一、选择题
1.（-2021）0的值是（ ）
A. -2021 B. 2021 C. 0 D. 1
【答案】D
【考点】0指数幂的运算性质
【解析】【解答】解：∵20210=1，故答案为：D.
【分析】根据a0=1即可得出答案.
2.四川省公布了2017年经济数据GDP排行榜，绵阳市排名全省第二，GDP总量为2075亿元。将2075亿元用科学计数法表示为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数
【解析】【解答】解：∵2075亿=2.075×1011 ，
故答案为：B.
【分析】由科学计数法：将一个数字表示成 a×10的n次幂的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，由此即可得出答案.
3.如图，有一块含有30°角的直角三角形板的两个顶点放在直尺的对边上。如果∠2=44°，那么∠1的度数是（ ）
A.14°
B.15°
C.16°
D.17°
【答案】C
【考点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图：
依题可得：∠2=44°，∠ABC=60°，BE∥CD，
∴∠1=∠CBE，
又∵∠ABC=60°，
∴∠CBE=∠ABC -∠2=60°-44°=16°，
即∠1=16°.
故答案为：C.
【分析】根据两直线平行，内错角相等得∠1=∠CBE，再结合已知条件∠CBE=∠ABC -∠2，带入数值即可得∠1的度数.
4.下列运算正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【考点】同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A.∵a2·a3=a5,故错误，A不符合题意；
B.a3与a2不是同类项，故不能合并，B不符合题意；
C.∵（a2）4=a8,故正确，C符合题意；
D.a3与a2不是同类项，故不能合并，D不符合题意
故答案为：C.
【分析】A.根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加即可判断对错；
B.根据同类项定义：所含字母相同，并且相同字母指数相同，由此得不是同类项；
C.根据幂的乘方，底数不变，指数相乘即可判断对错；
D.根据同类项定义：所含字母相同，并且相同字母指数相同，由此得不是同类项；
5.下列图形中是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【考点】轴对称图形，中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A.不是中心对称图形，A不符合题意；
B.是轴对称图形，B不符合题意；
C.不是中心对称图形，C不符合题意；
D.是中心对称图形，D符合题意；
故答案为：D.
【分析】在一个平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；由此判断即可得出答案.
6.等式 成立的x的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【考点】二次根式有意义的条件，在数轴上表示不等式（组）的解集
【解析】【解答】解：依题可得：
x-3≥0且x+1〉0，
∴x≥3，
故答案为：B.
【分析】根据二次根式有意义的条件：根号里面的数应大于或等于0，如果二次根式做分母，根号里面的数只要大于0即可，解这个不等式组，并将答案在数轴上表示即可得出答案.
7.在平面直角坐标系中，以原点为对称中心，把点A（3，4）逆时针旋转90°，得到点B，则点B的坐标为（ ）
A.（4，-3）
B.（-4，3）
C.（-3，4）
D.（-3，-4）
【答案】B
【考点】点的坐标，旋转的性质
【解析】【解答】解：如图：
由旋转的性质可得：
△AOC≌△BOD，
∴OD=OC，BD=AC，
又∵A（3,4），
∴OD=OC=3，BD=AC=4，
∵B点在第二象限，
∴B（-4,3）.
故答案为：B.
【分析】建立平面直角坐标系，根据旋转的性质得△AOC≌△BOD，再由全等三角形的性质和点的坐标性质得出B点坐标，由此即可得出答案.
8.在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（ ）
A.9人
B.10人
C.11人
D.12人
【答案】C
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【解答】解：设参加酒会的人数为x人，依题可得：
x（x-1）=55，
化简得：x2-x-110=0，
解得：x1=11，x2=-10（舍去），
故答案为：C.
【分析】设参加酒会的人数为x人，根据每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，列出一元二次方程，解之即可得出答案.
9.如图，蒙古包可近似看作由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面圆面积为25πm2 ， 圆柱高为3m，圆锥高为2m的蒙古包，则需要毛毡的面积是（ ）
A.
