2022年中考模拟考试《数学试卷》含答案解析

学校________    班级________    姓名________    成绩________

一、选择题(本题有10小题，每小题4分，共40分.请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分)

1.－的相反数是(   )

A. 2 －2  ±

2.计算的结果是(    )

A. 6a    B. 3a2    C. 6a2    D. 9a2

3.如图，由5个相同的正方体组合而成的几何体，它的主视图是(　　)

A.     B.     C.     D. 

4.若正多边形一个外角是36°，则该正多边形为( )

A. 正八边形    B. 正九边形    C. 正十边形    D. 正十一边形

5.在战”疫”诗歌创作大赛中，有7名同学进入了决赛，他们的最终成绩均不同．小弘同学想知道自己能否进入前3名，除要了解自己的成绩外，还要了解这7名同学成绩的(    )

A. 中位数    B. 平均数    C. 众数    D. 方差

6.某公司拟购进A，B两种型号机器人．已知用240万元购买A型机器人和用360万元购买B型机器人的台数相同，且B型机器人的单价比A型机器人多10万元．设A型机器人每台x万元，则所列方程正确的是(    )

A     B.     C.     D. 

7.如图，BC是⊙O的一条弦，经过点B的切线与CO的延长线交于点A，若∠C=23°，则∠A的度数为(    )

A. 38°    B. 40°    C. 42°    D. 44°

8.如图，在矩形ABCD中，将△ABE沿着BE翻折，使点A落在BC边上的点F处，再将△DEG沿着EG翻折，使点D落在EF边上的点H处． 若点A，H，C在同一直线上，AB=1，则AD的长为(    )

A.     B.     C.     D. 

9.甲、乙两个草莓采摘园为吸引顾客，在草莓销售价格相同的基础上分别推出优惠方案，甲园：顾客进园需购买门票，采摘的草莓按六折优惠．乙园：顾客进园免门票，采摘草莓超过一定数量后，超过的部分打折销售．活动期间，某顾客的草莓采摘量为x kg，若在甲园采摘需总费用y1元，若在乙园采摘需总费用y2元， y1，y2与x之间的函数图象如图所示，则下列说法中错误的是(    )

A. 甲园的门票费用是60元

B. 草莓优惠前的销售价格是40元/kg

C. 乙园超过5 kg后，超过的部分价格优惠是打五折

D. 若顾客采摘12 kg草莓，那么到甲园或乙园的总费用相同

10.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，DE是△ABC的中位线，点D在AB上，把点B绕点D按顺时针方向旋转α(0°<α<180°)角得到点F，连接AF，BF．下列结论：①△ABF是直角三角形;②若△ABF和△ABC全等，则α=2∠BAC或2∠ABC;③若α=90°，连接EF，则S△DEF=4.5;其中正确的结论是(    )

A ①②    B. ①③    C. ①②③    D. ②③

二、填空题(本题有6小题，每小题5分，共30分)

11.二次根式中字母x取值范围是_____．

12.已知点A(2，-3)和B(-1，m)均在双曲线(k为常数，且k≠0)上，则m=__．

13.在一个不透明的袋子中有三张完全相同的卡片，分别编号为1，2，3．若从中随机取出两张卡片，则卡片上编号之和为偶数的概率是__．

14.如图，已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°，分别以点A，C为圆心，大于AC的长度为半径画弧，两弧相交于点P，Q，直线PQ与AB交于点M，若BC=a，MB=b，则AC=__．

15.定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做等邻边四边形．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝1，将△ABC沿∠ABC的平分线BB'的方向平移，得到A'B'C'，连接AC'，CC'，若四边形ABCC'是等邻边四边形，则平移距离BB'的长度是_____．

16.如图，在正方形ABCD中，AB=6，点E在AB边上，CE与对角线BD交于F，连接AF，若AE=2，则sin∠AFE的值是____

三、解答题(本题共8小题，其中第17-20题每题8分，第21题10分，第22-23题每题12分，第24题14分，共80分)

17.计算：．

18.解方程组

19.等腰三角形的屋顶，是建筑中经常采用的结构形式．在如图所示的等腰三角形屋顶ABC中，AB=AC，测得BC=20米，∠C=41°，求顶点A到BC边的距离是多少米?(结果精确到0.1米．参考数据：sin41°≈0.656，cos41°≈0.755，tan41°≈0.869．)

