五年级奥数：周期问题

            年级      班      姓名      得分     

    一、填空题

 某年的二月份有五个星期日，这年六月一日是星期_____.

2. 19年12月5日是星期二,那么再过十年的12月5日是星期_____.

3. 按下面摆法摆80个三角形,有_____个白色的.

                                      ……

4．节日的校园内挂起了一盏盏小电灯，小明看出每两个白灯之间有红、黄、绿各一盏彩灯.也就是说,从第一盏白灯起,每一盏白灯后面都紧接着有3盏彩灯,小明想第73盏灯是_____灯.

5. 时针现在表示的时间是14时正,那么分针旋转1991周后,时针表示的时间是_____.

6. 把自然数1,2,3,4,5……如表依次排列成5列，那么数“1992”在_____列.

8. 循环小数与.这两个循环小数在小数点后第_____位,首次同时出现在该位中的数字都是7.

9. 一串数: 1,9,9,1,4,1, 4,1,9,9,1,4,1,4,1,9,9,1,4,……共有1991个数.

 其有_____个1,_____个9_____个4；

 这些数字的总和是_____.

10.所得积末位数是_____.

二、解答题

11. 紧接着19后面一串数字，写下的每个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数.例如=72,在9后面写2,92=18,在2后面写8,……得到一串数字:

1  9  8  9  2  8  6……

这串数字从1开始往右数，第19个数字是什么？

12. 1991个1990相乘所得的积与1990个1991相乘所得的积，再相加的和末两位数是多少？

13. 设，那么n的末两位数字是多少？        

14．在一根长100厘米的木棍上，自左至右每隔6厘米染一个红点，同时自右至左每隔5厘米也染一个红点，然后沿红点处将木棍逐段锯开，那么长度是1厘米的短木棍有多少根？

八 周期性问题(B)

            年级      班      姓名      得分     

    一、填空题

 年1月18日是星期六，再过十年的1月18日是星期_____.

2. 黑珠、白珠共102颗，穿成一串，排列如下图：

                                ……

这串珠子中，最后一颗珠子应该是_____色的,这种颜色的珠子在这串有_____颗.

3. 流水线上生产小木珠涂色的次序是:先5个红,再4个黄,再3个绿,再2个黑,再1个白,然后再依次是5红,4黄,3绿,2黑,1白,……继续下去第1993个小珠的颜色是_____色.

4. 把珠子一个一个地如下图按顺序往返不断投入A、B、C、D、E、F袋中.第1992粒珠子投在_____袋中.

5. 将数列1,4,7,10,13…依次如图排列成6行,如果把最左边的一列叫做第一列,从左到右依次编号,那么数列中的数349应排在第_____行第_____列.

    1   4   7  10  13

    ………………………………

    ………………………………

6．分数化成小数后，小数点后面第1993位上的数字是_____.

7.化成小数后,小数点后面1993位上的数字是_____.

8. 在一个循环小数0.1234567中,如果要使这个循环小数第100位的数字是5,那么表示循环节的两个小圆点,应分别在_____和_____这两个数字上.

9. 1991个9与1990个8与19个7的连乘积的个位数是_____.

10. 算式(367367+762762) 123123的得数的尾数是_____.

二、解答题

11. 乘积1234……19901991是一个多位数，而且末尾有许多零，从右到左第一个不等于零的数是多少？

12．有串自然数，已知第一个数与第二个数互质，而且第一个数的恰好是第二个数的，从第三个数开始，每个数字正好是前两个数的和，问这串数的第1991个数被3除所得的余数是几？

13．

14. 甲、乙二人对一根3米长的木棍涂色.首先,甲从木棍端点开始涂黑5厘米,间隔5厘米不涂色,接着再涂黑5厘米,这样交替做到底.然后,乙从木棍同一端点开始留出6厘米不涂色,接着涂黑6厘米,再间隔6厘米不涂色,交替做到底.最后,木棍上没有被涂黑部分的长度总和为_____厘米.