B.40πm2
C.
D.55πm2
【答案】A
【考点】圆锥的计算，圆柱的计算
【解析】【解答】解：设底面圆的半径为r，圆锥母线长为l，依题可得：
πr2=25π，
∴r=5，
∴圆锥的母线l= = ，
∴圆锥侧面积S = ·2πr·l=πrl=5 π（m2）,
圆柱的侧面积S =2πr·h=2×π×5×3=30π（m2），
∴需要毛毡的面积=30π+5 π（m2），
故答案为：A.
【分析】根据圆的面积公式求出底面圆的半径，由勾股定理得圆锥母线长，再根据圆锥的侧面展开图为扇形，圆柱的侧面展开图为矩形或者正方形，根据其公式分别求出它们的侧面积，再求和即可得出答案.
10.一艘在南北航线上的测量船，于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达C点时，测得海岛B在C点的北偏东15°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是（结果保留小数点后两位）（参考数据： ）（ ）
A. 4.海里 B. 5.49海里 C. 6.12海里 D. 6.21海里
【答案】B
【考点】三角形内角和定理，等腰三角形的性质，解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：根据题意画出图如图所示：作BD⊥AC，取BE=CE，
∵AC=30，∠CAB=30°∠ACB=15°，
∴∠ABC=135°，
又∵BE=CE，
∴∠ACB=∠EBC=15°，
∴∠ABE=120°，
又∵∠CAB=30°
∴BA=BE，AD=DE，
设BD=x，
在Rt△ABD中，
∴AD=DE= x，AB=BE=CE=2x，
∴AC=AD+DE+EC=2 x+2x=30，
∴x= = ≈5.49，
故答案为：B.
【分析】根据题意画出图如图所示：作BD⊥AC，取BE=CE，根据三角形内角和和等腰三角形的性质得出BA=BE，AD=DE，设BD=x，Rt△ABD中，根据勾股定理得AD=DE= x，AB=BE=CE=2x，由AC=AD+DE+EC=2 x+2x=30，解之即可得出答案.
11.如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，若AE= ，AD= ，则两个三角形重叠部分的面积为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【考点】三角形的面积，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形
【解析】【解答】解：连接BD，作CH⊥DE，
∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，
∴∠ACB=∠ECD=90°,∠ADC=∠CAB=45°,
即∠ACD+∠DCB=∠ACD+∠ACE=90°，
∴∠DCB=∠ACE，
在△DCB和△ECA中，
,
∴△DCB≌△ECA，
∴DB=EA= ,∠CDB=∠E=45°,
∴∠CDB+∠ADC=∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，
∴AB= =2 ，
在Rt△ABC中，
∴2AC2=AB2=8，
∴AC=BC=2，
在Rt△ECD中，
∴2CD2=DE2= ，∴CD=CE= +1，
∵∠ACO=∠DCA，∠CAO=∠CDA，
∴△CAO∽△CDA，
∴ ： = = =4-2 ，
又∵ = CE = DE·CH，
∴CH= = ，
∴ = AD·CH= × × = ，
∴ =（4-2 ）× =3- .
即两个三角形重叠部分的面积为3- .
故答案为：D.
【分析】解：连接BD，作CH⊥DE，根据等腰直角三角形的性质可得∠ACB=∠ECD=90°,∠ADC=∠CAB=45°,再由同角的余角相等可得∠DCB=∠ACE；由SAS得△DCB≌△ECA，根据全等三角形的性质知DB=EA= ,∠CDB=∠E=45°,从而得∠ADB=90°，在Rt△ABD中，根据勾股定理得AB=2 ，同理可得AC=BC=2，CD=CE= +1；由相似三角形的判定得△CAO∽△CDA，根据相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方从而得出两个三角形重叠部分的面积.