20.如图，漏壶是一种古代计时器．在它内部盛一定量水，水从壶下的小孔漏出．壶内壁有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间．用x(小时)表示漏水时间，y(厘米)表示壶底到水面的高度，某次计时过程中，记录到部分数据如下表：

(1)问y与x的函数关系属于一次函数、二次函数和反比例函数中的哪一种?求出该函数解析式及自变量x的取值范围;

(2)求刚开始计时时壶底到水面的高度．

21.为了解阳光社区年龄20~60岁居民对垃圾分类的认识，学校课外实践小组随机抽取了该社区、该年龄段的部分居民进行了问卷调查，并将调查数据整理后绘成如下两幅不完整的统计图．图中A表示”全部能分类”，B表示”基本能分类”，C表示”略知一二”，D表示”完全不会”．请根据图中信息解答下列问题：

(1)补全条形统计图并填空：被调查的总人数是    人，扇形图中D部分所对应的圆心角的度数为    ;

(2)若该社区中年龄20~60岁的居民约3000人，请根据上述调查结果，估计该社区中C类有多少人?

(3)根据统计数据，结合生活实际，请你对社区垃圾分类工作提一条合理的建议．

22.已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点(不与点A，B重合)，过点C作AB的垂线交⊙O于点D，垂足为E点．

(1)如图1，当AE=4，BE=2时，求CD的长度;

(2)如图2，连接AC，BD，点M为BD的中点．求证：ME⊥AC．

23.已知y关于x的二次函数y=x²-bx+b²+b-5的图象与x轴有两个公共点．

(1)求b的取值范围;

(2)若b取满足条件的最大整数值，当m≤x≤时，函数y的取值范围是n≤y≤6-2m，求m，n的值;

(3)若在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，对应函数y的最小值为，求此时二次函数的解析式．

24.已知菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=4，点M在BC边上，过点M作PM∥AB交对角线BD于点P，连接PC．

(1)如图1，当BM=1时，求PC的长;

(2)如图2，设AM与BD交于点E，当∠PCM=45°时，求证：=;

(3)如图3，取PC的中点Q，连接MQ，AQ．

①请探究AQ和MQ之间的数量关系，并写出探究过程;

②△AMQ的面积有最小值吗?如果有，请直接写出这个最小值;如果没有，请说明理由．

答案与解析

一、选择题(本题有10小题，每小题4分，共40分.请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分)

1.－的相反数是(   )

A. 2 －2  ±

【答案】C

【解析】

【详解】解：根据只有符号不同的两数互为相反数，可知-的相反数为．

故选：C

【点睛】本题考查相反数的概念．

2.计算的结果是(    )

A. 6a    B. 3a2    C. 6a2    D. 9a2

【答案】D

【解析】

【分析】

直接根据积的乘方的运算法则计算即可．

【详解】

故选：D．

【点睛】本题主要考查积的乘方，掌握积的乘方的运算法则是解题的关键．

3.如图，由5个相同的正方体组合而成的几何体，它的主视图是(　　)

A.     B.     C.     D. 

【答案】D

【解析】

【分析】

根据三视图知识直接回答即可.

【详解】主视图就是从正面看，由图知主视图下面有3个正方形，上面中间有1个正方形，

故选D.

【点睛】本题是对主视图知识的考查，熟练掌握三视图知识是解决本题的关键.

4.若正多边形的一个外角是36°，则该正多边形为( )

A. 正八边形    B. 正九边形    C. 正十边形    D. 正十一边形

【答案】C

【解析】

【分析】

多边形的外角和等于360°，因为所给多边形的每个外角均相等，故又可表示成36°n，列方程可求解：

【详解】解： 设所求正多边形边数为n，

则36°n=360°，

解得n=10．

故选：C．

【点睛】本题考查多边形内角和与外角和问题．

5.在战”疫”诗歌创作大赛中，有7名同学进入了决赛，他们的最终成绩均不同．小弘同学想知道自己能否进入前3名，除要了解自己的成绩外，还要了解这7名同学成绩的(    )

