上海市嘉定区2017-2018学年高一上学期期末考试数学试卷+Word版含答案

数学试卷

一、填空题（本大题满分36分）本大题共12题，只要求直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得零分．

1.已知集合{1,2,3,4}A =，集合{3,4,5}B =，则A B = ．

2.函数y =的定义域是 ．

3.不等式

3

02

x x -<-的解是 ． 4.若指数函数(1)x y m =+在R 上是增函数，则实数m 的取值范围是 ． 5.函数2()f x x x =-的零点是 ．

6.设函数()f x =

1()f x -，则1(3)f -= ．

7.已知函数21y x ax =-++在区间[1,2]上是增函数，则实数a 的取值范围是 ． 8.若幂函数2()(1)m f x m m x =--在区间(0,)+∞上单调递增，则实数m = ．

9.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≤时，2

()f x x x =--，则

(2)f = ．

10.若log (2)1a b =-，则4a b +的最小值是 ．

11.已知函数()(22)x x

f x x -=⋅-，存在1[,1]2

x ∈，使不等式(1)(2)f ax f x +≤-成立，

则实数a 的取值范围是 ．

12.已知函数()()(3)f x m x m x m =-++和()22x

g x =-同时满足以下两个条件：

（1）对于任意实数x ，都有()0f x <或()0g x <； （2）总存在0(,3)x ∈-∞-，使00()()0f x g x ⋅<成立． 则实数m 的取值范围是 ．

二、选择题：（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，每题选对得3分，否则一律得零分．

13.设x R ∈，则“1x >”是“

1

1x

<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 14.下列结论成立的是（ ）

A ．若,a b c d >>，则a c b d ->-

B ．若,a b c d >>，则a d b c ->-

C ．若a b >，则22ac bc >

D ．若a b >，则22

a b >

15.下列函数中，既为偶函数，又在区间(0,)+∞上单调递减的是（ ） A ．1y x

=

B ．3y x =-

C ．2y x -=

D ．2y x = 16.已知函数()f x 在R 上是单调函数，且对任意x R ∈，都有(()2)3x f f x -=，则(3)f 的值等于（ ）

A ．3

B ．9

C ．10

D ．11

三、解答题 （本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．

17.已知集合2{|23,}A x x x x R =+<∈，集合{||1|,0,}B x x a a x R =-<>∈．若

A B ⊆．求实数a 的取值范围．

18.设a 是实数，函数2()21

x x

a

f x +=+()x R ∈． （1）若点(1,2)P 在函数()f x 的图像上，求实数a 的值； （2）当1a =-时，求证：函数()f x 是奇函数．

19.某公司一年需购买某种原料600吨，设公司每次都购买x 吨，每次运费为3万元，一年的总存储费为2x 万元，一年的总运费与总存储费之和为y （单位：万元）． （1）试用解析式得y 表示成x 的函数；

（2）当x 为何值时，y 取得最小值？并求出y 的最小值． 20.已知函数()1|1|,[0,2]f x x x =--∈．

（1）将函数()f x 写成分段函数的形式，并画出函数()f x 的大致图像；

（2）求证：函数2[()]1

()()

f x

g x f x -=在(0,1]上是增函数；

（3）若关于x 的方程22[()]()10f x a f x +⋅+=在区间[0,2]上有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围．

21.已知x R ∈，定义：()f x 表示不小于x 的最小整数，例如：2f =，(0.6)0f -=． （1）若()2018f x =，求实数x 的取值范围； （2）若0x >，且1

(3())(6)31

x

f x f x f +=+

+，求实数x 的取值范围； （3）设()()2f x g x x a x =+⋅-，2242022

()57

x x h x x x -+-=-+，若对于任意的123(2,4]x x x ∈、、，都有123()|()()|g x h x h x >-，求实数a 的取值范围．

试卷答案

一、填空题

1. {3,4}

2. [2,)+∞

3. (2,3)

4. (0,)+∞

5.0和1

6.9

7. [4,)+∞

8.2

9. 2 10.