12.将全体正奇数排成一个三角形数阵
1
3 5
7 9 11
13 15 17 19
21 23 25 27 29
… … … … … …
根据以上排列规律，数阵中第25行的第20个数是（ ）
A.639
B.637
C.635
D.633
【答案】A
【考点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：依题可得：第25行的第一个数为：
1+2+4+6+8+……+2×24=1+2× =601，
∴第25行的第第20个数为：601+2×19=639.
故答案为：A.
【分析】根据规律可得第25行的第一个数为，再由规律得第25行的第第20个数.
二、填空题
13.因式分解： ________。
【答案】y（x++2y）（x-2y）
【考点】提公因式法因式分解，因式分解﹣运用公式法
【解析】【解答】解：原式=y（x++2y）（x-2y）,
故答案为：y（x++2y）（x-2y）.
【分析】根据因式分解的方法——提公因式法和公式法分解即可得出答案.
14.如图，在中国象棋的残局上建立平面直角坐标系，如果“相”和“兵”的坐标分别是（3，-1）和（-3，1），那么“卒”的坐标为________。
【答案】（-2，-2）
【考点】点的坐标，用坐标表示地理位置
【解析】【解答】解：建立平面直角坐标系（如图），
∵相（3，-1），兵（-3，1），
∴卒（-2，-2），
故答案为：（-2，-2）.
【分析】根据题中相和兵的坐标确定原点位置，建立平面直角坐标系，从而得出卒的坐标.
15.现有长分别为1，2，3，4，5的木条各一根，从这5根木条中任取3根，能够构成三角形的概率是________。
【答案】
【考点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：从5根木条中任取3根的所有情况为：1、2、3；1、2、4；1、2、5；1、3、4；1、3、5；1、4、5；2、3、4；2、3、5；2、4、5；3、4、5；共10种情况；
∵能够构成三角形的情况有：2、3、4；2、4、5；3、4、5；共3种情况；
∴能够构成三角形的概率为： .
故答案为： .
【分析】根据题意先列出从5根木条中任取3根的所有情况数，再根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，找出能够构成三角形的情况数，再由概率公式求解即可.
16.右图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加________m。
【答案】4 -4
【考点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：根据题意以AB为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（如图），
依题可得：A（-2,0），B（2,0），C（0,2），
设经过A、B、C三点的抛物线解析式为：y=a（x-2）（x+2）,
∵C（0,2）在此抛物线上，
∴a=- ，
∴此抛物线解析式为：y=- （x-2）（x+2）,
∵水面下降2m，
∴- （x-2）（x+2）=-2,
∴x1=2 ，x2=-2 ，
∴下降之后的水面宽为：4 .
∴水面宽度增加了：4 -4.
故答案为：4 -4.
【分析】根据题意以AB为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（如图），依题可得：A（-2,0），B（2,0），C（0,2），再根据待定系数法求出经过A、B、C三点的抛物线解析式y=- （x-2）（x+2）；由水面下降2m，求出下降之后的水面宽度，从而得出水面宽度增加值.
17.已知a>b>0,且 ，则 ________。
【答案】
【考点】解分式方程，换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
∵ + + =0，
两边同时乘以ab（b-a）得：
a2-2ab-2b2=0，
两边同时除以a2得：
2（ ） 2+2 -1=0，
令t= （t〉0）,
∴2t2+2t-1=0，
∴t= ，
∴t= = .
故答案为： .
【分析】等式两边同时乘以ab（b-a）得：a2-2ab-2b2=0，两边同时除以a 得：
2（ ）2+2 -1=0，解此一元二次方程即可得答案.
18.如图，在△ABC中，AC=3，BC=4，若AC，BC边上的中线BE,AD垂直相交于点O，则AB=________.
