§4.3 不定积分的分部积分法

教学目标：掌握分部积分法，会求简单的分部积分。

教学重难点：

二、讲授新课

（一）分部积分法公式的推导与说明

对于形如、、等不定积分到底怎样进行不定积分的计算呢？

（1）特点:被积函数是两个不同函数的乘积；

（2）解决思路：利用两个函数乘积的求导法则。

设函数，具有连续导数，由两个函数乘积的微分公式

得，两边积分得到

∴，该公式为分部积分公式。

用分部积分法确定被积函数中谁当的时候，一般遵循以下的三原则：

（1）要能够求出

（2）要比容易计算

（3）选的顺序是“对、反、幂、三、指”谁在前，谁当。

用公式：计算不定积分的一些说明:

分部积分法采用“迂回的技巧，规避难点”，挑容易积分的部分先做，最终完成不定积分。具体选取时，通常基于以下两点考虑：

（1）降低多项式部分的系数；

（2）简化被积函数的类型。

用表格的形式列出u，v的选择规律如下：

【例1】求。

解 令u=x，被积表达式余下的sinxdx=－d(cosx)=dv，则

    =－=－[xcosx－]=－xcosx+sinx+C．

一般地求的过程可写为：

解： 

注意：本题若令u=sinx， xdx=d(x2)，则

    == [x2sinx－]=x2sinx－，这样做是否越来越难计算呢？

一般情况下u，v的选择原则是：

(1)由(x)dx=dv，求v比较容易；(2)比更容易计算。 

【例2】求。解：令，，， 

【例3】

【例4】

【例5】求。

解：令u=arcsinx， dx=dv，则

    =xarcsinx－=xarcsinx－

= xarcsinx＋。

【例6】求

解：观察被积函数，选取变换,则

本例降低了多项式系数，便于求解。

【例7】求

解： 

本例简化了被积函数的类型，便于不定积分的计算。

有时，分部积分会产生循环，最终也可求得不定积分。

在中，的选取有下面简单的规律：

将以上规律化成一个图就是：

（a^x

arcsinx）

（lnx

Pm(x)

sinx)

ν

μ

但是，当时，是无法求解的。

将以上规律化成一个图就是：

注意：用分部积分法求积分有时需要连续使用两次分部计算才能得到结果。

【例8】求解： 

【例9】

，移项得， 

∴。

（三）课堂练习：计算下列积分

【1】求解： 

【2】

，移项得， 

∴。

【3】求

解 ： ==x2sinx－= x2sinx－2

= x2sinx－2［－］= x2sinx＋２[xcosx－]

= x2sinx+2xcosx－2sinx＋Ｃ．

（四）课堂小结：

1. 分部积分法主要用于“两个函数乘积积分”的计算问题。

2. 用分部积分法确定被积函数中谁当的时候，一般遵循以下的三原则：

（1）要能够求出

（2）要比容易计算

（3）选的顺序是“对、反、幂、三、指”谁在前，谁当。

3. 用分部积分法求积分有时需要连续使用两次分部计算才能得到结果。    

用表格的形式列出u，v的选择规律如下：