2013年北京市东城区一模(文科数学)试题2013.4

数学    （文科）          

学校_____________班级_______________姓名______________考号___________

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题   共40分）

一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知全集，集合，那么集合为        

（A）    （B）   （C）    （D）

（2） “”是“直线与直线平行”的

（A） 充分不必要条件   　（B） 必要不充分条件  

（C） 充要条件 　　　　　（D） 既不充分也不必要条件

（3）已知为平行四边形，若向量，，则向量为

（A）                  （B）  

（C）                  （D） 

（4）执行如图所示的程序框图，输出的结果是，

则判断框内应填入的条件是

（A）

（B）

（C）

（D）

（5）已知一个几何体的三视图如图所示(单位：cm)， 那么这个几何体的侧面积是

（A）       （B）

（C）       （D）

（6）已知点，抛物线的焦点是，若抛物线上存在一点，使得最小，则点的坐标为

（A）          （B）         （C）        （D）

（7）对于函数，部分与的对应关系如下表：

（A）9394         （B）9380       （C）9396      （D）9400

（8）已知定义在上的函数的对称轴为，且当时，.若函数在区间（）上有零点，则的值为

（A）或     （B）或     （C）或      （D）或

第Ⅱ卷（共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）已知是虚数单位，那么等于   ． 

（10）如图是甲、乙两名同学进入高中以来次体育测试成绩

的茎叶图，则甲次测试成绩的平均数是   ，乙次测试成

绩的平均数与中位数之差是   ．

（11）不等式组表示的平面区域为，则区域的面积为   ，的最大值为   ． 

（12）从1，3，5，7这四个数中随机地取两个数组成一个两位数，则组成的两位数是5的倍数的概率为   ． 

（13）函数的图象为，有如下结论：①图象关于直线对称；②图象关于点对称；③函数在区间内是增函数，其中正确的结论序号是    ．(写出所有正确结论的序号)

（14）数列{an}的各项排成如图所示的三角形形状，其中每一行比上一

行增加两项，若， 则位于第10行的第8列的项

等于   ，在图中位于   ．（填第几行的第几列）

三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题共13分）

在△中，三个内角，，的对边分别为，，，且．

（Ⅰ）求角；

（Ⅱ）若，求的最大值．

（16）（本小题共14分）

如图，已知平面，平面，为的中点，若

．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求证：平面平面．

（17）（本小题共13分）

为了解高三学生综合素质测评情况，对2000名高三学生的测评结果进行了统计，其中优秀、良好、合格三个等级的男、女学生人数如下表： 

（Ⅱ）若，，求优秀等级的学生中男生人数比女生人数多的概率．

（18）（本小题共14分）

已知函数．

（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）讨论的单调性；

    （）若存在最大值，且，求的取值范围．

（19）（本小题共13分）

   已知椭圆： 的两个焦点分别为，，离心率为，且过点.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ），，，是椭圆上的四个不同的点，两条都不和轴垂直的直线和分别过点，，且这两条直线互相垂直，求证：为定值.

（20）（本小题共13分）

设是由个有序实数构成的一个数组，记作：.其中称为数组的“元”，称为的下标. 如果数组中的每个“元”都是来自 数组中不同下标的“元”，则称为的子数组. 定义两个数组，的关系数为.

    （Ⅰ）若，，设是的含有两个“元”的子数组，求的最大值；

（Ⅱ）若，，且，为的含有三个“元”的子数组，求的最大值.

北京市东城区2012-2013学年度第二学期高三综合练习（一）

数学参（文科）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

（1）B          （2）C         （3）C          （4）A 

（5）C          （6）D         （7）A          （8）A

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

（9）        （10）           （11）， 

（12）          （13）          （14）   第行的第列

注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．

三、解答题（本大题共6小题，共80分）

（15）（共13分）

  解：（Ⅰ）因为，

由正弦定理可得， 

因为在△中，，

所以.

又，

所以.

（Ⅱ）由余弦定理，

因为，，

所以.

因为，

所以.

当且仅当时，取得最大值. 

  （16）（共14分）

证明：（Ⅰ）取的中点，连结，.

因为是的中点，

则为△的中位线．

所以，． 

因为平面，平面，

所以．

又因为，

所以．

所以四边形为平行四边形．

所以．

因为平面，平面，

所以平面． 

（Ⅱ）因为，为的中点，

所以．

因为，平面，

所以平面．

又平面，

所以．

因为，

所以平面． 

因为，

所以平面．

又平面，

所以平面平面．

（17）（共13分）

解：（Ⅰ）由表可知，优秀等级的学生人数为：

    ．

    因为，

故在优秀等级的学生中应抽取份． 

（Ⅱ）设“优秀等级的学生中男生人数比女生人数多”为事件．

    因为，，，且，为正整数，

    所以数组的可能取值为：

    ，，，…，，共个． 

    其中满足的数组的所有可能取值为：

，，，，共5个，即事件包含的基本事件数为． 

所以．

故优秀等级的学生中男生人数比女生人数多的概率为． 

（18）（共14分）

解：（Ⅰ）当时，．

． 

所以．

又，

所以曲线在点处的切线方程是，

即．

（Ⅱ）函数的定义域为，

． 

当时，由知恒成立，

此时在区间上单调递减．

当时，由知恒成立，

此时在区间上单调递增．  

当时，由，得，由，得，

此时在区间内单调递增，在区间内单调递减． 

（）由（Ⅱ）知函数的定义域为，

当或时，在区间上单调，此时函数无最大值．  

当时，在区间内单调递增，在区间内单调递减，

所以当时函数有最大值． 

最大值．

因为，所以有，解之得．

所以的取值范围是． 

（19）（共13分）

（Ⅰ）解：由已知，

所以.

所以. 

所以：，即. 

因为椭圆过点，

得，. 

所以椭圆的方程为. 

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知椭圆的焦点坐标为，.

根据题意， 可设直线的方程为，

由于直线与直线互相垂直，则直线的方程为.

设，.

由方程组消得 

. 

则 . 

所以=. 

同理可得. 

所以.

（20）（共13分）

解：（Ⅰ）依据题意，当时，取得最大值为2． 

（Ⅱ）①当是中的“元”时，由于的三个“元”都相等，及中三个“元”的对称性，可以只计算的最大值，其中．

由，

得．

当且仅当，且时，达到最大值，

于是． 

②当不是中的“元”时，计算的最大值，

由于，

所以．

            ，

当且仅当时，等号成立．

即当时，取得最大值，此时．

综上所述，的最大值为1．