【答案】
【考点】勾股定理，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接DE，
∵AD、BE为三角形中线，
∴DE∥AB，DE= AB，
∴△DOE∽△AOB，
∴ = = = ，
设OD=x，OE=y，
∴OA=2x，OB=2y,
在Rt△BOD中，
x2+4y 2=4 ①，
在Rt△AOE中，
4x2+y2= ②，
∴①+ ②得：
5x2+5y2= ，
∴x2+y2= ，
在Rt△AOB中，
∴AB2=4x2+4y2=4（x2+y 2）=4× ，
即AB= .
故答案为： .
【分析】连接DE，根据三角形中位线性质得DE∥AB，DE= AB，从而得△DOE∽△AOB，根据相似三角形的性质可得 = = = ；设OD=x，OE=y，从而可知OA=2x，OB=2y,根据勾股定理可得x2+4y2=4，4x2+y2= ，两式相加可得x2+y2= ，在Rt△AOB中，由股股定理可得AB= .
三、解答题。
19.
（1）计算：
（2）解分式方程：
【答案】（1）原式= ×3 - × +2- + ，
= - +2- + ，
=2.
（2）方程两边同时乘以x-2得：
x-1+2（x-2）=-3,
去括号得：x-1+2x-4=-3,
移项得：x+2x=-3+1+4,
合并同类项得：3x=2，
系数化为1得：x= .
检验：将x= 代入最简公分母不为0，故是原分式方程的根，
∴原分式方程的解为：x= .
【考点】实数的运算，解分式方程
【解析】【分析】将分式方程转化成整式方程，再按照去括号——移项——合并同类项——系数化为1即可得出答案，经检验是原分式方程的根.
20.绵阳某公司销售统计了每个销售员在某月的销售额，绘制了如下折线统计图和扇形统计图：
设销售员的月销售额为x（单位：万元）。销售部规定：当x<16时，为“不称职”，当 时为“基本称职”，当 时为“称职”，当 时为“优秀”。根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全折线统计图和扇形统计图；
（2）求所有“称职”和“优秀”的销售员销售额的中位数和众数；
（3）为了调动销售员的积极性，销售部决定制定一个月销售额奖励标准，凡月销售额达到或超过这个标准的销售员将获得奖励。如果要使得所有“称职”和“优秀”的销售员的一般人员能获奖，月销售额奖励标准应定为多少万元（结果去整数）？并简述其理由。
【答案】（1）解：（1）依题可得：
“不称职”人数为：2+2=4（人），
“基本称职”人数为：2+3+3+2=10（人），
“称职”人数为：4+5+4+3+4=20（人），
∴总人数为：20÷50%=40（人），
∴不称职”百分比：a=4÷40=10%，
“基本称职”百分比：b=10÷40=25%，
“优秀”百分比：d=1-10%-25%-50%=15%，
∴“优秀”人数为：40×15%=6（人），
∴得26分的人数为：6-2-1-1=2（人），
补全统计图如图所示：
（2）由折线统计图可知：“称职”20万4人，21万5人，22万4人，23万3人，24万4人，
“优秀”25万2人，26万2人，27万1人，28万1人；
“称职”的销售员月销售额的中位数为：22万，众数：21万；
“优秀”的销售员月销售额的中位数为：26万，众数：25万和26万；
（3）由（2）知月销售额奖励标准应定为22万.
∵“称职”和“优秀”的销售员月销售额的中位数为：22万，
∴要使得所有“称职”和“优秀”的销售员的一半人员能获奖，月销售额奖励标准应定为22万元.
【考点】扇形统计图，折线统计图，中位数，众数
【解析】【分析】（1）由折线统计图可知：“称职”人数为20人，由扇形统计图可知：“称职”百分比为50%，根据总人数=频数÷频率即可得，再根据频率=频数÷总数即可得各部分的百分比，从而补全扇形统计图；由频数=总数×频率可得“优秀”人数为6人，结合折线统计图可得
得26分的人数为2人，从而补全折线统计图.（2）由折线统计图可知：“称职”和“优秀”各人数，再根据中位数和众数定义即可得答案.（3）由（2）知“称职”和“优秀”的销售员月销售额的中位数，根据题意即可知月销售额奖励标准.