[5,1]- 12. (4,3)-- 二、选择题

13.A 14.B 15.C 16.B

三、解答题

17.解：由223x x +<得2

230x x +-<，解得31x -<<，即(3,1)A =-．

又由|1|,0x a a -<>解得11a x a -<<+，即(1,1)B a a =-+．

因为A B ⊆，所以13

11

a a -≤-⎧⎨+≥⎩，解得4a ≥．

因此所求实数a 的取值范围是[4,)+∞． 18.（1）解：由题意知，(1)2f =，即

223

a

+=，解得4a =． （2）证明：当1a =-时，21

()21

x x f x -=+．

11

212()12112x

x

x x

f x -----==++12211212x x x x

--==-++，所以()()f x f x -=-． 由奇函数的定义知，当1a =-时，函数()f x 是奇函数．

19.（1）解：该公司一年需购买某种原料600吨，每次都购买x 吨，则一共需要购买600

x

次， 因为每次运费为3万元，所以一年的总运费是6001800

3x x

⨯=（万元）； 又因为一年的总存储费为2x 万元． 所以一年的总运费与总存储费之和1800

2y x x

=

+，0600x <≤． 这就是所求的y 关于x 的函数解析式．

（2）解：因为0600x <≤

，所以

18002120x x +≥=． 当且仅当

1800

2x x

=，即30x =时，等号成立． 所以当30x =吨时，y 取得最小值，y 的最小值是120万元．

20.（1）解：由题设得,01

()2,12

x x f x x x ≤≤⎧=⎨-<≤⎩；

其图像如下图所示．

（2）证明：当(0,1]x ∈时，()f x x =，所以1

()g x x x

=-，(0,1]x ∈． 任取12,(0,1]x x ∈，且12x x <，则121212

11()()()()g x g x x x x x -=-

-- 121211()(

)x x x x =---=211212()()x x x x x x ---=12121

()(1)x x x x -+=12

1212

1()x x x x x x +-⋅ 又12,(0,1]x x ∈，且12x x <，

所以120x x -<，120x x >，1210x x +>可得12()()0g x g x -<，即12()()g x g x <， 因此函数()g x 在(0,1]上是增函数． （3）设()t f x =．由（1）得[0,1]t ∈．

且[0,1)t ∈时，方程()t f x =有两个不相等的实根．

又关于x 的方程2

2[()]()10f x a f x +⋅+=在区间[0,2]上有两个不相等的实根， 所以关于t 的方程2

210t at ++=在[0,1)上仅有一个实根，且1不可为其根．

由于0不是方程2210t at ++=的根，则关于t 的方程2

210t at ++=在(0,1)上仅有一个实根，且1不可为其根． 令2()21g t t at =++．

由其图像与性质可得(0)(1)30g g a ⋅=+<或280

014

a a

⎧∆=-=⎪

⎨<-<⎪⎩． 解得3a <-

或a =-

所以所求实数a

的取值范围是(,3){-∞-- ． 21.（1）解：由()2018f x =及题意得20172018x <≤． 所以所求实数x 的取值范围是(2017,2018]． （2）解：因为3(0,)x

∈+∞，则31(1,)x

+∈+∞，1(0,1)31x ∈+，1

6(6,7)31

x +∈+， 所以1

(6)731

x f +

=+． 由题意得当0x >，且(3())7f x f x +=，所以63()7x f x <+≤．

若()1f x =，即01x <≤时，6317x <+≤，解得

5

23x <≤，所以x ∈∅； 若()2f x =，即12x <≤时，6327x <+≤．解得4533x <≤，所以45

(,]33

x ∈；

若()3f x ≥，即2x >时，36x >，3()9x f x +>，不符合题意．所以x ∈∅． 综上，所求实数x 的取值范围是45

(,]33

．

（3）解：对于任意的123,,(2,4]x x x ∈，都有123()|()()|g x h x h x >-． 只需max min ()[()][()]g x h x h x >-对任意的(2,4]x ∈恒成立．

又2242022

()57

x x h x x x -+-=-+26

453()24

x =-+

-+

．

因为(2,4]x ∈，所以当5

2

x =

时，max [()]4h x =；当4x =时，min [()]2h x =-． 因此()6g x >对任意的(2,4]x ∈恒成立．

①当(2,3]x ∈时，3()26a g x x x

=+->恒成立． 即238a x x >-恒成立，所以2max 3(8)15a x x >-=，解得5a >；

②当(3,4]x ∈时，4()26a g x x x

=+->恒成立． 即248a x x >-恒成立，所以2max 4(8)16a x x >-=，解得4a >．

综上，所求实数a 的取值范围是(5,)+∞．