2020学年 贵州省毕节市 高一下学期联考数学试题(解析版)

一、单选题

1．已知集合，集合，则（    ）

A．    B．    C．    D．

【答案】B

【解析】首先化简集合，再求即可.

【详解】

，

.

故选：B

【点睛】

本题主要考查集合的交集运算，同时考查了函数的定义域求法，属于简单题.

2．已知角的终边经过点，则（    ）

A．    B．    C．    D．

【答案】C

【解析】首先根据题意求出，再根据正弦函数的定义即可求出的值.

【详解】

，.

故选：C

【点睛】

本题主要考查正弦函数的定义，属于简单题.

3．设，则（    ）

A．    B．    C．    D．

【答案】C

【解析】首先化简，可得到大小关系，再根据，即可得到的大小关系.

【详解】

，

，.

所以.

故选：C

【点睛】

本题主要考查指数，对数的比较大小，熟练掌握指数和对数函数的性质为解题的关键，属于简单题.

4．若函数则（    ）

A．    B．    C．    D．

【答案】B

【解析】首先根据题意得到，再计算即可.

【详解】

……，

.

故选：B

【点睛】

本题主要考查分段函数值的求法，同时考查了指数幂的运算，属于简单题.

5．若向量互相垂直，且，则的值为（    ）

A．    B．    C．    D．

【答案】B

【解析】首先根据题意得到，再计算即可.

【详解】

因为向量互相垂直，，

所以.

所以.

故选：B

【点睛】

本题主要考查平面向量模长的计算，同时考查了平面向量数量积，属于简单题.

6．若实数满足约束条件则的最大值与最小值之和为（    ）

A．    B．    C．    D．

【答案】A

【解析】首先根据不等式组画出对应的可行域，再分别计算出顶点的坐标，带入目标函数求出相应的值，即可找到最大值和最小值.

【详解】

不等式组对应的可行域如图所示：

，.

，.

，，.

，，

.

故选：A

【点睛】

本题主要考查线性规划，根据不等式组画出可行域为解题的关键，属于简单题.

7．已知，且为第二象限角，则（    ）

A．    B．    C．    D．

【答案】D

【解析】首先根据题意得到，，再计算即可.

【详解】

因为，且为第二象限角，

，.

.

故选：D

【点睛】

本题主要考查正切二倍角的计算，同时考查了三角函数的诱导公式和同角三角函数的关系，属于简单题.

8．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题不正确的是（    ）

A．若，则    B．若，则

C．若，则    D．若，则

【答案】D

【解析】对于A，利用线面平行的判定可得A正确.对于B，利用线面垂直的性质可得B正确.对于C，利用面面垂直的判定可得C正确.根据平面与平面的位置关系即可判断D不正确.

【详解】

对于A，根据平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，

则这条直线平行于这个平面，可判定A正确.

对于B，根据垂直于同一个平面的两条直线平行，判定B正确.

对于C，根据一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直，

可判定C正确.

对于D，若，则或相交，所以D不正确.

故选：D

【点睛】

本题主要考查了线面平行和面面垂直的判定，同时考查了线面垂直的性质，属于中档题.

9．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为:弧田面积(弦矢+矢).弧田，由圆弧和其所对弦所围成.公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为，弦长等于的弧田.按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得弧田面积为（    ）

A．    B．    C．    D．

【答案】C

【解析】首先根据图形计算出矢，弦，再带入弧田面积公式即可.

【详解】

如图所示：

因为，，为等边三角形.

所以，矢，弦.

.

故选：C

【点睛】

本题主要考查扇形面积公式，同时考查学生对题意的理解，属于中档题.

10．在中，角所对的边分别为，若.且，则的值为（    ）

A．    B．

C．    D．或

【答案】D

【解析】首先根据余弦定理，得到或.再分别计算即可.

【详解】

因为，所以，

即：，解得：或.

当时，.

当时，.

所以或.

故选：D

【点睛】

本题主要考查余弦定理解三角形，熟记公式为解题的关键，属于中档题.

11．已知函数在上单调递增，且的图象关于对称.若，则的解集为（    ）

A．    B．

C．    D．

【答案】D

【解析】首先根据题意得到的图象关于轴对称，，再根据函数的单调性画出草图，解不等式即可.

【详解】

因为的图象关于对称，

所以的图象关于轴对称，.

又因为在上单调递增，

所以函数的草图如下：

所以或，

解得：或.

故选：D

【点睛】

本题主要考查函数的对称性，同时考查了函数的图象平移变换，属于中档题.

12．已知函数，若对于恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A．    B．    C．    D．

【答案】A

【解析】首先设，将题意转化为，即可，再分类讨论求出，解不等式组即可.

【详解】

，恒成立，

等价于，恒成立.

令，对称轴为.

即等价于，即可.

当时，

得到，解得：.

当时，

得到，解得：.

当时，

得到，解得：.

综上所述：.

故选：A

【点睛】

本题主要考查二次不等式的恒成立问题，同时考查了二次函数的最值问题，分类讨论是解题的关键，属于中档题.

二、填空题

13．函数的初相是__________．

【答案】

【解析】根据函数的解析式即可求出函数的初相.

【详解】

，初相为.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查的物理意义，属于简单题.

14．等差数列满足，则其公差为__________．

【答案】

【解析】首先根据等差数列的性质得到，再根据即可得到公差的值.