A. 中位数    B. 平均数    C. 众数    D. 方差

【答案】A

【解析】

【分析】

根据中位数的意义即可得出答案．

【详解】因为7名同学成绩的中位数是第四名的成绩，所以只要知道中位数之后，拿中位数和自己的成绩进行比较即可知道自己能否进入前3名，

故选：A．

【点睛】本题主要考查中位数的意义，掌握中位数的意义是解题的关键．

6.某公司拟购进A，B两种型号机器人．已知用240万元购买A型机器人和用360万元购买B型机器人的台数相同，且B型机器人的单价比A型机器人多10万元．设A型机器人每台x万元，则所列方程正确的是(    )

A.     B.     C.     D. 

【答案】A

【解析】

【分析】

设A型机器人每台x万元，则B型机器人每台(x+10)万元，根据”用240万元购买A型机器人和用360万元购买B型机器人的台数相同”建立等量关系，列方程即可．

【详解】设A型机器人每台x万元，则B型机器人每台(x+10)万元，根据题意有

故选：A．

【点睛】本题主要考查列分式方程，理解题意找到等量关系是解题的关键．

7.如图，BC是⊙O一条弦，经过点B的切线与CO的延长线交于点A，若∠C=23°，则∠A的度数为(    )

A. 38°    B. 40°    C. 42°    D. 44°

【答案】D

【解析】

【分析】

先利用圆周角定理求出的度数，然后根据切线的性质和直角三角形两锐角互余即可求解．

【详解】连接OB，

∵，

． 

∵AB是⊙O的切线，

，

，

．

故选：D．

【点睛】本题主要考查圆周角定理，切线的性质和直角三角形两锐角互余，掌握圆周角定理，切线的性质和直角三角形两锐角互余是解题的关键．

8.如图，在矩形ABCD中，将△ABE沿着BE翻折，使点A落在BC边上的点F处，再将△DEG沿着EG翻折，使点D落在EF边上的点H处． 若点A，H，C在同一直线上，AB=1，则AD的长为(    )

A.     B.     C.     D. 

【答案】B

【解析】

【分析】

首先通过折叠性质得出四边形ABFE，EDGH都是正方形，然后设，根据平行线分线段成比例得出，从而可求出x的值，然后AD的长度可求．

【详解】连接AC，

∵四边形ABCD是矩形，

∴ 　

由折叠的性质可知， 

，

∴四边形ABFE是正方形，

 ，

 ．

，

∴四边形EDGH是正方形，

，

 ．

设 ，

 ，

解得 或(舍去)，

 ．

故选：B．

【点睛】本题主要考查正方形的判定及性质，平行线分线段成比例，掌握正方形的判定及性质和平行线分线段成比例是解题的关键．

9.甲、乙两个草莓采摘园为吸引顾客，在草莓销售价格相同的基础上分别推出优惠方案，甲园：顾客进园需购买门票，采摘的草莓按六折优惠．乙园：顾客进园免门票，采摘草莓超过一定数量后，超过的部分打折销售．活动期间，某顾客的草莓采摘量为x kg，若在甲园采摘需总费用y1元，若在乙园采摘需总费用y2元， y1，y2与x之间的函数图象如图所示，则下列说法中错误的是(    )

A. 甲园的门票费用是60元

B. 草莓优惠前的销售价格是40元/kg

C. 乙园超过5 kg后，超过的部分价格优惠是打五折

D. 若顾客采摘12 kg草莓，那么到甲园或乙园的总费用相同

【答案】D

【解析】

【分析】

根据函数的图象逐一分析即可得出答案．

【详解】A． 从图象可以看出，当时，，所以甲园的门票费用是60元，正确，故该选项不符合题意;

B． ，所以草莓优惠前的销售价格是40元/kg，正确，故该选项不符合题意;

C． 乙园超过5 kg后，超过的部分销售价格是元/kg，是打五折，正确，故该选项不符合题意;

D． 若顾客采摘12 kg草莓，甲园的花费是(元)，乙园的花费是(元)，所以总费用不相同，错误，故该选项符合题意; 

故选：D．

【点睛】本题主要考查一次函数的应用，能够从图象中获取信息是解题的关键．

10.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，DE是△ABC的中位线，点D在AB上，把点B绕点D按顺时针方向旋转α(0°<α<180°)角得到点F，连接AF，BF．下列结论：①△ABF是直角三角形;②若△ABF和△ABC全等，则α=2∠BAC或2∠ABC;③若α=90°，连接EF，则S△DEF=4.5;其中正确的结论是(    )