21.有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运货18吨，2辆大货车与6辆小货车一次可以运货17吨。
（1）请问1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货多少吨？
（2）目前有33吨货物需要运输，货运公司拟安排大小货车共计10辆，全部货物一次运完，其中每辆大货车一次运费话费130元，每辆小货车一次运货花费100元，请问货运公司应如何安排车辆最节省费用？
【答案】（1）解：设1辆大货车一次可以运货x吨，1辆小货车一次可以运货y吨，依题可得：
,
解得： .
答：1辆大货车一次可以运货4吨，1辆小货车一次可以运货 吨。
（2）解：设大货车有m辆，则小货车10-m辆，依题可得：
4m+ （10-m）≥33
m≥0
10-m≥0解得： ≤m≤10，
∴m=8,9,10；
∴当大货车8辆时，则小货车2辆；
当大货车9辆时，则小货车1辆；
当大货车10辆时，则小货车0辆；
设运费为W=130m+100(10-m）=30m+1000，
∵k=30〉0，
∴W随x的增大而增大，
∴当m=8时，运费最少，
∴W=30×8+1000=1240（元），
答：货运公司应安排大货车8辆时，小货车2辆时最节省费用.
【考点】二元一次方程组的其他应用，一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）设1辆大货车一次可以运货x吨，1辆小货车一次可以运货y吨，根据3辆大货车与4辆小货车一次可以运货18吨，2辆大货车与6辆小货车一次可以运货17吨可列出二元一次方程组，解之即可得出答案.（2）设大货车有m辆，则小货车10-m辆，根据题意可列出一元一次不等式组，解之即可得出m范围，从而得出派车方案，再由题意可得W=130m+100(10-m）=30m+1000，根据一次函数的性质，k〉0，W随x的增大而增大，从而得当m=8时，运费最少.
22.如图，一次函数 的图像与反比例函数的图像交于A，B两点，过点A做x轴的垂线，垂足为M，△AOM面积为1.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）在y轴上求一点P,使PA+PB的值最小，并求出其最小值和P点坐标。
【答案】（1）解：（1）设A（x，y）
∵A点在反比例函数上，
∴k=xy，
又∵ = .OM·AM= ·x·y= k=1，
∴k=2.
∴反比例函数解析式为：y= .
（2）解：作A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于点P，PA+PB的最小值即为A′B.
∴ ，
∴ 或 .
∴A（1,2），B（4， ），
∴A′（-1，2），
∴PA+PB=A′B= = .
设A′B直线解析式为：y=ax+b，
∴ ，
∴ ，
∴A′B直线解析式为：y=- x+ ，
∴P（0， ）.
【考点】待定系数法求一次函数解析式，反比例函数系数k的几何意义，待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）设A（x，y）,A在反比例函数解析式上，由反比例函数k的几何意义可得k=2，从而得反比例函数解析式.（2）作A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于点P，PA+PB的最小值即为A′B.联立反比例函数和一次函数解析式，得出A（1,2），B（4， ），从而得A′（-1.2），根据两点间距离公式得PA+PB=A′B的值；再设A′B直线解析式为：y=ax+b，根据待定系数法求得
A′B直线解析式，从而得点P坐标.
23.如图，AB是 的直径，点D在 上（点D不与A，B重合），直线AD交过点B的切线于点C，过点D作 的切线DE交BC于点E。
（1）求证：BE=CE；
（2）若DE平行AB，求 的值。
【答案】（1）证明：连接OD、BD，
∵EB、ED分别为圆O的切线，
∴ED=EB，
∴∠EDB=∠EBD，
又∵AB为圆O的直径，
∴BD⊥AC，
∴∠BDE+∠CDE=∠EBD+∠DCE，
∴∠CDE=∠DCE，
∴ED=EC，
∴EB=EC.