———————————————答 案——————————————————————

1二

因为74=28，由某年二月份有五个星期日，所以这年二月份应是29天，且2月1日与2月29日均为星期日，3月1日是星期一，所以从这年3月1日起到这年6月1日共经过了

 天).

因为93?7=13…2，所以这年6月1日是星期二.

2．  日

依题意知，这十年中1992年、1996年都是闰年，因此，这十年之有

36510+2=3652（天）

因为（3652+1）7=521…6，所以再过十年的12月5日是星期日.

[注]上述两题(题1—题2)都是推断若干天、若干月或若干年后某一天为星期几，解答这类问题主要依据每周为七天循环的规律，运用周期性解答.在计算天数时,要根据“四年一闰，整百不闰，四百年才又一闰”的规定，即公历年份不是整百数时，只要是4的倍数就是闰年，公历年数为整百数时，必须是400的倍数才是闰年.

3.  39

从图中可以看出,三角形按“二黑二白一黑一白”的规律重复排列，也就是这一排列的周期为6，并且每一周期有3个白色三角形.

因为806=13…2，而第十四期中前两个三角形都是黑色的，所以共有白色三角形133=39（个）.

4.  白

依题意知,电灯的安装排列如下:

白,红,黄,绿,白,红,黄,绿,白,……这一排列是按“白，红，黄，绿”交替循环出现的，也就是这一排列的周期为4.

由734=18…1,可知第73盏灯是白灯.

5.  13时.

分针旋转一周为1小时,旋转1991周为1991小时.一天24小时,199124=82…23，1991小时共82天又23小时.现在是14时正,经过82天仍然是14时正,再过23小时,正好是13时.

[注]在圆面上,沿着圆周把1到12的整数等距排成一个圈,再加上一根长针和一根短针,就组成了我们天天见到的钟面.钟面虽然是那么的简单平常,但在钟面上却包含着十分有趣的数学问题,周期现象就是其中的一个重要方面.

6.  3

仔细观察题中数表.

             1  2  3  4  5       (奇数排)

 第一组 

98偶数排)

 奇数排)

 第二组

 偶数排)

 奇数排)

 第三组  

 偶数排)

可发现规律如下:

(1)连续自然数按每组9个数,且奇数排自左往右五个数,偶数排自右往左四个数的规律循环排列；

(2)观察第二组,第三组,发现奇数排的数如果用9除有如下规律:第1列用9除余数为1,第2列用9除余数为2,…，第5列用9除余数为5.

(3)109=1…1，10在1+1组，第1列

 9=2…1，19在2+1组，第1列

因为19929=221…3，所以1992应排列在（221+1）=222组中奇数排第3列数的位置上.

7.  7

它的循环周期是6，具体地六个数依次是

5，7，1，4，2，8

1106=18…2

因为余2，第110个数字是上面列出的六个数中的第2个，就是7.

.

.

.

.

8.  35

因为0.1992517的循环周期是7,0.34567的循环周期为5,又5和7的最小公倍数是35,所以两个循环小数在小数点后第35位,首次同时出现在该位上的数字都是7.

9.  853,570,568,8255.

不难看出,这串数每7个数即1,9,9,1,4,1,4为一个循环,即周期为7,且每个周期中有3个1,2个9,2个4.因为1991?7=284…3，所以这串数中有284个周期，加上第285个周期中的前三个数1，9，9.其中1的个数是:3?284+1=853(个),9的个数是2?284+2=570(个),4的个数是2?284=568(个).这些数字的总和为

1?853+9?570+4?568=8255.

10.  9

先找出积的末位数的变化规律:

71末位数为7,72末位数为9,73末位数为3, 74末位数1；75=74+1末位数为7,76=74+2末位数为9，77=74+3末位数为3，78=末位数为1……

由此可见，积的末位依次为7，9，3，1，7，9，3，1……，以4为周期循环出现.

