含参不等式恒成立问题求解方法

恒成立问题是数学中常见问题，也是历年高考的一个热点。大多是在不等式中，已知一个变量的取值范围，求另一个变量的取值范围的形式出现。下面介绍几种常用的处理方法。

一、分离参数

在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若恒成立，只须求出，则；若恒成立，只须求出，则，转化为函数求最值。

例1、已知函数，若对任意恒有，试确定的取值范围。

解：根据题意得：在上恒成立，

即：在上恒成立，

设，则

当时，  所以

     在给出的不等式中，如果通过恒等变形不能直接解出参数，则可将两变量分别置于不等式的两边，即：若恒成立，只须求出，则，然后解不等式求出参数的取值范围；若恒成立，只须求出，则，然后解不等式求出参数的取值范围，问题还是转化为函数求最值。

例2、已知时，不等式恒成立，求的取值范围。

解：令，    所以原不等式可化为：，

要使上式在上恒成立，只须求出在上的最小值即可。

二、分类讨论

在给出的不等式中，如果两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两边，则可利用分类讨论的思想来解决。

例3、若时，不等式恒成立，求的取值范围。

解：设，则问题转化为当时，的最小值非负。

（1）当即：时， 又所以不存在；

（2）当即：时，  又   

（3）当即：时， 又

综上所得： 

三、确定主元

在给出的含有两个变量的不等式中，学生习惯把变量看成是主元（未知数），而把另一个变量看成参数，在有些问题中这样的解题过程繁琐。如果把已知取值范围的变量作为主元，把要求取值范围的变量看作参数，则可简化解题过程。

例4、若不等式对满足的所有都成立，求的取值范围。

解：设，对满足的，恒成立，

  解得： 

四、利用集合与集合间的关系

在给出的不等式中，若能解出已知取值范围的变量，就可利用集合与集合之间的包含关系来求解，即：，则且，不等式的解即为实数的取值范围。

例5、当时，恒成立，求实数的取值范围。

解： 

（1）当时，，则问题转化为    

（2）当时，，则问题转化为

综上所得：或

五、数形结合

数形结合法是先将不等式两端的式子分别看作两个函数，且正确作出两个函数的图象，然后通过观察两图象（特别是交点时）的位置关系，列出关于参数的不等式。

例6、若不等式在内恒成立，求实数的取值范围。

解：由题意知：在内恒成立，

在同一坐标系内，分别作出函数和

观察两函数图象，当时，若函数的图象显然在函数图象的下方，所以不成立；

当时，由图可知，的图象必须过点或在这个点的上方，则，    

综上得： 

上面介绍了含参不等式中恒成立问题几种解法，在解题过程中，要灵活运用题设条件综合分析，选择适当方法准确而快速地解题。