（2）解：过O作OH⊥AC，设圆O半径为r，
∵DE∥AB，DE、EB分别为圆O的切线，
∴四边形ODEB为正方形，
∵O为AB中点，
∴D、E分别为AC、BC的中点，
∴BC=2r，AC=2 r，
在Rt△COB中，
∴OC= r，
又∵ = ·AO·BC= ·AC·OH，
∴r×2r=2 r×OH,
∴OH= r，
在Rt△COH中，
∴sin∠ACO= = = .
【考点】三角形的面积，正方形的判定与性质，圆周角定理，锐角三角函数的定义，切线长定理
【解析】【分析】（1）证明：连接OD、BD，由切线长定理得ED=EB，由等腰三角形性质得∠EDB=∠EBD；根据圆周角定理得BD⊥AC，由等角的余角相等得∠CDE=∠DCE，再由等腰三角形性质和等量代换可得EB=EC.（2）过O作OH⊥AC，设圆O半径为r，根据切线长定理和正方形的判定可得四边形ODEB为正方形，从而得出D、E分别为AC、BC的中点，从而得BC=2r，AC=2 r，在Rt△COB中，
再根据勾股定理得OC= r；由 = ·AO·BC= .AC.OH求出OH= r，在Rt△COH中，
根据锐角三角函数正弦的定义即可得出答案.
24.如图，已知△ABC的顶点坐标分别为A（3，0），B（0，4），C（-3，0）。动点M，N同时从A点出发，M沿A→C,N沿折线A→B→C，均以每秒1个单位长度的速度移动，当一个动点到达终点C时，另一个动点也随之停止移动，移动时间记为t秒。连接MN。
（1）求直线BC的解析式；
（2）移动过程中，将△AMN沿直线MN翻折，点A恰好落在BC边上点D处，求此时t值及点D的坐标；
（3）当点M,N移动时，记△ABC在直线MN右侧部分的面积为S，求S关于时间t的函数关系式。
【答案】（1）解：设直线BC解析式为：y=kx+b，
∵B（0，4），C（-3，0），
∴ ，
解得：
∴直线BC解析式为：y= x+4.
（2）解：依题可得：AM=AN=t，
∵△AMN沿直线MN翻折，点A与点点D重合，
∴四边形AMDN为菱形，
作NF⊥x轴，连接AD交MN于O′，
∵A（3，0），B（0，4），
∴OA=3,OB=4，
∴AB=5,
∴M（3-t，0），
又∵△ANF∽△ABO，
∴ = = ,
∴ = = ,
∴AF= t，NF= t，
∴N（3- t， t），
∴O′（3- t, t），
设D（x,y）,
∴ =3- t， = t，
∴x=3- t,y= t，
∴D（3- t， t），
又∵D在直线BC上，
∴ ×（3- t）+4= t，
∴t= ，
∴D（- ， ）.