A. ①②    B. ①③    C. ①②③    D. ②③

【答案】C

【解析】

【分析】

①根据直角三角形斜边中线的性质和旋转的性质得出，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可判断;

②分两种情况讨论：或，分别求α即可 ;

③先根据题意画出图形，首先证明 ，然后得出，最后利用即可求解．

【详解】①∵DE是△ABC的中位线，

．

由旋转可知， 

，

 ．

 ，

 ，

即 ，

∴△ABF是直角三角形，故①正确;

 ，

 ．

若△ABF和△ABC全等，

当时，

 ;

当时，

，

综上所述，若△ABF和△ABC全等，则α=2∠BAC或2∠ABC，故②正确;

过点F作交ED的延长线于点G，

∵DE是的中位线，

 ，

 ．

，

．

， 

，

．

 ，

． 

，D为AB中点，

． 

在和中， 

，

，故③正确;

所以正确的有：①②③．

故选：C．

【点睛】本题主要考查三角形中位线性质，直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定及性质，掌握三角形中位线的性质，直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键．

二、填空题(本题有6小题，每小题5分，共30分)

11.二次根式中字母x的取值范围是_____．

【答案】x≥﹣2．

【解析】

【分析】

二次根式有意义的条件就是被开方数是非负数，即可求解．

【详解】根据题意得，x+2≥0，

解得x≥﹣2．

故答案为：x≥﹣2．

【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数，注意二次根式的双重非负性，①;②．

12.已知点A(2，-3)和B(-1，m)均在双曲线(k为常数，且k≠0)上，则m=__．

【答案】6

【解析】

【分析】

先根据点A坐标求出双曲线的解析式，然后将点B代入双曲线解析式中即可求解．

【详解】∵点在双曲线(k为常数，且k≠0)上，

，

解得 ，

．

∵点在双曲线(k为常数，且k≠0)上，

．

故答案为：6．

【点睛】本题主要考查根据反比例函数解析式求函数值，掌握待定系数法是解题的关键．

13.在一个不透明的袋子中有三张完全相同的卡片，分别编号为1，2，3．若从中随机取出两张卡片，则卡片上编号之和为偶数的概率是__．

【答案】

【解析】

【分析】

先用树状图表示出所有的情况数 ，然后从中找出编号之和为偶数的情况数，利用概率的计算方法计算即可．

【详解】

总共有6种等可能的结果，其中编号之和为偶数的有2种，所以编号之和为偶数的概率为 ，

故答案为： ．

【点睛】本题主要考查随机事件的概率，掌握树状图和概率公式是解题的关键．

14.如图，已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°，分别以点A，C为圆心，大于AC的长度为半径画弧，两弧相交于点P，Q，直线PQ与AB交于点M，若BC=a，MB=b，则AC=__．

【答案】a+b

【解析】

【分析】

先根据等腰三角形的性质得出的度数，然后根据垂直平分线的性质和三角形外角的性质得出，则有，则AB可求，进而AC可求．

【详解】

 ，

． 

垂直平分AC，

 ，

，

，

，

 ，

 ，

．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，垂直平分线的性质和三角形外角的性质，掌握等腰三角形的性质，垂直平分线的性质和三角形外角的性质是解题的关键．

15.定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做等邻边四边形．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝1，将△ABC沿∠ABC的平分线BB'的方向平移，得到A'B'C'，连接AC'，CC'，若四边形ABCC'是等邻边四边形，则平移距离BB'的长度是_____．

【答案】1或．

【解析】

【分析】

由平移的性质得到，① 当时，;② 如图1，当时，③如图2，当时，则，延长交AB于H，设，根据勾股定理即可得到结论．

【详解】解：∵将Rt△ABC平移得到，

,

① 当时，;

②如图1，当时，

∵∠ABC＝90°，是∠ABC的角平分线，

∴，

延长交AB于H，

∵，

∴，

∴，

设，

∴，

∴22＝(2﹣x)2+(1+x)2，

整理方程为：2x2﹣2x+1＝0，

∵△＝4﹣8＝﹣4＜0，

∴此方程无实数根，故这种情况不存在;