因为504=12…2，即750=，所以750与72末位数相同，也就是积的末位数是9.

11.  依照题述规则多写几个数字:

可见19后面的数总是不断循环重复出现286884，每6个一组，即循环周期为6.因为(19-4) 6=330…5，所以所求数字是8.

12.  1991个1990相乘所得的积末两位是0,我们只需考察1990个1991相乘的积末两位数即可.1个1991末两位数是91,2个1991相乘的积末两位数是81,3个1991相乘的积末两位数是71,4个至10个1991相乘的积的末两位数分别是61,51,41,31,21,11,01,11个1991相乘积的末两位数字是91，……，由此可见，每10个1991相乘的末两位数字重复出现，即周期为10.因为199010=199,所以1990个1991相乘积的末两位数是01,即所求结果是01.

13.  n是1991个2的连乘积,可记为n=21991,首先从2的较低次幂入手寻找规律,列表如下:

14.  因为100能被5整除,所以自右至左染色也就是自左至右染色.于是我们可以看作是从同一端点染色. 

6与5的最小公倍数是30,即在30厘米的地方,同时染上红色,这样染色就会出现循环,每一周的长度是30厘米,如下图所示.

由图示可知长1厘米的短木棍,每一周期中有两段,如第1周期中,6-5=1,55-=1.剩余10厘米中有一段.所以锯开后长1厘米的短木棍共有7段.综合算式为:

2 [(100-10) 30]+1

=23+1

=7(段)

[注]解决这一问题的关键是根据整除性把自右向左每隔5厘米的染色,转化为自左向右的染色,便于利用最小公倍数发现周期现象,化难为易.

———————————————答 案——————————————————————

1.  五

在这十年中有3个闰年,所以这10年的总天数是36510+3,365被7除余1,所以总天数被7除的余数是(13-7=)6,因此10年后的1月18日是星期五.

2.  黑,26

根据图示可知,若去掉第一颗白珠后它们的排列是按“一黑三色”交替循环出现的，也就是这一排列的周期为4.

由(102-1) 4=25…1，可知循环25个周期，最后一颗珠子是黑色的.黑色珠子共有

125+1=26(颗).

3.  黑

小木球是依次按5红,4黄,3绿,2黑和1白的规律涂色的,把它看成周期性问题,每个周期为15.

由199315=132…13知，第1993个小球是第133周期中的第13个，按规律涂色应该是黑色，所以第1993个小球的颜色是黑色.

4.  B

通过观察可以发现,第11次到第20次投进的袋子依次与第1次到第10次投进的袋子相同,即当投的次数被10除余1,2,3,…，8，9，0，分别投进A，B，C，……D，C，B袋中，1992被10除余2，所以第1992粒珠子投在B袋中.

这个数列从第2项起,每一项都比前一项多3,(349-1) 3+1=117,所以349是这列数中的第117个数.

从排列可以看出,每两排为一个周期,每一周期有10个数.

因为11710=11…7，所以数“349”是第11个周期的第7个数，也就是在第24行第2列.

6.  6

=

它的循环周期是6,因为1993=6332+1,所以化成小数后,其小数点后面第1993位上的数字是6.

7.  7

=

它的循环周期是6,因为(1993-1) 6=332,则循环节“142857”恰好重复出现332次.所以小数点后面第1993位上的数字是7.

8.  3,7

表示循环小数的两个小圆点中,后一个小圆点显然应加在7的上面,且数字“5”肯定包含在循环节中，设前一个小圆点加在“5”的上面，这时循环周期是3，（100-4）3=32，第100位数字是7.设前一个小圆点加在“4”的上面，这时循环周期是4，（100-3）4=24…1，第100位数字是4.设前一个小圆点加在“3”的上面，这时的循环周期是5，（100-2）5=19…3，第100位数字正好是5.