（3）①当0 ∴S= = ·AM·DF= ×t× t= t , ②当5 ∴BN=t-5，CN=-5-（t-5）=10-t， 又∵△CNF∽△CBO， ∴ = , ∴ = , ∴NF= （10-t）， ∴S= - = ·AC·OB- ·CM·NF， = ×6×4- ×（6-t）× （10-t）， =- t + t-12. 【考点】待定系数法求一次函数解析式，翻折变换（折叠问题），相似三角形的判定与性质，二次函数的实际应用-动态几何问题，几何图形的动态问题 【解析】【分析】（1）设直线BC解析式为：y=kx+b，将B、C两点坐标代入即可得出二元一次方程组，解之即可得出直线BC解析式.（2）依题可得：AM=AN=t，根据翻折性质得四边形AMDN为菱形，作NF⊥x轴，连接AD交MN于O′，结合已知条件得M（3-t，0），又△ANF∽△ABO，根据相似三角形性质得 = = , 代入数值即可得AF= t，NF= t，从而得N（3- t， t），根据中点坐标公式得O′（3- t, t）， 设D（x,y）,再由中点坐标公式得D（3- t， t），又由D在直线BC上，代入即可得D点坐标.（3）①当0 （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线上取一点P，过点P作直线AC的垂线，垂足为D，连接OA，使得以A，D，P为顶点的三角形与△AOC相似，求出对应点P的坐标； （3）抛物线上是否存在点Q，使得 ?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。 【答案】（1）解：∵点A、B在抛物线上， ∴ ， 解得： ∴抛物线解析式为：y= x - x. （2）解：设P（x，y）， ∵A（ ，-3）， ∴C（0，-3），D（x,-3）, ∴PD=y+3，CO=3，AD=x- ，AC= ， ①当△ADP∽△ACO时， ∴ = ， ∴ = ∴y= x-6， 又∵P在抛物线上， ∴ ， ∴x -5 x+12=0， ∴（x-4 ）（x- ）=0, ∴x =4 ,x = ， ∴ 或 , ∵A（ ，-3）， ∴P（4 ,6）. ②当△PDA∽△ACO时， ∴ = ， ∴ = ， ∴y= x-4, 又∵P在抛物线上， ∴ ， ∴ x -11x+8 =0， ∴（ x-8）（x- ）=0, ∴x = ,x = ， 解得： 或 , ∵A（ ，-3）， ∴P（ ,- ）. 综上，P点坐标为（4 ,6）或（ ,- ）. （3）解：∵A ， ∴AC= ,OC=3， ∴OA=2 , ∴ = ·OC·AC= ·OA·h= ， ∴h= ， 又∵ = ， ∴△AOQ边OA上的高=3h= , 过O作OM⊥OA,截取OM= ，过点M作MN∥OA交y轴于点N ，过M作HM⊥x轴,（如图）， ∵AC= ,OA=2 , ∴∠AOC==30°， 又∵MN∥OA， ∴∠MNO=∠AOC=30°，OM⊥MN， ∴ON=2OM=9，∠NOM=60°， 即N（0,9）， ∴∠MOB=30°， ∴MH= OM= , ∴OH= = , ∴M（ ， ）， 设直线MN解析式为：y=kx+b， ∴ ， ∴ ∴直线MN解析式为：y=- x+9， ∴ ， ∴x - x-18=0, （x-3 ）（x+2 ）=0, ∴x =3 ,x =-2 ， ∴ 或 ， ∴Q点坐标（3 ，0）或（-2 ，15）， ∴抛物线上是否存在点Q，使得 . 【考点】待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求二次函数解析式，含30度角的直角三角形，相似三角形的判定与性质，二次函数与一次函数的综合应用 【解析】【分析】（1）将A、B两点坐标代入抛物线解析式得到一个二元一次方程方程组，解之即可得抛物线解析式.（2）设P（x，y），根据点的坐标性质结合题意可得PD=y+3，CO=3，AD=x- ，AC= ，分情况讨论：①当△ADP∽△ACO时，根据相似三角形的性质得 = ，代入数值可得y= x-6， 又P在抛物线上，联立解一个二元一次方程组得点P坐标（4 ,6）. ②当△PDA∽△ACO时，根据相似三角形的性质得 = ，代入数值可得y= x-4,又P在抛物线上，联立解一个二元一次方程组得点P坐标P（ ,- ）.（3）根据点A坐标得AC= ,OC=3，由勾股定理得OA=2 ,根据三角形面积公式可得△AOC边OA上的高h= ，又 = 得△AOQ边OA上的高为 ；过O作OM⊥OA,截取OM= ，过点M作MN∥OA交y轴于点N ，过M作HM⊥x轴,（如图），根据直角三角形中，30度所对的直角边等于斜边的一半，从而求出N（0,9），在Rt△MOH中，根据直角三角形性质和勾股定理得M（ ， ）；用待定系数法求出直线MN解析式，再讲直线MN和抛物线解析式联立即可得Q点坐标.
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