③如图2，当当时，则，

延长交AB于H，

∵，

∴，

∴，

设，

∴，

∴(x)2＝(2﹣x)2+(1+x)2，

解得：x＝，

∴BB′＝，

综上所述，若四边形ABCC'是等邻边四边形，则平移距离BB'的长度是1或，

故答案为：1或．

【点睛】此题主要考查勾股定理，平移的性质，理解”等邻边四边形”的定义是解本题的关键．

16.如图，在正方形ABCD中，AB=6，点E在AB边上，CE与对角线BD交于F，连接AF，若AE=2，则sin∠AFE的值是____

【答案】

【解析】

【分析】

过点F作于点G，过点A作交FE的延长线于点H，首先利用平行线分线段成比例求出EF,GF,EG的长度，然后利用三角形的面积和勾股定理可求AH,AF的长度，最后利用即可求解．

【详解】过点F作于点G，过点A作交FE的延长线于点H，

∵四边形ABCD是正方形，

∴ ，

 ．

 ，

．

 ，

 ，

 ．

，

 ，

，

 ，

 ，

 ．

 ，

 ，

 ．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查正方形的性质，平行线分线段成比例，勾股定理，正弦的定义，掌握正方形的性质，平行线分线段成比例，勾股定理和正弦的定义是解题的关键．

三、解答题(本题共8小题，其中第17-20题每题8分，第21题10分，第22-23题每题12分，第24题14分，共80分)

17.计算：．

【答案】

【解析】

【分析】

根据零指数幂，绝对值的性质和二次根式的运算法则计算即可．

【详解】解：原式 = 

【点睛】本题主要考查实数的混合运算，掌握零指数幂，绝对值的性质和二次根式的运算法则是解题的关键．

18.解方程组

【答案】

【解析】

【分析】

直接利用加减消元法即可求解．

【详解】解：

①+②得： 7x=14，解得x=2，

把x=2代入①得：10+y=9, 解得y= -1，

∴原方程组的解为：

【点睛】本题主要考查解二元一次方程组，掌握加减消元法是解题的关键．

19.等腰三角形的屋顶，是建筑中经常采用的结构形式．在如图所示的等腰三角形屋顶ABC中，AB=AC，测得BC=20米，∠C=41°，求顶点A到BC边的距离是多少米?(结果精确到0.1米．参考数据：sin41°≈0.656，cos41°≈0.755，tan41°≈0.869．)

【答案】顶点A到BC边的距离是8.7米

【解析】

【分析】

作AD⊥BC,垂足为D点，然后利用等腰三角形的性质得出CD=BC，然后解直角三角形即可求解．

【详解】解：作AD⊥BC，垂足为D点 

∵AB=AC， AD⊥BC，BC=20

∴BD=CD=BC=10．   

在Rt△ACD中，∠C=41°，

∴tan C=tan41°=，

∴AD=≈10×0.869 ≈8.7．       

答：顶点A到BC边的距离是8.7米．

【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质和解直角三角形，掌握等腰三角形的性质和锐角三角函数是解题的关键．

20.如图，漏壶是一种古代计时器．在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出．壶内壁有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间．用x(小时)表示漏水时间，y(厘米)表示壶底到水面的高度，某次计时过程中，记录到部分数据如下表：

(1)问y与x的函数关系属于一次函数、二次函数和反比例函数中的哪一种?求出该函数解析式及自变量x的取值范围;

(2)求刚开始计时时壶底到水面的高度．

【答案】(1)一次函数， ;(2)15厘米

【解析】

【分析】

(1)根据表格中y随x的变化情况即可判断y与x的函数关系，然后利用待定系数法求解析式即可;

(2)令，求出相应的y值即可．

【详解】解：(1)根据表格发现，漏水时间x每增加一个小时，壶底到水面高度y 减小2厘米，所以y是x的一次函数; 

设函数解析式为 ，

将代入解析式中得

 解得 

∴函数解析式为， 

当时，，解得 ，

∴自变量x的取值范围是;

(2)当时，， 

∴刚开始计时时壶底到水面的高度为15厘米．

【点睛】本题主要考查一次函数的应用，掌握待定系数法是解题的关键．

21.为了解阳光社区年龄20~60岁居民对垃圾分类的认识，学校课外实践小组随机抽取了该社区、该年龄段的部分居民进行了问卷调查，并将调查数据整理后绘成如下两幅不完整的统计图．图中A表示”全部能分类”，B表示”基本能分类”，C表示”略知一二”，D表示”完全不会”．请根据图中信息解答下列问题：

(1)补全条形统计图并填空：被调查的总人数是    人，扇形图中D部分所对应的圆心角的度数为    ;

(2)若该社区中年龄20~60岁的居民约3000人，请根据上述调查结果，估计该社区中C类有多少人?