【详解】

，解得.

，所以.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查等差数列的性质，熟记公式为解题的关键，属于简单题.

15．已知一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是等腰直角三角形，则该几何体的体积为__________．

【答案】

【解析】首先根据三视图还原几何体，再计算体积即可.

【详解】

由三视图知：该几何体是以底面是直角三角形，高为的三棱锥，

直观图如图所示：

.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查三视图还原直观图，同时考查了锥体的体积计算，属于简单题.

16．已知函数，若函数恰有个零点，则实数的取值范围为__________．

【答案】

【解析】首先根据题意转化为函数与有个交点，再画出与的图象，根据图象即可得到的取值范围.

【详解】

有题知：函数恰有个零点，

等价于函数与有个交点.

当函数与相切时，

即：，，

，解得或（舍去）.

所以根据图象可知：.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查函数的零点问题，同时考查了学生的转化能力，体现了数形结合的思想，属于中档题.

三、解答题

17．已知函数的图象过点.

（1）求的值；

（2）判断的奇偶性并证明.

【答案】（1），（2）奇函数，证明见解析

【解析】（1）将代入解析式，解方程即可.

【详解】

（1）由题知：，解得.

（2）.

，定义域为：.

，

.

所以，

所以为奇函数.

【点睛】

本题第一问考查对数的运算，第二问考查函数奇偶的判断，属于中档题.

18．已知函数的最小正周期为，将的图象向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到函数的图象.

（1）求函数的解析式；

（2）在中，角所对的边分别为，若，且，求周长的取值范围.

【答案】（1），（2）

【解析】（1）首先根据周期为，得到，再根据图象的平移变换即可得到的解析式.

（2）根据得到，根据余弦定理得到，根据基本不等式即可得到，再求周长的取值范围即可.

【详解】

（1）周期，，.

将的图象向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到

.

所以.

（2），.

因为，所以，.

.

因为，所以.

所以，即，.

所以.

【点睛】

本题第一问考查三角函数的周期和平移变换，第二问考查了余弦定理，同时还考查了基本不等式，属于中档题.

19．如图，在四棱锥中，底面为梯形，，平面平面是的中点.

（1）求证：平面；

（2）若，证明：

【答案】（1）证明见解析，（2）证明见解析

【解析】（1）首先取的中点，连接，.根据已知条件和三角形中位线定理得到，又因为四边形为平行四边形，所以，再利用线面平行的判定即可证明.

（2）首先连接，利用线面垂直的判定证明平面，再根据线面垂直的性质即可证明.

【详解】

（1）

取的中点，连接，.

因为分别为，的中点，

所以.

又因为，所以.

所以四边形为平行四边形，.

又因为平面，所以平面.

（2）

连接，

因为，是的中点，所以.

因为平面平面，，

所以平面.

又因为平面，所以    .

平面.

平面，所以.

【点睛】

本题第一问考查线面平行的证明，第二问考查利用线面垂直的性质证明线线垂直，属于中档题.

20．已知向量.

（1）若，求的值；

（2）记函数，求的最大值及单调递增区间.

【答案】（1）或，（2），增区间为：

【解析】（1）根据得到，再根据的范围解方程即可.

（2）首先根据题意得到，再根据的范围即可得到函数的最大值和单调增区间.

【详解】

因为，所以，即.

因为，.

所以或，即或.

（2）.

因为，所以.

所以，.

因为，

所以.

令，得.

因为，所以增区间为：.

【点睛】

本题第一问考查根据三角函数值求角，同时考查了平面向量平行的坐标运算，第二问考查了三角函数的最值和单调区间，属于中档题.

21．五一放假期间高速公路免费是让实惠给老百姓，但也容易造成交通堵塞.在某高速公路上的某时间段内车流量(单位:千辆/小时)与汽车的平均速度(单位:千米/小时)之间满足的函数关系（为常数），当汽车的平均速度为千米/小时时，车流量为千辆/小时.

（1）在该时间段内，当汽车的平均速度为多少时车流量达到最大值？

（2）为保证在该时间段内车流量至少为千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？

【答案】（1）当汽车的平均速度时车流量达到最大值。（2）

【解析】（1）首先根据题意求出，再利用基本不等式即可求出答案.

（2）根据题意列出不等式，解不等式即可.

【详解】

（1）有题知：，解得.

所以，

因为，当且仅当时，取“”.

所以当汽车的平均速度时车流量达到最大值.

（2）有题知：，

整理得：，解得：.

所以当时，在该时间段内车流量至少为千辆/小时.

【点睛】

本题第一问考查利用基本不等式求最值，第二问考查了二次不等式的解法，属于中档题.

22．已知分别是数列的前项和，且.

（1）求数列与的通项公式；

（2）求数列的前项和.

【答案】（1），，（2）

【解析】（1）分别求出和时的，，再检验即可.

（2）利用错位相减法即可求出数列的前项和

【详解】

（1）当时，，

当时，.

检验：当时，，

所以.

因为，所以.

当时，，即，

当时，

整理得到：.

所以数列是以首项为，公差为的等差数列.

所以，即.

（2）……

……①，

……②，

①②得：……，

，

.

【点睛】

本题第一问考查由数列前项和求数列的通项公式，第二问考查数列求和中的错位相减法，属于难题.