2012年上海春季高考数学试卷

数学试卷

考生注意：

1．本试卷共29道试题，满分120分．考试时间90分钟．

2．本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．

3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚的填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名．

一、填空题（本大题共有12题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格

填对得3分，否则一律得零分．

1．已知集合，．若，则        ．

2．函数的定义域为       ．

3．满足不等式的的取值范围是       ．

4．若球的体积为，则球的半径为       ．

5．若直线与直线平行，则       ．

6．若向量与的夹角为60°，，，则       ．

7．在△中，角所对的边长分别为．

   若，，，则      ．

8．若无穷等比数列的首项为l、公比为，则该数列各项的和为       ．

9．在的二项展开式中，常数项的值为       ．

10．若（为虚数单位）是关于的方程的根，则实数       ．

11．执行右图所示算法，输出的结果是       ．

12．已知圆：与圆：．设圆与轴正半轴的交点为，

圆与圆在轴上方的交点为，直线交轴于点．当趋向于无穷大时，点无限

趋近于定点，定点的横坐标为       ．

二、选择题（本大题共有12题，满分36分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上，

将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分．

13．若矩阵是线性方程组的系数矩阵，则（     ）．

．；                    ．；    

    ．；                    ．．

14．函数的反函数是（     ）．

．；          ．； 

．；            ．．

15．抛物线的焦点到其准线的距离是（     ）．

．1；            ．2；             ．4；               ．8．

16．某校高一、高二、高三分别有学生400名、300名、300名．为了解他们课外活动情况，用分层抽样的方法

    从中抽取50名学生进行调查，应抽取高二学生人数为（     ）．

．50；           ．30；            ．20；              ．15．

17．函数（     ）．

．是奇函数且为增函数；               ．是偶函数且为增函数；

    ．是奇函数且为减函数；               ．是偶函数且为减函数．

18．已知扇形的圆心角为，半径为3，该扇形的面积为（     ）．

    ．；           ．；         ．；           ．．

19．函数的最大值是（     ）．

    ．；           ．；           ．；           ．．

20．函数的大致图象是（     ）．

           ．               ．              ．              ．

21．若椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为、，则直线的方程为（     ）．

    ．；   ．；   ．；   ．．

22．设、是空间两条直线．“、没有公共点”是“、为异面直线”的（     ）．    

．充分但非必要条件；                     ．必要但非充分条件；

．充分必要条件；                     ．既非充分又非必要条件．

23．从17名男同学和21名女同学中随机抽取3名，组成环保志愿者小组，这个小组中必有男同学的概率

    （精确到0.001）为（     ）．

    ． 0.141；           ． 0.335；          ． 0.423；           ．0.842．

24．实数、满足且，由、、、按一定顺序构成的数列（     ）．

    ．可能是等差数列，也可能是等比数列；      ．可能是等差数列，但不可能是等比数列；

．不可能是等差数列，但可能是等比数列；    ．不可能是等差数列，也不可能是等比数列．

三、解答题（本大题共有5题，满分48分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

25．（本题满分7分）

已知，化简并求值：．

26．（本题满分7分）

如图所示，正四棱柱的底面边长为2，表面积为32，求异面直线与

所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．

27．（本题满分7分）

已知等比数列满足，，等差数列满足，．

求数列的前项和．

28．（本题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分8分．

     己知双曲线的两个焦点分别为、，渐近线方程为．

（1）求双曲线的方程；

（2）若过点的直线与双曲线的左支有两个交点，且点到的距离小于1，

     求直线的倾斜角的范围．

29．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分．

设函数、有相同的定义域．对任意，过点并垂直于轴的直线

与、的图像分别交于点、，向量、满足（为坐标原点）．

（1）若，，求的解析式，并作出其大致图像；

（2）若求的最大值和最小值．

参

1、填空题

1. ；      2.；      3.；      4.；        5.；        6.；      

7.；      8.；         9.；         10.；      11.；      12.；

2、选择题

13.  A；      14. C；      15. B；      16. D；      17. A；      18. B；

19.  C；      20. C；      21. A；      22. B；      23. D；      24. B； 

3、解答题

25. 解：；

26. 解：；

27. 解：，故

28. 解：

（1）设双曲线的方程为.

     根据题意知，解得. 所以双曲线的方程为.

（2）① 当直线与轴垂直时，点到直线的距离，不合题意.

     ② 当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，点到直线的距离.

        由，得，所以.

        又直线与双曲线的左支有两个交点，由渐近线方程，得.

        综上，.

     所以直线的倾斜角的范围为.

29.

（1）由，得.

     因为,所以.

     的大致图像如下：

（2）由题设得.

     ① 当时， =，

        由二次函数及不等式性质，得，且；

     ② 设是区间上的任意两个实数，且，则且,

        即且，所以，

    即，故在区间上单调递增，

    在区间上的最大值为，最小值为.

 综上，在处取得最大值，在处取得最小值.