(3)根据统计数据，结合生活实际，请你对社区垃圾分类工作提一条合理的建议．

【答案】(1)见解析，50，36°;(2)1800人;(3)该社区多数居民对垃圾分类知识了解不够，社区工作人员可以通过宣传橱窗加强垃圾分类知识的普及

【解析】

【分析】

(1)用A类的人数除以相应的百分比即可求出总数，用D类的人数除以总数再乘以360°即可求出扇形图中D部分所对应的圆心角的度数，用总人数减去A,C,D三类的人数即可求出B类的人数，即可补全条形统计图;

(2)先求出样本中C类所占的百分比，然后用总人数3000乘以这个百分比即可;

(3)根据数据反映的信息，建议合理即可．

【详解】解：(1)调查的总人数为(人) ，

扇形图中D部分所对应的圆心角的度数为 ，

B类的人数是(人)

条形统计图如下：

(2)(人)                     

答：根据样本估计总体，该社区中C类约有1800人

(3)通过数据分析可知，该社区多数居民对垃圾分类知识了解不够，社区工作人

员可以通过宣传橱窗加强垃圾分类知识的普及．

【点睛】本题主要考查条形统计图和扇形统计图，能够从图中获取有用信息并用样本估计整体是解题的关键．

22.已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点(不与点A，B重合)，过点C作AB的垂线交⊙O于点D，垂足为E点．

(1)如图1，当AE=4，BE=2时，求CD的长度;

(2)如图2，连接AC，BD，点M为BD的中点．求证：ME⊥AC．

【答案】(1);(2)见解析

【解析】

【分析】

(1)先求出半径，然后利用勾股定理求出CE的长度，最后利用垂径定理即可求出CD的长度;

(2)延长ME与AC交于点N，先利用直角三角形斜边中线的性质和等腰三角形的性质得出∠CEN=∠DEM=∠D，然后利用∠B=∠C，得出，则∠CNE =90°，则结论可证．

【详解】解：(1)如图1，连接OC． 

∵ AE=4，BE=2， 

∴AB =6，

∴CO =AO=3， 

∴OE =AE-AO=1，

∵CD⊥AB，

∴ CE=

∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，

∴CE=DE，

∴ CD=2CE=． 

(2)证明：如图2，延长ME与AC交于点N．

∵CD⊥AB，

∴∠BED=90°．

∵ M为BD中点， 

∴EM =BD =DM， 

∴∠DEM=∠D，   

∴∠CEN=∠DEM=∠D．         

∵∠B=∠C， 

∴∠CNE =90°，

即ME⊥AB．

【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，勾股定理，垂径定理，直角三角形斜边中线的性质，掌握等腰三角形的性质，勾股定理，垂径定理，直角三角形斜边中线的性质是解题的关键．

23.已知y关于x的二次函数y=x²-bx+b²+b-5的图象与x轴有两个公共点．

(1)求b的取值范围;

(2)若b取满足条件的最大整数值，当m≤x≤时，函数y的取值范围是n≤y≤6-2m，求m，n的值;

(3)若在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，对应函数y的最小值为，求此时二次函数的解析式．

【答案】(1);(2);(3)或

【解析】

【分析】

(1)利用即可求解;

(2)根据(1)中的结论确定b的值，进而确定二次函数的表达式，然后根据与对称轴的位置关系，判断出函数的单调性，然后代入到二次函数解析式中即可求出m,n的值;

(3)根据与对称轴的位置关系，分三种情况：①当，②当，取值范围在对称轴左侧，③当，即时，取值范围在对称轴右侧，数形结合进行讨论即可．

【详解】解：(1)由题意知， 

即 ，

∴  

解得： ; 

(2)由题意，b=4，代入得：，

∴对称轴为直线． 

又∵a=1>0，函数图象开口向上，

∴当时，y随x的增大而减小，

∴当x=时，，

当x=m时，y=，

解得：(不合题意，舍去);

∴．  

(3) ，函数大致图象如图所示．

①当，即时，

函数y在顶点处取得最小值，有b-5=，     

∴b=(不合题意，舍去)