[注]拿到此题后容易看出后一个小圆点应加在7的上面,但前一个圆点应加在哪个数字上,一下子难以确定,怎么办?唯一的办法就是“试”.因为循环节肯定要包含5,就从数字5开始试.逐步向前移动,直到成功为止.这就像我们在迷宫中行走,不知道该走哪条道才能走出迷宫,唯一的办法就是探索:先试一试这条,再试一试那条.

9.  2

由特例不难归纳出:

(1)9的连乘积的个位数字按9,1循环出现,周期为2；

(2)8的连乘积的个位数字按8,4,2,6循环出现,周期为4；

(3)7的连乘积的个位数字按7,9,3,1循环出现,周期为4.

因为1991=9952+1,所以1991个9的连乘积的个位数字是9；因为1990=4974+2，所以1990个8的连乘积的个位数字是4；因为19=4974+1，所以19个7的连乘积的个位数字是7.947的个位数字是2,即1991个9与1990个8与19年7的连乘积的个位数字是2.

10.  9

7的连乘积,尾数(个位数字)以7,9,3,1循环出现,周期为4.因为367?4=91…3，所以，367367的尾数为3.

2的连乘积,尾数以2,4,8,6循环出现,周期为4.因为762?4=190…2，所以，762762的尾数为4.

3的连乘积,尾数以3,9,7,1循环出现,周期为4.123?4

=30…3，所以，123123的尾数为7.

 所以,(367367+762762)?123123的尾数为(3+4)?7=49的尾数,所求答案为9.

11.  从1开始,将每10个数分为一组,每一组10个数从右到左第一个不等于零的数字是乘积123456710=3628800从右到左第一个不等于零的数字是8,1~1991可分为1~10，11~20，21~30，…，1981~1990，1991；8的连乘积末位数字8、4，2，6重复出现，1994=49…3，所以199个8相乘的末位数字是2，1991个位数字是1，所以，乘积123…19901991从右到左第一个不等于零的数字是2.

12.  因为第一个数=第二个数,所以第一个数：第二个数=： =3：10.又两数互质,所以第一个数为3,第二个数为10,从而这串数为：

3,10,13,23,36,59,95,154,249,403,652,1055……

被3除所得的余数为：

0，1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，……按“0，1，1，2，0，2，2，1”循环，周期为8.

因为19918=248…7，所以第1991个数被3除所得余数应是第249周期中的第7个数，即2.

[注]解答此题应注意以下两个问题:

(1)由于两个数互质,所以这两个数只能是最简整数比的两个数；

(2)求出这串数被3除所得的余数后,找出余数变化的周期,但这并不是这串数的周期.一般来说,一些有规律的数串,被某一个整数逐个去除,所得的余数也具有周期性.

13.  因为“党好”四个字，“社会主义好”五个字，

4与5的最小公倍数是20，所以在连续写完5个“党好”与4个“社会主义好”之后，将重复从头写起，出现周期现象，而且每个周期是20组数.

因为34020=17,所以第340组正好写完第17个周期,第340组是(好,好).

[注]此题从题面上看是一个文字游戏,其实质是一个周期的问题:

 四个四个地数

0   1   2   3   4   5   6   7   8   9   10

 五个五个地数

14.  根据题意甲、乙从同一端点开始涂色，甲按黑、白，黑、白……交替进行；乙按白、黑，白、黑……交替进行，如下图所示.

由上图可知,甲黑、乙白从同一端点起，到再一次甲黑、乙白同时出现，应是5与6的最小公倍数的2倍，即562=60厘米，也就是它们按60厘米为周期循环出现.并且在每一个周期中没有涂色的部分是

1+3+5+4+2=15(厘米)

所以,在3米的木棍上没有涂黑色的部分长度总和是

15?(300?60)=75(厘米)

[注]请注意这里的周期是5与6最小公倍数的2倍,而不是5与6的最小公倍数.这是同学们容易犯的错误.