数学试题 (含...

数学试题卷

考生须知：

1．本试卷分试题卷和答题卡两部分。满分150分，考试时间120分钟。

2．答题前，必须在答题卡指定位置上用黑笔填写学校名、姓名、试场号、座位号、准考证号，并用2B铅笔将准考证号所对应的数字涂黑。

3．答案必须写在答题卡相应的位置上，写在其他地方无效。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分．

1．设全集，，，则图中阴影部分集合是（    ）

A．    B．    C．    D．

2．设复数满足（是虚数单位），则（    ）

A．    B．    C．    D．

3．已知，，，则（    ）

A．    B．    C．    D．

4．风光秀丽的千岛湖盛产鳙鱼，记鳙鱼在湖中的游速为，鳙鱼在湖中的耗氧量的单位数为，已知鳙鱼的游速与（）成正比，当鳙鱼的耗氧量为200单位时，其游速为．若某条鳙鱼的游速提高了，那么它的耗氧量的单位数是原来的（    ）

A．2倍    B．4倍    C．6倍    D．8倍

5．两个体积分别为，的几何体夹在两个平行平面之间，任意一个平行于这两个平面的平面截这两个几何体，截得的截面面积分别为，，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件        B．必要不充分条件

C．充分必要条件        D．既不充分也不必要条件

6．如图，一个半径为2的水轮，圆心距离水面1米，水轮做匀速圆周运动，每分钟逆时针旋转4圈．水轮上的点到水面的距离（米）与时间（秒）满足（），则（    ）

A．    B．    C．    D．

7．如图是第24届国际数学家大会的会标，是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的．已知图中正方形的边长为1，，则小正方形的面积为（    ）

A．    B．    C．    D．

8．若，，函数满足，，则函数可能是（其中且）（    ）

A．    B．    C．    D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9．已知不等式的解集是，则（    ）

A．    B．    C．    D．

10．已知平面向量，，若，，，则（    ）

A．        B．向量与向量的夹角为

C．        D．向量与向量的夹角为

11．已知某湖泊蓝藻面积（单位：）与时间（单位：月）满足．若第1个月的蓝藻面积为，则（    ）

A．蓝藻面积每个月的增长率为100%

B．蓝藻每个月增加的面积都相等

C．第6个月时，蓝藻面积就会超过

D．若蓝藻面积到，，所经过的时间分别是，，，则

12．某演讲比赛冠军奖杯由一个水晶球和一个金属底座组成（如图①）．已知球的体积为，金属底座是由边长为4的正三角形沿各边中点的连线向上垂直折叠而围成的几何体（如图②），则（    ）

A．，，，四点共面

B．经过，，三点的截面圆的面积为

C．直线与平面所成的角为

D．奖杯整体高度为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知，，则________．（用，表示）

14．半正多面体亦称为“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，如图所示．这是一个将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”花岗岩石凳，已知此石凳的棱长为，则此石凳的体积是________．

15．已知区间中的实数在数轴上的对应点为，如图1；将线段围成一个圆（端点，重合），如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在轴上，点的坐标为，如图3．直线与轴交于点，把与的函数关系记作，则方程的解是________．

16．已知，向量满足，当向量，夹角最大时，________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本题满分10分）在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并对其进行求解．

问题  在中，设内角，，的对边分别为，，，的面积为，，，______，求的值．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

18．（本题满分12分）如图，在中，为边上的一点，，，，且与的夹角为60°．

（Ⅰ）设，求，的值；

（Ⅱ）求的值．

19．（本题满分12分）四棱柱的所有棱长都相等，．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．

20．（本题满分12分）如图是函数（，，）的部分图象，，．

（Ⅰ）求的解析式；

（Ⅱ）将的图象向右平移，得函数，记，求的单调递减区间．

21．（本题满分12分）将一张长，宽的长方形纸片沿着直线折叠，折痕将纸片分成两部分，面积分别为，．设．

若，求的取值范围．

22．（本题满分12分）设函数（），方程有三个不同的实数根，，，且．

（Ⅰ）当时，求实数的取值范围；

（Ⅱ）当时，求正数的取值范围；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若恒成立，求实数的取值范围．

2020学年第二学期杭州市高一年级期末教学质量检测

数学参及评分标准

一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，计40分）．

9．BCD    10．AD    11．ACD    12．ACD

三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．

13．    14．    15．    16．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．在中，因为，

所以，

所以，

因为，

选择①，由余弦定理

得，

解得；

选择②，，

所以，

所以，即，解得；

选择③，，因为，

所以由，

得．

18．（1）如下图，过点作，分别交，点，，

因为，所以，

所以，，

又四边形为平行四边形，所以，

又因为，不共线，所以，．

（2）由（1）知．

19．（1）取的中点连接，，，，

所以直线平面，

所以．

（2）不妨设，由题意可知为正四面体，与平面所成的角即侧棱与底面所成的角，过作底面的垂线，垂足为正的中心，连接，所以为与平面所成的角．设，则，，所以．

20．（1）由图可知，是图中的一条对称轴，

且，∴，

∴

又得，∴．

（2），，

，．

所以的单调递减区间为（）

21．如图所示，不妨设纸片为长方形，，，其中点在面积为的部分内．折痕有下列三种情形：

①折痕的端点，分别在，上；

②折痕的端点，分别在，上；

③折痕的端点，分别在，上．

由题意知，长方形的面积为．

因为，，所以，．

当折痕是情形①时，设，，

则，即．

设，，

所以的取值范围为，从而的范围是．

当折痕是情形②时，设，，

则，即．

所以的范围为．

当折痕是情形③时，设，，

则，即．

由得．

所以，．

所以的取值范围是．

因为（即），

所以的取值范围为．

22．（1），

在单调递增，在单调递减，在单调递增，

所以，即．

（2）①当时，

在单调递增，在单调递减，在单调递增，在单调递增，

所以

即，所以

②当时，

在单调递增，在单调递减，在单调递增，在单调递增，

所以

即，所以，

由①②可知，．

（3）由（2）可知，

①当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增，在单调递增，

因为，所以，为方程的两个根，

为方程的正根，所以

，所以．

②当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增，在单调递增，．

i）当，即时，为方程的较小根，

在单调递减，，．

ii）当，即时，为方程的正根，

，，所以．

综上，．