②当，即时，

取值范围在对称轴左侧，y随x的增大而减小，

∴当x=b+3时，y最小值=，代入得

，

即，

解得：(不合题意，舍去)，

∴此时二次函数的解析式为： 

③当，即时，取值范围在对称轴右侧，y随x的增大而增大，

∴当x=b时，y最小值=，代入得

，

即，

解得：，

∴此时二次函数的解析式为：．

综上所述，符合题意的二次函数的解析式为：或

【点睛】本题主要考查二次函数，掌握根的判别式和二次函数的图象和性质是解题的关键．

24.已知菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=4，点M在BC边上，过点M作PM∥AB交对角线BD于点P，连接PC．

(1)如图1，当BM=1时，求PC的长;

(2)如图2，设AM与BD交于点E，当∠PCM=45°时，求证：=;

(3)如图3，取PC的中点Q，连接MQ，AQ．

①请探究AQ和MQ之间的数量关系，并写出探究过程;

②△AMQ的面积有最小值吗?如果有，请直接写出这个最小值;如果没有，请说明理由．

【答案】(1);(2)见解析;(3)①AQ=MQ，见解析，②有，

【解析】

【分析】

(1)过点P作PF⊥BC于点F，首先利用菱形的性质得出∠ABD=∠CBD=30°，AB=BC=CD=AD=4，然后根据平行线的性质得出∠ABD=∠BPM=∠CBD=30°，∠PMF =∠ABC=60°，进而可求出PM,PF,MF的长度，从而FC的长度可求，最后利用勾股定理即可求PC的长度;

(2)过点P作PG⊥BC于点G，设MG=x，由(1)可知：BM=PM=2x，GC=PG=x，然后利用BM+MG+GC=BC求出x的值，进而可求出BM的长度，最后利用平行线分线段成比例即可得出结论;

(3)①延长MQ与CD交于点H，连接AH,AC，首先证明△PMQ≌△CHQ，则有PM=CH=BM，MQ=HQ，然后利用菱形的性质和等边三角形的性质证明 △ABM≌△ACH，则有AM=AH，∠BAM=∠CAH，则△AMH为等边三角形，则利用等边三角形的性质即可得出AQ,MQ之间的关系;

②根据①中的结论有，当AM取最小值时，MQ有最小值，当时，AM最小，求出此时的AM,MQ的值，最后利用求解即可．

【详解】解：(1)如图，过点P作PF⊥BC于点F．

∵四边形ABCD菱形，∠ABC=60°，

∴∠ABD=∠CBD=30°，AB=BC=CD=AD=4．

∵PM∥AB，

∴∠ABD=∠BPM=∠CBD=30°，∠PMF =∠ABC=60°，

∴PM=BM=1，

∴MF=PM=，PF= ，

∴FC=BC-BM-MF=4-1-=，

∴PC==． 

(2)证明：如图，过点P作PG⊥BC于点G．

∵∠PCM=45°，

∴∠CPG=∠PCM=45°，

∴PG=GC．

设MG=x，由(1)可知：BM=PM=2x，GC=PG=x，

由BM+MG+GC=BC得：2x+x+x=4，

∴x=，

∴BM=．

∵四边形ABCD是菱形，

∴BM∥AD，

∴ 

(3)①如图，延长MQ与CD交于点H，连接AH,AC．

∵PM∥AB∥CD，

∴∠PMQ=∠CHQ，∠MPQ=∠HCQ．

∵Q是PC的中点，

∴PQ=CQ，

∴△PMQ≌△CHQ，

∴PM=CH=BM，MQ=HQ． 

∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，

∴△ABC为等边三角形，

∴AB=AC，∠ABM=∠ACH=60°，

∴△ABM≌△ACH，

∴AM=AH，∠BAM=∠CAH，    

∴∠MAH=∠BAC=60°，

∴△AMH为等边三角形，

∴AQ⊥MH，∠MAQ=∠MAH=30°，

∴AQ=MQ． 

②∵AQ⊥MH，∠MAQ=∠MAH=30°，

， 

∴当AM取最小值时，MQ有最小值．

当时，AM最小，此时 ，

∴MQ的最小值为，

此时 

∴△AMQ的面积有最小值，最小值为

【点睛】本题主要考查四边形综合问题，掌握菱形的性质，等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，解直角三角形是解题的关键．